Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 102
Текст из файла (страница 102)
а) Грунин преобразований (Клейн — Ли, 1Вбй — 1В72) Около 1860 г. начинает развиваться и находить применения теория групп подстановок конечноео множества (Серре, Кронекер, Матье, Жордан). В то же время, благодаря теории инвариантов, которая тогда переживала подъем, математики освоились с некоторыми бесконечными множествами геометрических преобразований, устойчивых относительно композиции (а именно с линейными или проективными преобразованиями). Но, по-видимому, до работы Жордана (Ч1Ц !868 г. о „группах движений" (замкнутых подгруппах группы перемещений трехмерного евклидова пространства) связь между этими двумя направлениями ке была осознана.
В 1869 г. молодой Феликс Клейн (1849 — 1925), ученик Плюкера, завязывает дружбу в Берлине с норвежцем Софусом Ли (1842 — 1899), который на несколько лет старше его и с которым его сблизил общий интерес к „геометрии прямых" Плюкера, л именно к теории комплексов прямых. Примерно в то же время к Ли приходит одна из самых его оригинальных идей — введение понятия инварианта в анализ и дифференциальную геометрию, одним из источников которой явилось его наблюдение, что все классические методы интегрирования дифференциальных уравнений „в квадратурах" основаны на инвариантности уравнения относительно некоторого „непрерывного" семейства преобразований. Первая работа (отредактированная Клейном), где Ли использует эту идею, относится к 1869 г.
Ли изучает здесь „комплекс Рея" (множество прямых, пересекающих плоскости, огра- ИСТОРИЧЕСКИП ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — И! ничнвающие тетраздр, в 4 точках, находящихся в данном двойном отношении), а также кривые и поверхности, касательные прямые к которым принадлежат этому комплексу [П1, а)]. Его метод. основан на инвариантности комплекса Рея относительно трех- параметрической коммутативной группы (максимального тора в РОЬ (4, С)), оставляющей на месте вершины тетраздра. Эта же идея преобладает в работе Клейна и Ли, которую они написали вместе в Париже весной 1870 г.
[1, а)]. В ней они находят, по сути дела, связные коммутативные подгруппы проективной группы плоскости РОЬ(3, С) и изучают геометрические свойства их орбит (называя их кривыми или поверхностями т'). В результате они единообразным путем получают свойства различных алгебраических или трансцендентных кривых, таких, как кривая у = сх или логарифмические спирали. Оба они единодушно подчеркивают, сколь глубокое впечатление произвели на них теория Галуа и теория джордана (комментарий тКордана к теории Галуа появился в Ма!Ь. Аппа(еп в '1869 г:, впрочем, Ли впервые услышал о ней в 1863 г,). Клейн, который в 1871 г.
начинаег проявлять интерес к неевклидовым геометриям, видит в них исходную точку своих поисков принципа классификации всех известных геометрий, поисков,'которые приведут его в 1872 г. к „Эрлангенской программе". Со своей стороны, Ли в письме к А. Майеру в 1873 г. [Ш, т. Ч, стр. 584] датирует временем пребывания в Париже возникновение своих идей, касающихся групп преобразований. В работе 1871 г. [Ш, Ь)] он уже пользуется самим термином'„группа преобразований" и точно формулирует проблему нахождения всех подгрупп („непрерывных или разрывных") в О1. (и, С).
По правде говоря, оба, Клейн и Ли, должны были испытать определенные трудности при углублении в зту новую сферу математики, и Клейн говорит о только что появившемся тогда трактате Щордана как о „книге за семью печатями" [П, стр. 51]. В другом месте он пишет по поводу работ [!, а) и Ь)]: „Именно Ли принадлежит все, что связано с эвристической идеей непрерывной группы операторов, в частности все, что касается интегрирования дифференциальных уравнений, обыкновенных !или 'с частными производнь!ми.
Все понятия, развитые им позднее в его теории непрерывных групп, в зародыше у него уже имелись, но были столь мало разработаны, что мне в ходе долгих бесед приходилось спорить с ним по многим вопросам, поначалу, например, по поводу самого существования кривых т'" [П, стр. 415]. б) Инфинитезимальные преобразования Концепция „бесконечно малого" преобразования восходит по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. Известно, что Декарт открывает мгновенный центр враще- ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАЗАМ ! — ГИ ния, предположив, что „в бесконечно малом" всякое плоское движение может быть уподоблено некоторому вращению; разработка аналитической механики в ХЧ1!! веке целиком основана на сходных идеях.
В 1851 г. Сильвестр, пытаясь построить инварианты линейной группы СЬ (3„ С) или некоторых ее подгрупп, придает параметрам зи фигурирующим в матрицах~ этой группы, „бесконечно малые" приращения вида а~И и записывает условие инвариантности некоторой функции 1 ((зГ)) уравнением ~((зГ+аГд!)) =~((з~)). Это дает ему для 1 линейное уравнение с частными производными Х)=0, где .Ц=~ а! в д! (1) дг Х является, таким образом, дифференциальным оператором, „производной вдоль направляющих параметров аГ" 1АГ, т, 3, стр. 326 и 327). Кажется, что Сильвестр чувствует, что здесь проявляется некоторый общий принцип большой важности, но, судя по всему, больше он не возвращается к этому вопросу.
Чуть позже Кали 1171, т. П, стр. 164 — 178! применяет аналогичный прием в связи с инвариантами группы 8Ь(2, С) в некоторых ее представлениях и показывает, что эти инварианты суть решения двух уравнений с частными производными Х1 =О, У! =О, где Х и У получаются, как выше, исходя из „бесконечно малых" преобразований б! О О О В современных терминах это объясняется тем фактом, что Х и У порождают алгебру Ли ь1(2, С). Отметим, что Кали явно вычисляет коммутатор ХУ вЂ” УХ и показывает, что ои также происходит из некоторого „бесконечно малого" преобразования. В своем мемуаре 1868 г. о группах движений 1У11] )Кардан повсеместно пользуется понятием „бесконечно малого преобразования", но исключительно с геометрической точки зрения.
Без сомнения, именно у него возникает идея однопараметрической группы, „порожденной" некоторым бесконечно малым преобразованием. для Жордана это множество преобразований, получающихся в результате „повторения надлежащим образомй бесконечно малого преобразования (там же, стр. 243). Клейн и Ли в своем мемуаре 187! г. применяют тот же оборот: „повторенное бесконечно малое преобразование" !1, Ь)), но из контекста ясно, что они понимают под этим интегрирование некоторой дифференциальной системы. Если рассматриваемая ими однопараметрическая группа образована преобразованиями х' =1(х, у, 1), истОРическии ОчеРк к ГлАВАм ! — и! 456 у'= д(х, у, 1), то соответствующее „бесконечно малое преобразование" задается формулами ах=у(х, у)б), г(у=!7(х, у)с(1, где р(х, у) —,(х, у, 1о), а(х, у) — (х, у, 1о) и 1с отвечает тсждественному преобразованию в группе.
Поскольку явный вид функций 7 и д Клейну и Ли известен, для них не составляет труда проверить, что функции 1!-ь.((х, у, 1) и 1ь-ьд(х, у, 1) задают в параметрической форме интегральную кривую дифференциального уравнения у(й ц) а$ = Р ($ ц) аг) проходящую через точку (х, у). Они, однако, не подводят под этот фант никакой обшей базы, и в оставшейся части мемуара он больше не используется. в) Контактные преобразования В течение последующих двух лет Ли, по всей видимости, оставляет занятия теорией групп преобразований (хотя и поддерживает тесную связь с Клейном, который публикует в 1872 г.
свою „Программу" ) с тем, чтобы изучать контактные преобразования, интегрирование уравнений с частиымп производными первого порядка и связи между этимк двумя теориями. Мы не ставим своей целью изложить здесь историю этих вопросов и коснемся только некоторых моментов, которые, как нам кажется, сыграли важную роль в генезисе теории групп преобразований. Понятие контактного преобразования обобщает одновременно точечные преобразования и преобразования посредством взаимных поляр. Грубо говоря, контактное преобразование ') в С" есть изоморфизм некоторого открытого подмножества ьа многообразия Т'(С") кокасательных векторов к С" на другое открытое подмножество ьз' в Т'(С ), переводящее каноническую 1-форму на ьз в такую же форму иа ьз'.
Другими словами, если (х,, ..., х„, ') Мы говорим здесь об „однородных" ко !тактных преобразованиях. Ранее изучение уравнений типа (2), в которых, однако, Р зависит также от Х> привело Ли к рассмотрению контактных преобразований с 2п+1 переменными з, кг, ..., х„, ро ..., р„н задаче нахождения 2п+ 2 фуикннй Х, Р!, Хг(! (~! «,и) и р (зта последняя че О в каждой точке), таких, что йа— Р! ЫХ! р ! пя — ~ р!!(х!) .
Этот кажущийся более общим случай, впро чем, легко сводится к „однородному случаю" 11!Г, т. 2, стр. !35 — 1461. историческии очврк к ГлАВАм 1 — и! 467 Ри ..., Ра) обозначают канонические кооРдинаты на Т'(С"), то контактное преобразование есть изоморфизм (х„р,) ! — э (Х„Р!), з а удовлетворяющий соотношению ~ Р,с(Хг= Х р!!1х!. Такие пре! 1 образования возникают при интегрировании уравнений с частными производными вида В процессе исследования этих вопросов Ли освоился со скобками Пуассона л (3) и с коммутаторами') (Х, У! = ХУ вЂ” УХ дифференциальных операторов типа (1). Он интерпретирует скобку Пуассона (3) как результат действия на Т преобразования типа (1), ассоциированного с д.
В связи с этим он замечает, что тождество Якоби для скобок Пуассона выражает тот факт, что коммутатор дйфференцнальных операторов, отвечающих функциям д и Ь, соответствует скобке (д, Ь). Отыскание функций д, таких, что (Р,д) О, служившее в методе Якоби средством интегрирования уравнения с частными производными (2), применяется Ли к нахождению инфнннтезимального контактного преобразования, сохраняющего данное уравнение. Наконец, Ли приходит к изучению семейства функций (и!)!< < от переменных х, н р!, характеризуемых тем, что скобки (и,, иь) суть функции от функций из, и называет эти множества (рассматривавшиеся, по существу, уже Якоби) „группами".
Н. Непрерывные группы и ннфинитезимальные преобразования Осенью 1873 г. Ли внезапно возобновляет изучение групп преобразований и получает основные результаты. Насколько возможно проследить ход его рассуждения в нескольких письмах к А. Майеру в 1873 †18 гг. (И1, т. 5, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
