Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Условия (17) Маурера могут быть записаны тогда в виде ! т~ доз» вЂ” — — — ~ с»го Л оз.. 9Ь7! Г ! ~) В 1111, !)! Ли уже анонсировал без доказательства один реаультат такого рода. К этому его привели исследования по основаниям геометрии („проблема Гельмгольца" ), в холе которых Ли заметил неестественность предположений аналитичности. 'Результат Ф. Шура побудил Гильберта в !900 г. поставить вопрос о справедливости этого заключения в предположении только непрерывности функций 1! („б-я проблема Гильберта").
Эта задача породила многочисленные исследования. Йанболее полным результатом з этом круге идей явлиется следующая теорема, доказанная А. Глисоиом, Д. Монтгомери н Л. Знппином: всякая топологическая локально компактная группа обладает открытой подгруппой, являющейся проективным пределом групп Ли. Отсюда вытекает, что всякая локально евклидова группа есть группа Ли. Подробности по этомч поводу см. в книге [ХЫ).
ИСТОРИЧЕСКИЯ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! — !з! 467 Э. Картан показывает, что теория конечных непрерывных групп может быть развита на основе форм шм и устанавливает эквивалентность этого подхода и подхода Ли. Но для самого Э. Картана интерес к этому методу заключен прежде всего в том, что он распространяется на „бесконечные непрерывные группы", теорию которых Э. Картан продвигает значительно дальше Ли, а также в том, что этот метод позволяет построить картановскую теорию обобщенного „подвижного репера". Гч(. Теория алгебр Ли После открытия соответствия между группами преобразова- ний и алгебрами Ли теория принимает более отчетливый алге-, браический характер, и основное внимание концентрируется на углубленном изучении алгебр Ли'), Первый и короткий период, с 1888 по 1894 г., отмеченный работами Энгеля, его ученика Умлауфа и особенно Киллинга и Э.
Картана, приводит к ряду ярких результатов о комплекс- ных алгебрах Ли. Мы уже отметили выше, что понятие раз- решимой алгебры Ли принадлежало самому Ли, доказавшему (в комплексном случае) теорему о приведении линейных раз- решимых алгебр Ли к треугольному виду [1(Г, т. 1, стр, 270)з). Киллинг замечает (ХЦ, что во всякой алгебре Ли имеется наи- больший разрешимый идеал (называемый теперь радикалом) и что фактор алгебры Ли по ее радикалу имеет нулевой радикал. Алгебры Ли с нулевым радикалом он называет полуп)юстылги и доказывает, что они являются произведениями простых алгебр (последнее понятие было уже введено Ли, который установил простоту „классических алгебр Ли" !1У, т. 3, стр. 682]). С другой стороны, Киллинг вводит для алгебры Ли характе- ристическое уравнение де1(ад(х) — ш.!)=0, которое Ли уже встречал при изучении подалгебр Ли размерности 2, содержащих данный элемент некоторой алгебры Ли.
Мы отсылаем к другим историческим очеркам настоя!цей книги за анализом методов, с помощью которых Киллинг, глубоко исследован свойства корней характеристического уравнения для элемента „общего положения" в полупростой алгебре, пришел к наиболее замеча- ') Термин „алгебра Ли" был введен Г. Вайлем в !934 г.
(в своих работах 1995 г. оп употребля,т выражение „инфинитезнмальиая группа"). До етого часто говорили просто об „ннфиннтезимальных преобразованиях Х~й ..., Аг/" рассматриваемой группы, что Ли и Энгель часто укорачивали до слов „группа х!й..., х 1"! ') С разрешимыми (а в действительности иильпотентиыми) группами Ли встретился почти в самом начале своих исследований 1111, !)1.
!бе истОРнческни ОчеРк к ГлАВАм à †тельному нз своих результатов — полной классификации (комплексных) простых алгебр Лн'), Кнллннг' доказывает, что производная алгебра разрешнмой алгебры имеет „ранг 0" (это означает, что аб х ннльпотентен для всякого элемента х нз алгебры). Спустя короткое время Энгель показывает„ что алгебры „ранга 0" разрешимы (данное утверждение по существу есть то, что мы называли теоремой Энгеля в гл.
1, $4, и'2). В своей диссертации Э. Картан вводит, с другой стороны, то, что теперь называют „формой Кнллннга", н устанавливает два фундаментальных критерия, характеризующнх с помощью этой формы разрешимые н полупростые алгебры Лн. Кнллннг [Х1, 1)У[ высказал утверждение, что производная алгебра всякой алгебры Лн есть сумма своего радикала, который ннльпотентен, н некоторой полупростой алгебры. Чуть позже Э. Картан анонсировал без доказательства [ХИ, т. 1„ стр. 104], что, более общо, всякая алгебра Лн есть сумма своего радикала н некоторой полупростой подалгебры. Едннственным в этом направлении результатом, полностью в то время проверенным, была теорема Энгеля, согласно которой во всякой неразрешимой алгебре Лн существует простая подалгебра Лн размерности 3.
Первое опубликованное доказательство утверждення Картана для комплексных алгебр Лн принадлежит Леви [ХЧ111[; иное доказательство (справедлнвое также в вещественном случае) было дано Уайтхедом в 1936 г. [ХХт1, а)[. В 1942 г. А. И. Мальцев дополнил этот результат теоремой единственностн, с точностью до сопряженности, „сечений Леви". Начиная с первых своих работ Лн задавался проблемой изоморфизма произвольной алгебры Лн с некоторой линейной алгеброй Лн. Ему показалось было„что он решил этот вопрос положительно, рассмотрев присоединенное представление (отсюда он вывел н доказательство своей „третьей теоремы") [111, е)[.
Он вскоре понял, что его доказательство было состоятельно лишь для алгебр Лн с нулевым центром; после этого проблема долгое время оставалась открытой н была утвердительно решена И. Д, Адо в 1935 г. [ХХЧ11[. Лн также по существу поставил проблему нахождения линейных представлений простой алгебры Лн, имеющих мнннмальную размерность, н решил эту задачу для классических алгебр. В своей днссертацнн Картан решает ') С той огоноркой, что Киплинг нашел аве исключительные алгебры размерности 52, факт изоморфизма которых от него ускользнул. (Речь идет только о комплексных простых алгебрах Ли, поскольку в то время более общая постановка проблемы ие рассматривалась; на самом деле методы Киллннга проходят для всякого алгебраически замкнутого поля характеристики О.) НСТОРНЧЕСКНИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! — ГП эту проблему для исключительных простых алгебр'); методы, которые он при этом использовал, будут спустя двадцать лет им обобщены для получения всех неприводимых представлений вещественных или комплексных простых алгебр Ли, Свойство полной приводимости линейного представления впервые, по-видимому, обнаружил (в геометрической форме) 1Птуди.
В рукописи, оставшейся неопубликованной, но цитируемой в (Ю, т. 3, стр. 785-788], он проверяет это свойство для линейных представлений алгебры Ли группы ЗЬ(2, С) и получает частичные результаты для 8Ь(3, С) и 8Ь(4, С). Ли и Энгель высказывают в связи с этим предположение, что теорема О полной приводимости верна для $Ь(а, С) при произвольном а. Полная приводимость линейных представлений полупростых алгебр Ли была установлена Г. Вейлем в 1925 г.
э) с помощью метода глобальной природы (см. ниже). Первое алгебраическое доказательство было найдено в 1935 г. Казимиром и Ван дер Варденом [ХХХ11]. Другие алгебраические доказательства предложили затем Р. Брауэр 1ХХХ1] (мы воспроизвели именно это доказательство) и Уайтхед ]ХХЪ'!, Ь)]. Наконец, в ходе своих исследований по экспоненциальному отображению (см. ниже) А. Пуанкаре )Х1Ч, т. 3] рассматривает ассоциативную алгебру дифференциальных операторов произвольного порядка, порожденную операторами некоторой алгебры Лн.
По сути дела он доказывает, что если (Х,),<, есть базис в алгебре Ли, то ассоциативная алгебра, порожденная этими элементами, допускает в качестве базисных элементов некоторые симметрические функции от (Х,) (суммы некоммутативных „мономов", каждая из которых состоит из членов, полученных нз некоторого монома всевозможными перестановками множителей). Основа доказательства Пуанкаре имеет'алгебраический характер и позволяет определить структуру универсальной обертывающей алгебры, абстрактное определение которой мы привели в гл. 1. Аналогичные доказательства были даны в 1937 г.
Биркгофом ]ХХ1Х, Ь)] 'и Виттом )ХХХ]'); Авторы большинства процитированных выше работ ограничиваются вещественными или комплексными алгебрами Ли, кото- ') Точка эренин Картана состоит в том, чтобы научать алгебры Ли, являющиеся нетривиальными расширениями некоторой простой алгебры Лн с помощью (коммутативиого) радикала, имеющего минимальную размерность. а) Г. Вейль намечает в свини с этим, что данная Э.
Картаном конструкции непрнводнмых представлений неявно использует ато свойство. ') первым испольэованнем дифференциальных операторов высшего порядка, порожденных элементами Хь является, несомненно, применение „опеатора Казимира". в доказательстве теоремы о полной приводимости. После Збо г. исследования И. М, Гельфанда и его школы, с одной стороны, и ХаришЧанлры — с другой, по бесконечномерным линейным представленинм вывели вти операторы на первый нлан.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! †!П 470 рые одни лишь соответствуют группам Ли в обычном смысле. Изучение алгебр Ли над полем, отличным от 11 или С, былО ° предпринято Джекобсоном [ХХЧ1!!, а)[, который показал, что почти все классические результаты (т. е. результаты гл.
1) остаются в силе для произвольного поля характеристики нуль. Ч. Экспоиенциальное отображение и формула Хаусдорфа Первые исследования по экспоненциальному отображеникР принадлежат Штудн и Энгелю. Энгель [1Х, Ь)[ замечает, что экспоненциальное отображение не является сюръективным à — 1 а'! для $1.(2, С) например, ~ ! [ не является экспонентом какой-либо матрицы из алгебры Ли этой группы, если аФО), но что оно сюръективно для 61.(л, С), а стало быть, дл!Р Рб(,(л, С) (последнее обстоятельство было уже отмечено Штуди для и = 2). Таким образом, Я.(2, С) и РОЬ(2, С) доставляют. пример двух локально изоморфных групп, которые, однако, с глобальной точки зрения сильно различаются. Энгель показывает также, что экспоненциальное отображение сюръективно .
для остальных классических групп, .если к ним присоединить гомотетии. Эти исследования возобновили и продолжили Маурер„ Штуди и др., не добавив, однако, ничего существенно нового В 1899 г. А. Пуанкаре [Х1Ч, т. 3, стр. 169 — 172 и 173 — 2!2! предпринимает изучение экспоненциального отображения с иных позиций. По-видимому, его труды написаны в спешке, ибо зачастую он утверждает, что всякий элемент связной группы лежит в образе экспоненциального отображения, и в то же время в других местах приводит противоречащие примеры Результаты Пуанкаре относятся главным образом к присоединенной группе: он показывает, что полупростой элемент такой группы б может быть экспонентой некоторого бесконечного множества элементов нз алгебры Ли !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
