Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(Пусть хь рь ..., хю ур— такие элементы из В (О), что ~хп у ] образуют бззнс в (В (6), В (О)). Положить для з, ! нэ 11 р (а, !) = (ехр зу!) ' (ехр !х ) (ехр зр )(ехр !2,]. Применить теорему о неявных функцнях к отображению (зь (ь зр !Р) ! — ь р! (Хь !д) ° ря (зр !Р) нз Рсва в (6, О).) 11) Пусть 0 — полупрямое произведение группы В л/22 на К, отвечающее автоморфязму хь-ь — х группы Лн К.
Тогда й(К) есть идеал в В (6) и В (В) = (9), но (К, В) К. 12) Пусть (еь ез, ез) — каноннческнй базнс в Кз. Рассмотрнм на К' такую структуру ннльпотентной алгебры Лн, что [еь ез) е„(еь е,) (ем ее)=О. Относнтельно ассоциированного группового закона на К' (пй 5) имеем (Х,9~2)(2~Р,2) (Х+Х, У+у~2+2 + — (ХР— РХ)). Отображение (д р, ч) г-чь(ехр Хе!) (ехрне,) (ехрч (е, -(-ез)) нз Кз в 0 нн сюръектнвно (покааатгч что (О, 1, 1) не лежит в его образе).
нн ннъектнвно (показать. что (О, 1, 9) н (1, 1, — 1) имеют однн н тот же образ). !3) а) Определим умножение в Вз следующнм образом: (х,р,х) ° (х р,з)=(х+х созз — р 3!ПХ, р+х 3!ПХ+р соз2, 2+2). Показать, что мы получаем прн этом .вещественную разрешимую группу Лн О, такую, что ЗО 11' Х(0). 1(ентр 2 группы 0 есть (0) Х (0) Х2я2. б) для (х, у, 2) ен 6 пусть я(х, р, 2) — отображение ()ь р) г-ь (А соз 2 — р з1п 2 + х, А з!и 2 + р соз в+ у) нз )12 в 11з. Показать что я есть морфязм нз 6 на подгруппу Лн 6' в а$фнвной группе пространства )(з, порожденную переносами н вращеннямн в )1 .
Покааать, что Кег я =2. в) Отождествнм канонически й (6) т! р юО с (1'. пусть (еп ез, ез)— кзноннческнй базис в )(з. Показать. что (е„ез] О, (ез, е1] ею (ез ез] — е!. ГЛ. ПП ГРУППЫ ЛИ г) Показать, что длн с чь 0 г! 1 ехр (а, Ь, с) ( — (аз|па+Ьсозс — Ь), — (-асозс+Ьз!па+а), с1. с ейчl- б. 1+ ° к, если б ( О, з)г З/ — б созь б .7 + ° х, если а > О. — з!и У'б ек гА 0 б) Пусть Н 'ЗК2, )х).
Показать, что 9 (,)емН лежитв об~о д-) разе отображении ехр тогда н только тогда, когда Л>0 илн Х вЂ” 1. Если н ь> О, то все однопараметрнческие подгруппы, содержащие 9, совпадают. 16) Пусть 0 — коиечномернан группа Ли, Покааать, что существует базис (хь ..., хе) в 1,(0), такой, что ехр()!х,) есть подгруппа Лн в 6 дла всякого |.
(Использовать Спектр. теор„гл. 11, $2. лемма 1) т] 17) а) Обозначим через с разрешимую вещественную алгебру Ли, до. пускающую такой базис (а, Ь, с), что [а, Ь] с, [а, с] — Ь, [Ь, с] = О Обо" значим через Ь разрешимую вещественную алгебру Лн, допускающую такой базис (а, Ь, с, |(), что [а, Ь] с, [а, с] — Ь, [ь, с]=А [а, б]=[Ь б]= = [с а] =О. Пусть 9 — некоторая разрешимая алгебра Лн.
Если 6 содержит ненулевые элементы х, у, з, такие„что [к, у] =з ы [х, х] — У. то 9 солар жит тогда подалгебру, котораи изоморфна с или Ь. (Положим а| У, Ь~=х с| [у, х]; определим рекуррентно а|, Ь!, с| условиями а|=[а|-| сг-|!~ Ьг =!Ьг-|. сг-|] с| [а|, Ьг]. Рассмотреть наименьшее целое чысло Ь, такое, что с 0.) б) Пусть 6 и 9' — разрешимые вещественные алгебры Ли и ф — гомоморфизм нз 6 на 9'.
Если 6' содержит подалгебру, изоморфную с илн Ь, то 6 обладает тем же свойством. э) Пусть Π— разрешнмаа номплексиаи алгебра Лк. Рассмотрим некотоРый Рад Жордана — Гельдера дла присоединенного представления алгебры Лн ]); фактоРы этого ряда определяют одномерные представления алгебРы Лн р и, стало быть, линейные формы на Ь. Эти линейные формы, которые зависит только от Ь, называются корнями алгебры Лн Ь. Если Ь' — Разре; шиман веществеиаая алгебра Лн, то коринмн ыазываютси ограниченна на !) корней алгебры Лн 6'8 С. Пусть теперь 0 — вещественнан разрешимая односвнзнав конечномернаа гРуппа Лн, 9 — ее алгебра Лн.
Показать, что следующие условии эквивалентны: а) ехра ннъективно; 9) ехра сюръектнзно; у) ехра биективно; б) ехра есть нзоморфизм аналитического многообразын Е(0) на аналитическое мио- Вывести отсюда, что 2 ехр()!и) дла всякого и еы Е (6). Показать, что отображение ехр: Е(6)-з 0 ие является ни ннъектнвным, ии сюръективиым.
14) а) Пусть 0 6Е(п, С). Показать, что отображеные ехр, сюръектинио. (Использовать голоморфное функциональное исчисление в Спектр. теор„гл. 1, $4, и'8.) б) Пусть 0' ЕС (2, С). Показать, что если а ем С; то элемеыт ( ) — 1 а~ ) ыз 0' ие лежит и образе отображения ехра.. 0 — 1) 15) а) Пусть хек й1(2, К) и б бе(х. Показать, что 446 УПРАЖНЕНИЯ гообразие 0; з) Е (6) не содержит никакой подалгебры, изоморфной с или 6; Е) не существует факторалгебры алгебры Е (О). которая содержала бы подалгебру, изоморфиую с: ь)) всякий корень алгебры Ли 8 имеет вид ф+ !ф', где йь ф' принадлежат 8' и форма,~р' пропорциональна форме йк 8) для всякого «щ 8 единственное чисто мнимое собственное значение (в С) оператора аб «есть О '). 18) Пусть 0 — вещественная связная группа Ли, 3 — ее центр, Зь — компонента единицы группы 3, 8 — алгебра Ли группы О, й — центр алгебры Ли 8.
Тогда 3 и Зь суть квазнподгруппы Ли в 0 с алгеброй Ли й (упражнение 3). Назовем допустимой нормой на 8 норму, определяющую топологию алгебры Лн 8 и превращающую 8 в нормированную алгебру Ли. а) Каковы бы ни были г > О и «ьм ф существует допустимая норма на у, значение которой в «строго меньше г. (Пусть 4 — некоторая допустимая норма на 8. !!оказать, что при подходящем выборе числа Л>О функция х ь-ь )! х 11 Лу («) + !п( д («+ у) обладает требуемыми свойствами.) ую Ь б) Показать, что следующие условия эквивалентны: (!) Зь односвязна; (!!) какова бы нн была допустимая норма на 8, ограничение отображения ехрп на открытый шар с центром в О радиуса я инъектнвио; (ГВ) существует такое г > О, что, какова бы ни была допустимая норма на 8, ограничение отображения ехрц на открытый шар радиуса г с центром в О ннъеитнвно.
(Для проверки импликации (!!!)=,='ь(!) использовать а), Для проверки импликации (!)~(11) предположим, что «, у лежат в 8, 1! «!! < я, !!у! < я, «чьУ е«РО«=е«РОУ. Тогда ехР ай «=е«Р адУ н. стало быть айх абУ в силу предложения !7 $6, примененного к комплексификации пространства 8. Значит, существует ненулевой «ьм ф такой, что ехрпг е; отсюДа следует, что (1) не имеет места.) в) Рассмотрев группу С' нз упражнения 1Зб), показать, что заключение и. б) теряет силу, если и заменено каким-либо числом > я. (В обозиа- Ь УЬ чениях ) пражнеиня 13 использовать норму ае, + Ьеь + се, ь-ь (а' + Ь' + с') й иа Е(0 ).) 19) Пусть 0 — локально компактная группа, Н вЂ” замкнутая нормальная подгруппа в О. Предположим, что Н есть разрешимая односвязная конечно- мерная группа Ли и что О/Н компактно.
Показать, что существует компактнаи подгруппа Е в С, такая, что С есть полупрямое произведение группы Е на Н. (Провести индукцию по д!ш Н. Рассмотреть последнюю нетривиальную производную группу группы Н и использовать Нигвгр., гл. ЧП, $3, предложение 3.) 20) Пусть С вЂ” вещественная связная разрешимая коиечиомериая группа Ли. Введем обозначения 8, 8', Р, и из 5 6, и'16, доказательство предложения 20. а) Используя предложение 21, показать, что и есть изоморфизм из 8 иа некоторую подгруппу Ли вещественной группы Ли, лежащей ниже 8'. б) Вывести отсюда, что универсальная комплексификация 6 группы 0 отождествляется с 8'/п(Р) и что каноническое отображение нз 0 в 0 есть изоморфизм из 0 на некоторую подгруппу Ли вещественной группы Ли, лежащей ниже О.
') Подробности см. в статье М. За!!о, Зпг сег!а!пз йтонрез де 1Ле гйзо1нЫеа, Зс!. Рарегз оГ !(ье Со!!епе оГ Сене«а( ВбнсаПоп, Пп!ж оГ Тойуо, 7 (1967), 1 — П, 167-168. ГЛ. 111, ГРУППЫ ЛИ 446 $21) а) Пусть 6 — вещественная разрешимая односвяэная группа Лн со следующими свойствами: а) Е (6) выест размерность и н существует, коммутатнвний идеал размерностн а — 1, отвечающий некоторой подгруппе . А в 6; 6) существует элемент а из центра группы О, не принадлежащей подгруппе А.
Показать, что существует такой элемент х щ Е (6), что ехр х= а. Показать, что Е (6) есть произведение некоторого коммутатнзного ндеала н некотоРого идеала, допУскающего базис (х, ар Ь,; ..., ашба), такой,что аг ЬР ..., а, Ь, лежат в Е(А), [х, а1!=2пи,ЬР [х, Ь.] — 2ма1а,. (л щ Х вЂ” (0) для всякого 1). Обобщить на 6 результаты упражнення 13 г). б) Пусть 6 — вещественная разрешимая односвязная конечномериая группа Лн. Пусть Р— некоторая дискретная подгруппа центра группы 6. Существуют базис (хь х,, ..., х„) в Е(6) н целое чнсло г~(п со следующими свойствамн: а) всякий элемент нз 6 единственным образом эаписываетса в анде (ехР 1,«Д ...
(е«Р г„х„), где /ь ..., /„ лежат в (1; ()) элементьг «ь ..., к, попарно нерестанозочны н (ехрхо ..., ехрх,) есть базис коммутатнзной группы Р. (Провестн индукцию по размерности группы 6. Пусть а — макснмздьный коммутатнвный ндеал в Е(6) н А — соответствующая интегральная подгруппа. Тогда А замкнута в 6 и РА/А есть дискретная подгруппа центра группы 6/А, к которой можно" применять предположение нндукцнн; это дает элементы «Р ..., х в Е(6/А) и целое число з.
Для 1(~1~(з пусть а1 — некоторый элемент нз Р. класс смежности которего па модулю А есть ехр х," Используя а), последовательно построить представители хн ..., х элементов х,, ..., х„„ такие, что ехр х = а,. н [х, х/1 9 ,прн 1(1, /(з)') в) Вывестн из б), чтонсякая вещественная разрешимая связная конечно- мерная группа Ли гомеоморфна пространству Кэ Х Тш (и, л — целые числа " 6). 22) Пусть 6 — вещественная связная коиечиомерная группа Лн, такая, что Е(6) редуктизна. Имеем 6 (УХЮ)/У, где У вЂ” аддитивная группа некоторого вещественного векторного пространства конечной раэмерностн, 8 — некоторая вещественная полупростая связная группа Ли и У вЂ” некоторая центрыьиая днскретная подгруппа в У Х 3. Тогда группа 6/Р'6 изоморфна У/рг~М. Стало быть, ОЮ'О компактза тогда н только тогда, когда рг~ У порождает векторное пространство У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
