Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Преобразуя Х элементами группы 6 и интегрируя по О, вывестн отсюда существование поля Х', обладающего такимн же снойствамн, что и Х, н к тому эсе инвариантного относительно О. б) Показать, что существует диффеоморфиэм (х, $) 1-ь(Ь((х)„$) многооб азия М )с / на себя, такой, что !) для всякого $ щ / отображение Ь) есть днффеоморфиэм иэ М нэ М, (П) т) (з, х) Ь) (те (з, Ь~ ! (х))) для з щ Оэ, х щ М, $ щ /. (Использовать а) и теорему 3 и' 8.) 28) Пусть Π— вещественная группа Лв конечной размерности, А и В— две интегральные подгруппы в О. Покззэть, что если В (А) + В (В) есть подалгебра Лн в Е (6) (другими словами, если [В(А), В (В)) с=В (А)+В (В)), то АВ=ВА есть интегральная подгруппа н В(АВ) В(А)+В(В), 29) Пусть 0 — комплексная связная конечномерная группа Ли, Оэ — нижележащая вещественная группа, Н вЂ” интегральная подгруппа в Ое.
Показать, что существует наименьшая интегральная подгруппа Н' в О, содержащая Н. Привести пример, когдв Н замкнута в Оэ, но Н' не замкнута в О (взять 6 С'/э'). 30) Пусть 0 — компактная комплексная связная группа Ли, имеющая, следовательно, вид Сэ/Р, где Р— дискретная подгруппа в С" ранга 2п. а) Показать, что всякая голоморфнэя дифференциальная 1-форма е иа О инвариантна. (Пусть (щ С" -ь Π— канонический морфием н ь1, ° ьз †.координатные функции нэ С". Тогда я*(ю! имеет внд ~ а/г(ь, где а/ суть / голоморфные фу11кцни на С", которые инвариантны относительно Р и потому являются константами.) б) Пусть 6' С"/Р', где Р' — некоторая дискретная подгруппа в С" ранта 2л.
Показать, что всякий изоморфнэм аналитических многообразий и: О -+ 6' п~едставляетси в виде з1-:. о (з) + а', где о — изоморфнзм зррлл .7и н а 1м О'. (Пусть л'! Сн-ь 0' — канонический морфием. Существует нэоморфиэм аналитнческнк многообразий Д: С"-ь С", такой, что я.я я' й.
/(ля всякой дифференциальной 1-формы а', голоморфной на О', й' (я'" (ю )) есть 1-форма нэ С", иивариантиая относительно сдвигов в силу з). Вывестн отсюда, что я есть аффинное отображение.) 1) Пусть Π— группа Ли, йн У-ь 6 — такое экспонеициальное отображение, что Худ=у н ф(гх) ф(х)г пля любых хиву и г~й. Если р)0, то ф является аналитическим изоморфизмом из У на р (У). (Если ф (х) = ф (у), то ф(р"х)=<р(р"р) лли всякого пьяХ н, стало быть, х у, Пусть Яг— такая открытая окрестность элемента 0 в С (6), что ф ! эналнтично в р (Яг). Для любого з 1и 1р (У) существуют и 1ы э) и окрестность У элемента з в ф (У), такие. что гщ р'=;ггээщ ф(йг).) 2) Пусть 6 — группа Ли, йв У -ь 0 — экспонеицнальиое отображение, обладающее свойствами, перечисленными в предложении 3, )г — тэкая окрестность элемента 0 в У, что эг'<=У,.ф: У-ьΠ— отображение, имеющее такое же, как и ф касательное отображение в О, причем ф (пх) =ф (х)" УПРАЖНЕНИЯ иля всякого «ему и всякого ашЕ.
Если р>О, то ф и)(г. (Наделить 1. (О) нормой. Пусть х ен )г, Тогда р"х стремится к О, когда л стремится к + со; значит, существуют такие аэ > О, что аэ стремится к О и (!(ф 'ф)(рэк)-р"х((ч,п,)(р"х(! Но ф(р"х) ф( )'". куда (!(ю 'эф)(к) — х(!~а„Ц к(!.) 3) Пусть У вЂ” множество обратимых элементов кольца А н У' ! + пг ~У. а) Показать, что У'~У(. (Если к 1+у, где уев ш„то хр стремится к 1, когда а стремится к + со; это следует из формулы бинома.) б) Показать, что У( есть множество элементов из У, образы которых в А/ш суть корин нэ единицы.
(Использовать а).) Получить таким путем ра венство У У для локально компактных К (А/ш тогда конечно). 4) Пусть и еи М', р — простое число, 0 — множество матриц иэ 61 (а, Ер) все козффнциенты которых сравнимы с соответствующими козффициеитамн единичной матрицы по модулю р, если р чь2 (соотв, по модулю,4, если р =2). Тогда 0 являетси открытой подгруппой в ОЕ(п, Хр). а) Показать, что С не имеет элементов конечного поридка чь 1.
б) Показать, что всякая конечная подгруппа в ОЕ(а, Ер) нзоморфиа некоторой подгруппе в ОЕ(а, Х(РЕ), если р чь 2 (соотв. в ОЕ(», Х/42), если р = 2). 1( б) а) Пусть à — компактная подгруппа в 0 ОЕ(гь Ор). Показать что существует сопряженная с Г подгруппа, содержащаяся в ОЬ(а, Ер), ( Если Т вЂ” некоторая решетка в Оэр относительно Ер (Комм. пгг.,тл. т'П, $4, определенна 1), показать, что ее стабилизатор в Г открыт в Г, стало быть, имеет конечный индекс и )„ТТ есть Г-устойчиваи решетка. т г б) Вывести отсюда, что 01 есть объединение подгрупп, сопряженных с ОЕ(а, Хр). в) Вывестн отсюда, что порядок нонкой конечной подгруппы Ф в ОЕ (а, Ор) делит число аэ (р), которое определяется формулами а„ (Р) (р" — 1)(Р" — р) ... (р" — р" ), если р чь 2, аэ (Р) 2" (2" — 1)(2 — 2) ... (2" — 2" '), если р 2.
(В силу а) можно 'предположить, что Ф <= ОЕ(л„Ер)Л Применить тогда упражнение 4.) г) Показать, что порядок всякой конечной подгруппы в БЕ(а, Ор) делит г„(р), где г„(р) ' при р чь2 и г„(2) аг (р) а„2) р — 1 2 Я 6) В этом упражнении через 1 обозначается простое число Ф 2. Если а — целое число чь О, то через о (а) обозначается его Уадическое нормирование, т. е. наибольшее целое число е, такое, что а О (шоАР).
а) Пусть ш — целое число ~ 1. Положим (О, если ш иФ О (шоб(1 — 1)), оа ~~- — 1 ) + 1, если л1 вв О (шоб (1 — 1)). ГЛ. Пи ГРУППЫ ЛИ Показать, что если х — целое число, взаимно простое с 1, то и (к~ — 1)~в(1, ш) н что здесь имеет место равенство, если образ числа к в циклической группе (Е/РЕ)' порождает эту группу.
б) Пусть а — целое число ~1. Положим (1,.)=~ (1. ). з«! Показать, что '")-1="1+1 — "- 1+1 " 1+ где символ (а) означает целую часть вещественного числа а. Показатаь что если х — целое число, взаимно простое с 1, то о,((х" — !)(х" ' — 1) ...
(х — !)])Г(1, л) и что здесь имеет место равенство, если образ числа х в (Е/РЕ) порождает эту группу. в) Показать, что в обозначениях упражнения бз) 1«! ' "! есть наибольшая степень числа 1, делящая числа а„(р) для всех простых р ч" 1 (или, что сводится к тому же, для всех достаточно больших р). (Применить б) с х р, затем выбрать р так, чтобы его образ в (Е/РЕ)'. был образующей этой группы (это возможно в силу теоремы об арифметической прогрессии) ').) г) Пусть à — конечная подгруппа в ББ(а, ()), и пусть 1« — наибольшая стевеиь числа 1, делящая порядок группы Г. Показаты что гч.,г(1; а). (Применить упражнение 5 дла доказательства того, что 1«делит все ав (р), затем применить п. в).) л) Обратно, показать, что существует конечная 1-подгруппа Гг, в в бй(л, ь)), порядок которой есть 1'!1'"', (Свести все к случаю, когда в имеет вид 1«(1 — !), где а~)0.
Разложить ()и в прямую сумму 1в экземпляров пространства (11 ' и, пользуясь этим разложением, определить действие иа 1аз полупрямого произведения /71 „СиммстриЧескай группы Ж з н группы г« (Е/1Е) . Взять в качестве Г1, з сиповскую 1-подгруппу в 771, и.) Показать, что если а четно, то Г! „содержится в подгруппе, сопряженной с Зр (а, Е). е) 'Пусть à — конечная подгруппа в БЕ(л, Щ, являющаяся 1-группой. Показаты что Г сопряжена с некоторой яодгруппоз в Г! „. (Показать сначала с помощью редукции по подходящему модулю р, что редукция подгруппы Г есть конечная подгруппа редукции некоторой сопряжеиноз с Г! „подгруппы; затем воспользоваться характером предстанлеиин группы Г в Ои.) В частности, всякая подгруппа в ОБ(и, Щ порядка 1'и з! сопряжена с Гди., ч( 7) В этом упражнении через оз (а) обозначается 2-адичесхое нормирование целого числа а.
') По поводу доказательства этой теоремы см., например, статью А. Зе1- Ьегй, Апл. о/ Магд, 00 (!949), 297 — 304. (См. также 3. И. Боревич н И. Р. Шафаревич, Теория чисел, «Наука», М„1972, илн А. Вейль, Основы - теории чисел, „Мир", М., 1972. — Рзд.) УПРАЖНЕНИЯ а) Пусть à — конечная подгруппа в ОЕ(п, О). Показать, что существует невырождениая положительно определенная квадратичная форма с коэффициентами в Х, инвариантная относительно Г. Вывести отсюда (тем же способом, что в предложениях 4 и 5), что если р достаточно велико, Г изоморфнв некоторой подгруппе ортогональной группы 0 (и) над полем рр (соотв. подгруппе группы $0 (а), если Г содержится в 8Е (и, О)). б) Предположим, что Г содержится в 5Е(п, О), и обозначим через 2з наибольшую степень числа 2, делящую порядск группы Г. Показать, что если п нечетно, то 2з делит числа (р) (рп-1 !)(рл — 3 1) (р2 !) дла всех достаточно больших простых р.
(Использовать а), а также упражнение 13 в Алг., гл. 1Х, з 6.) Показать, что если а четно, а р просто и достаточно велико, то 2з делит наименьшее общее кратное Ь„(р) чисел ( "- !)( " '- 1) " (р'-1)Ъ" + 1) ( л 1)( л-2 1) ( 2 1)!( »Л 1) (Тот же метод, что для нечетного л.) в) В предположениях п. 6) положим г(2, л) = «+ Ц+ Ц+ ... л+ о, (а!). Пусть А — целое число ) 3.
Показать, что 2"2 "! ' есть наибольшая степень двойки, делящая числа Ь„(р) при р)А (Тот же метод'), что в упражнении 6; воспользоваться существованием простого р ~ А, такого, что р ~ 5(шоб 8).) Вывестк отсюда неравенство е ~г(2, и) — 1. г) Обратно, пусть ф— подгруппа в ОЕ(л, Х), порожденная матрицами перестановок базисных векторов, а также диагональными матрицами с коэффициентами ~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
