Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 107
Текст из файла (страница 107)
П1 — банаховыми группами Лп ' и р-адическими группами Ли. а) Баналовы группы Ли Речь идет о „бесконечночерных" группах Ли. С локальной точки зрения окрестность элемента 0 в евклидовом пространстве заменяется окрестностью элемента 0 в некотором банаховом пространстве. Именно это сделал Г, Биркгоф в 193б г. (ХХ1Х, а)), придя таким путем к понятию полной нормированной алгебры Ли и установлению ее соответствия с „групускулой", определенной на открытом подмножестве некоторого банахова пространства.
Около 1950 г. Е. Б, Дынкин дополнил результаты Биркгофа распространением на этот случай формулы Хаусдорфа (см, выше). Определения и результаты Биркгофа и Дынкина имеют локальную природу. Вплоть до последнего времени как будто не было попыток явно изложить соответствующую глобальную теорию, несомненно, ввиду отсутствия приложений'). б) р-адические группы Ли Подобные группы появились впервые в 1907 г. в работах Геизеля (Х1Х) по р-адическим аналитическим функциям (определяемым разложениями в степенные ряды). Гензель изучает в особенности экспоненциальное и логарнфмическое отображения. Несмотря на а ргюг| необычное поведение соответствующих рядов (например, экспоненциальный ряд сходится не всюду), их основные функциональные свойства остаются в силе, что доставляет локальный изоморгризм между аддитивной н мультипликативной группами поля !4р (или, более общо, произвольного полного ультраметрического поля характеристики нуль).
В работах А. Вейля !ХХХ1!1! и Лютца 1ХХХ1Ч) по р-адическим эллиптическим кривым (!936 г.) говорится также о коммутативных (но на этот раз не линейных) группах. Помимо арифметических приложений, мы находим здесь конструкцию локального изоморфизма рассматриваемой группы с аддитивной группой, основанную на интегрировании некоторой инвариантной дифференциальной формы.
Этот метод применим также ') Если мы, невзирая на эту нехватку приложений, вклгочили вса же „банаховы" группы в гл. Ш, то ато потому, что банаховы многообразия все чаше находят применение в анализе (причсм даже прн изучении кбнечномерных многообразий), а также и в силу того, что это обобщение не доставляет дополнительных трудностей. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! †!П к абелевым многообразиям, как замечает немного позднее Шаботи, использующий его, не вдаваясь в дальчейшие объяснения, для доказательства одного частного случая „гипотезы .Морделла" [ХХХЧ].
С этого момента становится ясно, что локальная теория групп Ли применима без особых изменений в р-адическом случае. Основные теоремы, составляющие „словарь" группы Ли— алгебры Ли, устанавливаются в 1942 г. в диссертации Хука [ХХХЧ11], ученика Шевалле.
Его работа содержит также Р-адический аналог теоремы Э. Картава о замкнутых подгруппах вещественных групп Ли. Позже Лазар [Х1.П, Ь)] находит более точную форму „словаря" для компактных аналитических групп над Ор. Он показывает, что наличие Р-адической аналитической структурье ,на компактной группе 6 тесно связано с определенного рода фильтрациями на 6, и приводит различные приложения (например, к когомологиям группы 6).
Одним из средств, используемых Лазаром, .является улучшение результата Е. Б. Дынкина о сходимости р-адического ряда Хаусдорфа [ХШ1, а)]. УШ. Свободные алгебры Ли Нам остается сказать еше о ряде работ по алгебрам Ли, которые на первый взгляд имеют весьма отдаленную связь с теорией групп Ли; эти исследования зато имеют важные приложения в теории „абстрактных", преимущественно нильпо' тецтных групп. Истоки этого направления лежат в работе Ф. Холла [ХХ1Ч], появившейся в 1932 г. В ней идет речь вовсе не об алгебрах Ли: Ф.
Холл имеет в виду исследование некоторого класса р-групп, которые он называет „регулярными". Но это приводит его к детальному изучению последовательных коммутаторов и нижнего центрального ряда группы; попутно он устанавливает вариант тождества Якоби (см. гл. 11, $4, п' 4, формула (20)), а также „формулу Холла" (ху) =х"у"(х, у)" " ... (см. гл. П, 3 5, упражнение 9).
Немного позднее (в 1935 — 1937 гг.) вышли фундаментальные работы Магнуса [ХХЧ, а) и Ь)] и Витта [ХХХ]. В [ХХУ, а)] Магнус использует ту же алгебру А формальных рядов, что и Хаусдорф (она называется с тех пор „алгеброй Магнуса" ). Магнус погружает в нее свободную группу Р и привлекает естественную фильтрацию алгебры А для получения убывающего ряда (Р„) подгрупп в Р; это один из первых примеров фильтрации. Он высказывает гипотезу, что под- 476 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ !†!П группы Р„совпадают с членами нижнего центрального ряда группы Р.
Гипотеза Магнуса доказана в его втором мемуаре [ХХЧ, Ь)[; там же он осуществляет в явном виде сближение своих идей с идеями Ф. Холла и определяет свободную алгебру Ли А. (как подалгебру в А), причем доказывает, по существу, что она отождествляется с градуированной алгеброй Ли, ассоциированной с фильтрацией (С"Р)„>! группы Р. В [ХХХ) Витт дает ряд дополнений к этому результату. Он как раз показывает, что универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли 7. есть свободная ассоциативная алгебра, и сразу выводит отсюда ранг однородных компонент алгебры Ли !'. („ формула Витта" ). Что касается базиса свободной алгебры Ли Ь, известного как „базис Холла" (см.
гл. П, $ 2, и' 11), то, по-видимому, его определение появляется впервые лишь в 1950 г. в заметке М. Холла [ХЦ, хотя оно н содержалось неявно в цитировавиых выше работах Ф. Холла и В. Магнуса. БИБЛИОГРАФИЯ (1) Р. К1е!п е$3. Ь!е: а) Виг иие сег$а(пе 1апИИе йе соигЬев е! виг$асез, С. )7. Асай. Зс!., 70 (1870), !222 — !226 е$ !275 — 1279 (=[П, р. 416 — 420) е$ [П1, $. 1, р. 78 — 85)); Ь) ОЬег й!е[еп(Зеп еЬепеп Кигчеп, юе!сйе йигсЬ е!и девсЫовьепеп Зуь1еш чоп е!п?всЛ ипепйИсй ч!е!еп чег(аивсЛЬвтеп Ипеагеп ТгапМотша$!опеп !п ысЬ йЬегдейеп, Магй. Аип„4 (187!), 50 — 84 (=[П, р.
424 — 459[ е$ [П1, $. 1. АЬЛ. Х1Ч, р. 229 — 266)). (П) Р. К1тйп, ОезапппеИе ша(йептв$ИсЬе АЬЛапй!описи, Вй. 1, ВегИи (Зрппдет), 1921. (1П) 8. 1!е, ОевапипеИе АЬЬапй1ипЗеп, 7 чо1„).е(рх!д (ТеиЬпег): а) ОЬег Мй Лег(ргог!(а(зчегйаИп(ме йев Иеуевсйеп Коптр!ехев, $. 1, АЬЬ. Ч, р. 68 — 77 ( боИ. т?асй. (1870), 53 — 66); Ь) ОЬег е!пе К(авве Иеоше(ИзсЬег Тгапв$оипа(юпеп, $. 1, АЬЛ. Х11, р. 153 — 214 (=Сйт(ь((апа Рот. (1871), 182 — 245); с) Китаев йевшпе тпеЬгегег пеиег Тйеоиеи, 1. Ч, АЬЬ.
1, р. 1 — 4 (=СйтОИапа Рот. (1872), 24— 27); й) ОЬег раг($еИе Ог((егеп((а!д!е!сйииЗеп егйег Огйпип9, $. Ч, АЬЬ. ЧП, р. 32 — 63 (=СЛПзгтапа Рот. (1873), 16 — 51); е) ТЬеоНе йег Тгапв!отшаИопвдгирреп П, !.Ч,АЬЛ. П!, р. 42 — 75 (=Атой!о А Мага., 1 (1876), 152 — 193); 1) Тйеог!е йег Тгаив(огшвИопвигирреп ПИ 1. Ч, АЬЛ. 1Ч, р. 78 — 133 (=Агав!о й МаМ., 3 (1878), 93 — 165); и) Оп(егзис(шпиеп 9Ьег ГИИегепИв181е!с$шпЗеп П!, 1. Ч, АЬЛ. ХП, р. 311 — 3!3 (=Сйти!!апа Рот, (!883), п'!О, ! — 4); Ь) Оп$егзисйийЗеп ЗЬег Тгапз(отша((опзИгирреп П.
$. Ч, АЬЬ. ХХП, р. 507 — 551 (=АтсМо !. Ма(й., 10 (1886), 353 — 413); !) ВеИгаде хит аИдепте1пеп Тгапь(отша((опепв(йеог!е, $. Ч1, АЬЬ. Ч, р. 230— 236 (=Се(ра(йет Вет, (!888), 14 — 21). (1Ч) 5. (а(е ипй Р. ЕпИе1, Тйеог(е йег Тгапв(отша(!опзагирреп, 3 чо!., (.е!рх$9 (ТеиЬпег), !888 †!893. (Ч) 3. Ъ. 3у!чев(ег, СоИес(ей Ма(йешаИса! Раретз, 4 чо1., СатиЬгЫде, 1904 — 191 1. (Ч1) А, Сау1еу, СоИес(ей Ма(йешаИса1 Рврегв, 13 чо1., СашЬг149е, 1889 †18. (ЧП) С. Логйап, Мешо(ге виг 1ев и!опрев йе птоичетпепЬЬ Аппай й! Магй., 11 (1868 — !869), 167 — 215 е$332 — 345 (=(Еасгез, $.
1Ч, р. 231 — 302) . (ЧП1) Р. Зсйиг: а) Хит Тйеопе йег аиз Напр(е(пйе!$еп ЗеМ!йе(еп Кошр1ехеп, Магй. Апи., ЗЗ (!889), 49 — 60; Ь) $4еие Ведгйпйип$7 йег Тйеопе йег епй1(сйеп Тгапв1опиаИопздгирреп, МаИЬ Апл., 35 (1890), 161 — 197; с) Хш ТЬеог$е йег епйИсйеп Ттапв(отшаИопвдгирреп, Ма%. Апп„38 (1891), 2?3 — 286; й) ОЬег йеп апа!у$!всЬеп СЬагас(ег йег е!пе епй1кйе сопИпи)егИсйе Тгапв(отша((опвигирре йагз(еИепйе Рипй((опеп, Ма(й. Апп., 4! (1893), 509 — 538. (1Х) Р.
ЕпИеИ а) ОЬг й(е РеИп(Иопвд!екЬипИ йег сой$!пи!егИсйеи Тгапв(отшаИопзЗгирреп, Ма(й. Аап., 27 (!886), 1 — 57; Ь) О!е Егьеидипд йег епйИсЬеп Тгапв1огшаИопеп е(пег рго)ей$!чеп Огирре хинлиОГРАФия (Х) (Х1) (ХП) (ХПЦ (Х1Н) (ХЧ) (ХЧ1) (ХЧП) (ХНЕ)) (Х1Х) (ХХ) (ХХ1) (ХХП) (ХХ1 П) (ХХ1Ч) (ХХЧ) (ХХН1) (ХХЧП) йигсЬ й1е (пйпИевииа!еп Тгапв1оппа1юиеи йег Сгирре, 1, бе!рггуег Вег., 44 (1892), 279 — 296, П (гпИ ВеИгадеп чоп Е.
51ийу), (Ый, 45 (Р393, 659 — 696. 1.. Маигег, ОЬег аИВете(неге 1пчапаи1еп-буя(ете, ВВгалдзЬег. Мйлсбел, 18 (1888), 103 — 150. %, КИИпн, 1)!е Хивапппепяе!гиии йег в(еббеп епйИсЬеп Тгапв(огтабопяагирреп: !) Ма№, Алл., 3! (1888), 252 — 290; П) (ЬЫ., 33 (1889), 1 — 48; П1) (ЬЫ., 34 (1889), 57 — !22; 1Ч) (ЬЫ., 36 (!890), 161 — 189. Е, Саг1ап, (Еичгев сопяр1йев, 6 чо!., Рагй (Саий!ег-ЧИ!агв), 1952 †19. 3.
Е. СагпрЬеИ: а) (рп а 1атч о( сотрйпа1юп о! орега1огя Ьеаппб оп йе йеогу о1 сопИпиоив 1гапз(оппабоп дгоирв, Ргос, болг(ол Маух Вос., (1), 28 (1897), 381 — 390; Ь) Оп а 1атч о( соптЬЬ паИоп о! орега(огв (зесопй рарег), 1ЬЫ., 29 (!898), 14 — 32. Н. Ро!псаге, (Еиогез, 11 чо!., Рагй (Саифег-ЧИ(агя), 19!б— 1956. Н. Р. Ва(сег, Айегпапй апй сопбпиоиз дгоирв, Ргос.
болйол Мабх Бос., (2), 3 (1905), 24 — 47. Р. НаизйогИ, ()(е вутЬоИзсбе ЕхропепбаПогте! (и йег Сгиррепйеопе, бе(рггуег Вег., 58 (1906),!9 — 48. А. Нигыйх, СЬег гИе Еггеибипб йег !пчапап(еп йигсЬ 1и!ебгаИоп, боВ. Йасбг. (1897), р. 71 — 90 (=Май, %егЬе, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
