Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Другими словами, изучаемый ими математический объект близок к тому, что в настоящем трактате именуется куском закона действия. Они не считают грехом прн случае рассматривать глобальные группы, например 4 серии классических групп [1Ч, т. 3, стр. 682], но, по всей видимости, не задаются вопросом, что вообще может представлять собой „глобальная группа". Лн и Энгель довольствуются тем, что получают для „параметров" классических групп (введение „переменных" для этих групп не приводит к каким-либо затруднениям, ибо речь идет о линейных преобразованиях простран-.
ства С") систему „локальных" параметров в некоторой окрестности тождественного преобразования, не беспокоясь об области справедливости написанных формул. Однако они ставят перед собой одну задачу, явно выходящую за рамки локальной теории'): изучение „смешанных" групп, то есть групп с конечным числом связных компонент, таких, как ортогональная группа $1У, т. 1, стр.
7[. Они представляют это как изучение некоторого множества преобразований, устойчивого относительно композиции и взятия обратного элемента, являющегося, кроме того, объединением множеств Ни каждое из которых описывается системами функций ()тп), как в (4). Число (существенных) параметров каждого Н) а рг[ог[ даже предполагается зависящим от 7, но они показывают, что в действительности это число одно н то же для всех Ни Их основной результат тогда состоит в том, что существует конечная непрерывная группа С, такая, что Нг — С ч)ту для некоторого Ь) ~ Н) и всякого ') Напомним (см. нсторнческнй очерк к гл.
НП! в Алг., стр. 316), что вслед за заметкой А. Пуанкаре [Х[Ч. т. Ч, стр. 77 — 791 разлнчвые авторы занимались нзученнем группы обратимых влемевтов ассоциативной конечно- мерной алгебрм. По атому поводу интересно отметить, что Э. Штудн в своих Работах на зту тему вводит символизм, сводящийся по существу к рассмо'трению абстрактнон группы, определаемой группой параметров. ИСТОРИЧЕСКИН ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! †!!! Устанавливается также, что 6 нормальна в смешанной группе, и замечается, что нахождение инвариантов последней сводится к нахождению инвариантов для 6 и для некоторой дискретной группы [1Ч, т. 1, гл. 18).
Общая теория, развитая в [1Ч), приводит к созданию „словаря", позволяющего переходить от свойств „конечных непре- . рывных" групп к соответствующим свойствам множества их инфинитезимальиых преобразований (высказывания авторов по этому поводу не носят, впрочем, систематического характера). Этот словарь основывается на трех „теоремах Ли", каждая из которых состоит из некоторого утверждения и его обращения. 7!ерзая теорема [1Ч, т.
1, стр. 33 и 72, и т. 3, стр. 563[ устанавливает, прежде всего, что если параметры в (4) являются эффективными, то функции 1; удовлетворяют системе уравнений с частными производными вида где матрица (КА!) имеет максимальный ранг и бе1(фы) чь О. Обратно, если функции 1! обладают этим свойством, то формулы (4) определяют некоторую групускулу преобразований.
Вторая теорема [1Ч, т. 1, стр. 149 и 158, и т. 3, стр. 5901 дает соотношения для функций $»! и соотношения для функций фм! условия относительно функций $1! записываются в виде и ~~> ($!А — — 5!А — ~~! фы (1<1, !к Г, 1<~1<<а), (16) дй!! д$!! ! А-! А А 1 где сА суть некоторые константы (1:;1, 1, Йе=г), антисимметрические по 1, !. Условия на функции !р!1 в той форме, которую им придал Маурер [Х[, имеют вид д1Р д!) 1 ч-! (1~~а, 1, а!юГ). (17) Введя матрицу (ац), коитрагредиентную к (фц), и инфинитези- мальные преобразования ХА =~~!, 51.
—. ЛА — — ~~! аА! — (1<й ~1Г), (18) д д ! 1 ! 404 ИСТОРИЧЕСКИЯ ОЧЕРК К ГЛАВАМ !†!П можно записать (16) и (17) соответственно в виде Г !Х„Хт] = ~ с» Х», (1~(!', 1(г) (19)- ') Это обращение было получено не без труда. Первое доказательство, приводимое Ли 1)П,е)1, состоит в переходе к присоединенной группе и в действительности состоятельно лишь в частном случае, когда центр данной алгебры Лн есть [О). Ли дает затем два общих доказательства [[У, т. й, гл. Хтц, н т. 3, стр. б99 †00: весьма примечатедьно, что первое из них основано на контактных преобразованиях и Ли находит его более естественным, нежели второе. Г [А!, А!] = ~ с» А .
(2О) »-! Обратно, если аадать т инфинитезнмальных преобразований Х» ([~~А(~т), которые линейно независимы н удовлетворяют условиям (19), то однопараметрические подгруппы, порожденные этими преобразованиями, порождают группу преобразований, зависящих от'т существенных параметров. Наконец, третья теорема ]1н', т. 1, стр. 170 и 297, и т. 3, стр. 597] сводит нахождение систем инфинитезимальных преобразований (Х»)!<»<,„удовлетворяю!цих (19), к некоторой чисто алгебраической задаче: константы с» должны удовлетворять условиям с» +е!»!=О, (21) Г 4' (е,!с~ +с"',с,' + е)м!с»!,)=О (1(~», 1, й, 1, т~т).
(22) Обратно' ), если (21) и (22) выполнены, то существует система инфннитезимальных преобразований, удовлетворяющая соотношениям (19), откуда возникает группа преобразований, зависящих от г параметров (другими словами, линейные комбинации с постоянными коэффициентами ннфинитезимальных преобразований Х» порождают алгебру Ли, и всякая конечномерная алгебра Ли может быть получена таким способом). Эти результаты дополняются изучением вопросов об изоморфизме. Две группы преобразований называются подобными, если существует переход от одной к другой посредством двух обратимых преобразований координат, производящихся над переменными и параметрами соответственно. С самого начала своих исследований Ли естественно пришел к этому понятию в связ»[ с определением „канонических параметров".
Он показывает, что две группы являются подобными, если посредством преобразования переменных можно совместить инфинитезимальные преобразования одной группы с инфинитезимальными преобразованиями другой ]1!!, т. 1, стр. 329]. Для этого необходимо, чтобы ИСТОРНЧЕСКНИ ОЧЕРК К ГЛАЗАМ ! — г!! алгебры Ли были изоморфны.
Ли формулирует это условие, говоря, что группы оказываются „д1е1сй гизаттелдезе1з1', но условие это не является достаточным, и целая глава [1Ч, т. 1, гл. 19] посвящена яахождению дополнительных условий, обеспечивающих „подобие" групп. С другой стороны, теория групп подстановок располагала понятием „голоэдрического изоморфизма" двух групп подстановок (означавшим изоморфизм нижележащих „абстрактных групп").
Ли переносит это понятие на группы преобразований и показывает, что две такие группы „голоэдрически изоморфны" тогда и только тогда, когда изоморфны их алгебры Ли [1Ч, т. 1, стр. 418]. В частности, всякая группа преобразований голоэдрически изоморфна каждой из своих групп параметров. Это показывает, что при изучении структуры группы „переменные", которые она преобразует, играют несущественную роль, и в действительности все сводится к алгебре Ли ').
Неизменно руководствуясь аналогией с группами подстановок, Ли вводит понятия подгрупп, згормальных подгрупп, „мериэдрических изоморфизмов" (сюръективных гомоморфизмов) и показывает, что им отвечают соответственно подалгебры, идеалы и сюръективные гомоморфизмы алгебр Ли. Очень скоро, впрочем, Ли нашел важный частный случай „мериэдрического изоморфизма" — присоединенное представление — и выяснил его связь с центром группы [П1,е)].
При доказательстве этих результатов, равно как и фундаментальных теорем, основным средством служит теорема Якоби — Клебша, дающая условие ' полной интегрируемости дифференциальной системы определен- него вида (одна из форм так называемой „теоремы Фробениуса").
Ли, впрочем, приводит для нее новое доказательство, использующее однопараметрические группы [1Ч, т. 1, гл. 6]. Понятия транзитивности и примитивности, столь важные для групп подстановок, так же естественно возникают в рамках теории групп преобразований. В трактате Ли — Энгеля они подвергаются детальному изучению [1Ч, т.
1, гл. 13 и далев]; замечены и связи между стабилизаторами точек и понятием однородного пространства (насколько это было возможно без обра!цеиия к глобальной точке зрения) [1Ч, т. 1, стр. 425]. Наконец, словарь дополняется в [1Ч] введением понятий производной группы и разрешимой группы (последнюю Ли называет „интегрируемой группой"; эта терминология, подсказанная теорией дифференциальных уравнений, останется в употреблении ') Аналогичную эволюцию можно отметить и в истории рззвнтни теории „абстрактных", в честности конечных, групп. Поначалу онн были определены йвк группы преобразований, но уже Кэли ззметил, что глзвзое — то, квк преобрззовзнин перемножвютсн между собой, з не природе конкретного предстзвлении данной группы в виде группы подстзновок некоторых объектов. 1б н, взэаз в историческии очерк к глав»м !-ш вплоть до работ Г.
Вейля) ([Ч, т, 1, стр. 26 1, и т. 3, стр. 678 — 679). Соотношения, которые имеют место между коммутаторами групповых преобразований и коммутаторами инфинитезимальных преобразований, Ли заметил, впрочем, уже в 1883 г. !Ш, т. 5, стр. 358). Другие доказательства основных теорем В 1ЧПЦ Ф. Шур показывает, что в канонических координатах функции фм из системы (15) удовлетворяют дифференциальным уравнениям г Я ([а))=Ь»+ Я с»,1агф! ((а). (23) у,г Эти уравнения интегрируются и приводят к формуле, эквивалентной нашей формуле тн (Х) = ~~' „+ (аб (Х))" э~о из гл.
11[, $6, п'4, предложение 12; в частности, в канонических координатах функции фц продолжаются до целых функций от параметров а». Ф. Шур выводит отсюда результат, уточняющий одно замечание, сделанное ранее Ли: если в определении (4) групп преобразований предполагать лишь, что функции Гг принадлежат классу Ст, то группа голоэдрнчески изоморфна некоторой аналитической группе '). Вслед за исследованиями по интегрированию дифференциальных систем Э. Картав !ХН, т. 11„ стр. 371) вводит в 1904 г. пфаффовы формы г оз» вЂ” — Я ф»! с[а; (! (1(т) (25) с-! (в обозначениях формулы (15)), названные позднее формами Маурера — Картана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
