Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 101
Текст из файла (страница 101)
+ Гсх есть идеал и в Кх! ! +... + Нх; е (й) существует р гц (1, д), такое, что Г есть множество произведений ехр (трхр) елр (тре,хр 9 1) ... ехр (шехе), где шр, ..., те принадлежат Х. (й!) если О/Г компактно, то (по п„..., пе) содержит все, члены нижнего центрального ряда алгебры 9'. (Используя г) и предложение 1б, свести все к случаю, когда О/Г компактно. Провести далее индукцию по гйп! О, примения в).) ЗО) Привести пример вещественной нильпотеятной алгебры Ли размерности 7, не обладающей базисом, в котором структурные константы были бы рациональны (см.
гл, !, $4, упражнение 18). Вывести отсюда, что в соответствующей группе типа (М) (упражнение 29) нет дискретных подгрупп с компактным фактором. (Использовать упражнение 29.) 31) Пусть О и О' — две группы Лн типа (М) (упражнение 29), и пусть à — дискретная подгруппа в О, такая, что О/Г компактно. Показать, что всякий гомоморфизм /: Г -» О' единственным образом продолжается до морфизма группы Лн О в группу Ли О' (начать с продолжения гомоморфнзма у на изолятор Г группы Г и получить отсюда гомоморфизм 0-алгебры Лн !ой(Г) в алгебру Ли группы 6'! см. упражнение 29).
32) Пусть Π— группа Ли типа (М) (упражнение 29) и à — дискретная подгруппа в О. Доказать эквивалентность следующих условий: а) О/Г компактно; б) объем пространства О/Г (относительно ненулевой положительной О-инварнантной меры) конечен; в) всякая интегральная подгруппа в О, содержащая Г, равна О. (Использовать упражнение 29.) Я ЗЗ) Пусть à — группа. Локазать эквивалентность следующих условий.. а) Г иильпотентна, не имеет кручения и имеет конечный тип; б) существует группа Ли типа (М) (упражнение 29), содержащая Г в качестве дискретной подгруппы; 15 н, Буровая ГЛ. П1. ГРУППЫ ЛИ 450 в) существует группа Ли 0 типа (51) (упражнение 29), содержащая Г в качестве такой дискретной подгруппы, что 0(Г компактна (Эквивалентность условий б) и в) следует из упражнения 29. Имплика- ' ция в)=ра) доказывается инпукцией по б(ш 6 методом уяражнения 29в.) Длн ' проверки импликацин а)~в) показать сначала, что !1-алгебра Лн, ассоциированная с изолвторон группы Г (см.
гл. П, $5, упражнение 4), имеет конечную . размерность, затем взять тензорное произведение этой алгебры с Гс н соответствующую группу типа (Ьг).) 34) Пусть 6 — вещественная или комплексная связная конечномерная группа Ли, р — ее линейное аналитическое представление в комплексном векторном пространстве У конечной размерности. Предположим, что р полупросто. Группа 6 действует автоморфнзмамн в алгебре 8 (У') полиномнальных функ- ' ций на У. а) Пусть 8(У') — множество 6-ивварнантных элементов нз 8(У'). Существует проектор р из 8(У") на 8(У')а, коммутирующий с действием группы 0 и переводящий в себя всякое О-устойчивое векторное надпространство в 8(У').
б) Пусть Л г — идеалы в 8(У'), устойчивые относительно О. Пусть А (соотв. В) — множество нулей идеала ! (соотв. г) в У. Предположим, что А() В 8. Существует тогда 0-инвариантный элемент и ен Л такой, что и 1 в В. (В силу Комм. алг., $3, п' 3, предложение 2, существуют такие а сн ! и э ш Л что а + э = 1. Пусть и = ра. Показать, что и обладает требуемыми свойствами.) 35) ') Пусть 0 — компактная подгруппа в Ж (а, ((). а) Пусть А,  — две различные 6-орбиты в ((а. Существует 0-инвариантная полииомиальная функция и на )(а, такая, что и = 1 на А и и =0 на В.
(Существует непрерывная вещественная функция а на )(а, такая, что а 1 ' на А, а = 0 на В. В силу теопнемы Стоуна — Вейерштрасса, существует полнномнгльная функция э на )(, такая, что ! а — э ( ~( '1'г на А Ц В. Получить отсюда и с помощью интегрирования относительно нормализованной меры Хаара на С.) б) Пусть х гм ((а. Тогда Ох есть множество нулей в )(а некоторого конечного числа 0-инварнантных полнномов. (Использовать а) и следствие 2 теоремы 1, п' 8.) 35) В группе 3(. (2, )!) ввиде(а, Ь), где а, Ь принадлежат 5!.
(2, )(), представнмы все элементы, кроме — !. $37) Пусть 6 — вещественная компактная группа, С' — вещественная связная конечномерная группа Лн. Предположим, что ь(0) проста. Пусть р: 6-» 0' — гомоморфизм абстрактных групп. Предположим, что существует такая окрестность У элемента г в О, что р(У) относительно компактно.
Тогда р непрерывен. (Пусть У' — некоторая окрестность элемента аа. в 0'. ПУсть Уа ш У' — окРестность элемента аа,, такаЯ, что где а б(ш О. Можно предполагать, что р нетривиально. Тогда Кег р конечно в силу упражнения 25. Следовательно, группа р(0) не счетна, а потому не дискретна. Найдется элемент й ен О, такой, что его централизатор не открыт ') В оригинале утверждение а) ошибочно формулируется для произвольных непересекающихся компактных 6-устойчивых подмножеств А и В в 1!".— Прим. перев. уппджнпния 461 м р(у) гм У". Используя упражнение 9 из й 4 и его обозначення, получаем, что р(М(у, и, У)) щ У' н М (у, гв У) есть окрестность злемента еп в 0.) 38) Пусть 0 — вещественная конечномерная группа Ли, О, — ее компомента единицы. Рассмотрим следующее свойство: (Р) Аб (0) замкнута в Ап! Е(0).
Показать, что 0 обладает свойством (Р) в каждом из следующих случаев: (!) 0 связна н нияьпотентна; (11) всякое дифференцирование алгебры Лн й (О) внутреннее; (гИ) О, обяадает свойством (Р) н О/Ое конечна; (1ч) 0 есть верхняя треугольная группа; (т) Ое полупроста. 39) Пусть Π— вещественная связная коиечномерная группа Ли, Н вЂ” ннтекральная подгруппа в О, Й вЂ” ее замыкание в О. Предположим, что Н обладает свойством (Р) (упражнение 38). а) Пусть х ем Й. Тогда 1.
(Н) устойчива относительно Аде!и х (и'2, предло- жение 5); пусть и (х) — его ограничение на й (Н). Тогда и (Н) = Аде!л1(Н). (Заметить, что Аб и (Н) плотна в и(Й), и применить свойство (Р).) 6) Пусть С вЂ” центр группы Й. Имеем Й=С. Н, и С является замыканием центра группы Н. (В силу а) для всякого х гм Йсуществует такой у щ Н, что Абс<п1х Аде!л1У.
Тогда Абд!п1(х 'У) есть тождественное пРеобРазовааие и, стало быть, х 'уез3й(Н) н хщЯЙ(Н). Н. По непрерывности ХЙ(Н) еовпадает с С. Группа С замкнута в Й, а потому в 0; следовательно, С П Н ~ С. Пусть хни С. В Н существует такая последовательность (х„), что х„стремится к х, Тогда Абд!и!х„стремится к 1, н, следовательно, существует такая аоследовательность (У„) в Н, что У„стРемитсЯ К е н Абс !п1Уз = Абс !л1хз. Тогда р„~х„щ С() Н и у„'х„стремится к х.) в) Равенство Н Й имеет место тогда и только тогда, когда центр группы Н замкнут в О. (Использовать 6).) 40) Пусть Н вЂ” вещественная конечномерная группа Ля, Нз — ее компоаента единицы.
а) Предположим, что Н, удовлетворяет условию (Р) упражнения 38, Н~Нз конечна и центр группы Н, компактен. Пусть 0 — вещественная конечномераая группа Ли и 1: Н -ь 0 — непрерывный гомоморфизм с дискретным ядром. Тогда г" (Н) замкнута в О. (Все сводится к случаю, когда Н связна. Поскольку ядро гомоморфизма ! дискретно, центр группы 1(Н) есть образ относительно 1 аентра групвы Н (лемма 1), н, стало быть, он замкнут в О.
Применить унражнеиие 39з).) б) Предположим, что Не полупроста и что Н!Не конечна. Тогда образ группы Н в произвольном линейном непрерывном конечномерном представлении замкнут в линейной группе. (Применить а) и упражнение 76).) 41) Пусть 0 — веществевкая связная конечномериая группа Лн, р: О-ь, -ь01.(п, С) — непрерывный гомоморфнзм с конечным ядром. Тогда группа р((0, 6)) замкнута в 61. (и, С). (С помощью упражнений 76) н 40а) сведем все к случаю, когда группа О есть полупрямое произведение некоторой полу- простой групйи 5 и своего радикала !т. Всякий элемент пз р((0, Я)) уннпотентеи н, стало бить, р((0, А)) замкнута.
Векторное подзространство Уг неподвижных точек группи р((0, )!)) отлично от (О]. Оно устойчиво относительно р(6). Рассматривая факторпространство Сз/У, и проводя индукцию по и ч использованием волной приводимости действия группы р(Я), мы получаем разложение с" Уг (1) ... (х) Уз, где вснкое пространство У! устойчиво отно- 16' % нэ гл.
пи гриппы ли сительно р(3) и где р ((О, 11)) (УО с У1Я ° ° ° ()3 Уу-~ для всякого П С другой стороны, р (3) замкнута (упражнение 406)). Наконец, р ((О, О)) -«(З)р((0 Ю)) 42) Пусть 6 — вещественная связная конечномерная группа Лн. Предположим, что О обладает ннъектнвным линейным непрерывным представленнеьз р: й -ь ОЛ (», С). Тогда О допускает линейное представление и: О -ь 61 (и', С) ° которое отображает О гомеоморфно на некоторую замкнутую подгруппу в 61. (и', С). (В силу упражнения 41 р ((6, 6)) замкнута в ОС (», С) н, стало быть, (О, 6) замкнута в 6.
Пусть р: 6-ь 01(0, 6) — канонический гомоморфизм и ч — инъективное линейное представление связной коммутативной группьэ О/(6, 6), имеющее замкнутый образ. Положить а=рЩ(т р).) 4!О 1) Пусть 0 — вещественная связная конечиомерная группа Лн. Показать„ что каноническое отображение из Ап(6 в Ап((Ь (6)), вообще говоря, ие сюръектнвно (взять О = Т). 2) Предположим, что К = 4)р. Пусть Π— конечномерная группа Лн. Пока- вать, что следующие условия эквивалентны: а) существуют такие хь х„..., «» в О, что подгруппа, порожденная множеством (хь ..., х„], плотна в 6; 6) 6 порождена некоторым компактным подмножеством.
(Для доказательства нмплихации 6)эа) заметить, что если (еь ..., е„) —, базис в Л(6), то (ехр2ре,)(ехрХре,) ... (ехрлре») есть окрестность элемента е.) 3) пусть 6 — множество таких пар (х, у) ы(арх гар, что (у(~1. это открытая подгруппа в Яр Х Глр. Имеем Ь (6) Яр Х ()р. Пусть а — инфииитезимальный автоморфяэм (х, у) ~ — ь (О, х). Тогда заключение предложения 3 не выполняется. 4) Пусть К вЂ” квадратичное расширение поля ()р, и пусть в ~м К вЂ” (Тр.
Рассмотрим 0 =Яр+Ура как группу Ли над К. Единственными ее автоморфнзмамн являются отображения (х, у) ь-ь(Лх, Лу), где Л обратим в 2~ Множество этих автоморфизмов нельзя наделить структурой группы Лн иад К обладающей свойствами, укаэанными в теореме 1. ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — 1П 1. Генезис Теория, которую в течение почти целого века называют теорией групп Лн"„ создана. по сути дела одним математиком — Софусом Ли. Прежде чем приступить к изложению истории этой науки, ыы коротко резюмируем различные более ранние исследования, которые подготовили ее развитие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
