Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 100
Текст из файла (страница 100)
23) а) Пусть 6 — вещественная коммутатнвзая конечномерная группа Ли с конечным числом связных компонент. Для компакт. ости 6 необходимо н достаточно, чтобы всякое линейное аналитическое конечномерное цредставленне группы 6 в комплексном векторном пространстве было полупросто, (Использовать доказательство превложення 32.) б) Пусть 6 — комплексная коммутатнвная конечномерная группа Лн с конечным чнслом связных компонент и У вЂ” ядро отображения ехр .
Для того чтобы У порождалз над С векторное пространство Е(6), необходнмо н достаточно, чтобы всякое линейное аналитическое конечномерное представление'группы О было полупросто. (Использовать а), лемму 1 н предложение 33.) 24) Группа Лн 8Е(2, Гс) связна н почти проста, но [/, — /) является коммутативной нормальной подгруппой в Я. (2, й). Ж) Пусть Π— вещественная нли комплексная односвязная почти простая группа Лн, Пусть А — нормальная подгруппа з О. Если А Ф 6, то А ') Подробностн см. в статье С. С)1еча1!еу, Торо!ой(са! з1гпс1пге о( зо(- чай!е йтопрэ, Аап, о/ Ма/Ь., 42 (1941), 668-6уб.
УПРАЖНЕНИЯ 447 дискретна н пентральна. (Использовать упражнение 6 з 4.) Следовательно, факторгруппа группы О по ее центру как абстрактная группа проста. $ 26) Пусть Π— вещественная связная конечномерная группа Ли. Предположим, что 0 обладает лянейным непрерывным конечномерным представлением р, которое инъективно. Тогда (О, 0) замкнуто в О, (Пусть /7 — радикал группы О, 3 — некоторая максимальная полупростая интегральная подгруппа в О. С помощью упражнения 76) свестн все к случаю, когда 0 есть полупрямое проязведение подгруппы 5 на В.
В силу предложения 6 гл. 1, 6 6, р унипотентно в (О, /г). Стало быть, р ((О, /1)) закинута в линейной группе и, следовательно, (О, К) замкнута в 0.) 1( 27) Пусть Π— вещественная одиосвязная разрешимая конечиомерная группа Ли, А/ — наибольшая связная нормальная нильпотентная подгруппа в 6. Тогда 6 допускает инъективное линейное непрерывное конечномерное представление, ограничение которого на /У уннпотентно. (Провести индукцию по размерности группы О. Использовать предложение 20, а также гл. !, 6 7 теорема !.)') $28) а) Пусть й — поле характеристики О, Š— алгебра Ли размерности л над й, Е| — ее подалгебра размерности и — 1„не содержащая никакого ненулевого идеала алгебры Ли Е и пз — элемент из Е, ие принадлежащий Еь Для 1 =2, 3, и.. определим последовательно подпространства Е! из условий, что Ег есть множество таких к гн Ег-ь что (х, а,)гы Ег ь Положим Е; Е при 1(~0.
Показать, что (Еп Е/) с: Ег+1-, (применить индукцию по 1+/), затем, что Е! есть подалгебра в Е коразмерности 1 при О</~л (применить индукцию по 1). б) При 0 < 1<л выберем в Е элемент а, не принадлежащий Е еи таК что [аз, аг] а /а,(шодЕ ). Показать с помощью индукции по парам (Е /), упорядоченным лексикографически, что если 0 ~ 1 < / < и, то 1+ 1 — 1 < л и [пр п/] =а (1' — 1) и! 41 ! (шоб Е141). в) Вывести отсюда, что либо Е имеет размерность 1, либо Е не коммутативна и имеет размерность 2, лабо Е изоморфна 61(2, й).
г) Пусть А — вещественная конечномерная алгебра Ли. Подалгебра В в А называется продолжимой, если существует такая подалгебра В~ ~ В, что РВш В, = 61ш В+ 1. Обозначим через /7'(А) пересечение всех непродолжимых подалгебр в А. Обозначим через /7 (А) наибольший идеал в А, который, как А-модулгь допускает композиционный ряд, все факторы которого имеют размерность 1, Показать, что /!'(А) есть характеристический идеал в А. (Заметить, что Л'(А) устойчив относительно Ап!(А).) д) Показать, что /!' А ~ /г(А) и что /!' (А//1 (А)) = к' (А)//с (А), е) Показать, что если  — некоторая под алгебра в А, то /1' (В) ~ /1' (А) П В. ж) Если А разрешима, то к'(А) /7(А). (В силу д) можно предположить, что к(А) =(0).
Допустим, что В'(А) чь (0), В силу г) существует минимальный ненулевой идеал 1 алгебры А, содержащийся в Л'(А). Используя е) и гл. 1, з 5, следствие 1 теоремы 1, показать, что 6!ш1 = 1, и мы получим противоречие.) з) Пусть Р— радикал в /1'(А),  — полупростая алгебра в А, С = Р + В (это подалгебра в А в силу г)). Используя ж), показать, что абр В приводится к треугольной форме в подходящем базисе алгебры Р.
Заключить отсюда, что (Р, В) = (0). ') Подробности, касающиеся ииъективных линейных представлений группы Ли, см, в кинге О. Носйасрй16, Тйе з(гис(пге о1 1ле йтопра, Но!Оеп-Оау, 1965. ГЛ, П1. ГРУППЫ ЛИ и) /2(А) есть радикал алгебры Я'(А) (Использовать д), е), ж), з) и азложение Леви алгебры А.) Пусть /1'(А) /1(А)ЩТ вЂ” разложение Леви '(А). Всилуз) /!'(А) =/2 (А) )( Т. Имеем К(Т) =(О». Применяя в)квростым фанторам алгебры Т, заключить, что Т=(0».
Таким образом, доказано, что /((А) = /!'(А). к) Пусть С вЂ” вещественная связная группа Лн с алгеброй Лн А. Пусть й(6) — множество подгрупп Н ~ С, обладающих убывающей системой подгрупп (Фм, Мм-ь ..., Нэ) со следующими свойствами: Нвт Н, Нэ=(е), всякая Н1 есть связная нормальная подгруппа Ли в 6 н б!щН1/Нг-, 1 при всех 1> О. Показать, что интегральная подгруппа /1 (6) в 6, отвечающая подалгебре Ли Я (А), есть наибольший элемент в У(6). (Провести индукцию по гПщ Я (А). Пусть / — идеал в А размерности 1, Н - соответствующая интегральная подгруппа в О. Профакторнзовать по )(1.
Если М ие замкнута, использовать упражнение 2!а) из $6.) л) Подгруппа Ли Н ~ 6 называется продолжимой, если существует такая подгруппа Лн Н, ~ Н, что б!щ Н, б!щ Н+ 1. Обозначим через Я' (6) пересечение всех связзых подгрупп Ли в 6, которые не продолжимы. Пусть  — непродолжнмая подалгебра в А. Показать, что соответствующая интегральная подгруппа в 6 замкнута. (Использовать предложение 5.) Вывести отсюда, что Л (/с' (6)) <= Я (А), что влечет за собой /г'(6) г= /с (6). м) Показать, что)! (6) /1 (6). (Привести все к случаю, когда /с'(6) (в». Использовать тогда упражнение 22 яз э 6.) '). Я 29) Мы говорим, что вещественная группа Ли 6 принадлежит типу (Н), если она конечзолерна, нильпотеитна и одиосаяэна. Если Π— такая группа и 9 — ее алгебра Ли, то ехр: й »-» 6 является нзоморфизмом, коль скоро й наделена структурой группы, определяемой законом композиции Хаусдорфа (см.
гл. П, $ 6, п' 5, замечание 3). Обозначим через !ой: 6 -» 9 обратный изоморфизм. а) Пусть У вЂ” векторное 4)-надпространство в й. Доказать эквивалентность следующих условий: (1) У есть С)-подалгебра Лн в 6; (й) ехр (У) есть подгруппа в 6. (Использовать упражнение 5 иэ й 8 гл. П.) Даи того чтобы подгруппа Н в 6 представлялась в форме ехр (У), где У вЂ” некоторое векторное 4)-подпространство в й, необходимо и достаточно, чтобы Н была изолирована в 6 (гл.
П, $4 упражнение 14), т. е, чтобы из соотношений кои 6, к" емН, л чь 0 следовало бы, что х щ Н (гам жв). Если это имеет место, показать, что Н является интегральной подгруппой в 6 в том н только в том случае, если !оя (Н) есть !1-подэлгебра Ли в й. б) Пусть У есть 6)-подалгебра Ля в й конечной размерности лз. (вь ., вм) — ее базис иад Я н Л вЂ” адднтивная подгруппа з 1', порожденная вь ..., в . Используя полиномкальность закона композиции Хаусдорфа, локазатгь что существует такое целое число д Ъ 1, что длл всякого делящегося на него ненулевого числа г множество ехр (гЛ) есть подгруппа в О, Пусть г/ — такое число и г — некоторое его кратное. Показать, что ехр (гЛ) дислрвтна тогда н только тогда, когда (вь ..., вм) — свободное семейство над К, т. е.
когда каноническое отображение нз У ® К в й инъвхгивно. Предположив, что это именно так, показать, что 6/ехр(гЛ) компактно тогда и только тогда, когда У Я тч -» й бивлтивно, т. е. когда У есть гл-форма алгебры 2.(Для доказательства достаточности этого условия провести нндук. цию по классу нильлотентностн алгебры 8.) ') Подробности см. в статье Л ТПз. Япг ппе с!аззе бе йгопрез бе Е!е гбао!пй!еэ, ВиО, Зов, Ма/Л Вв(я„ 11 (1959), 100- !15; 14 (1962), 196 †2. 99 УПРАЖНЕНИЯ 449 в) Обратно, пусть à — дискретная подгруппа в О.
à — ее изолятор в 6 (гл. П, там зсе) и Зг= !оя(Г) =().!оцà — соответствующая ь)подалгебра Ли. ПРедположим, что Гс.йг 9, т. е. что Г не содеРжитси ни в какой интегральной подгруппе в О, отличной от С. Пусть и — элемент ~! из центра группы Г и х )оке. Показать, что х принадлежит центру алгебры 9, Если Х=ехр()сх), показать, что ХЛГЙХ) компактно и образ группы Г в О/Х дискретен.
Вывести отсюда с помощью индукции по б!ш О, что О/Г компактно и Зг есть 44-Форма алгебры 9. Если Л вЂ” решетка в Зг. показать„ что существует такое целое число дМО, что Г содержит схр(ЗЛ) и что тогда индекс подгруппы ехр(ЗЛ) в Г конечен. Пусть Н вЂ” интегральная подгруппа в 6 с алгеброй Ли )). Показать, что Н/(Н () Г) компактна тогда и только тогда, когда й рациональна относительно 4).стРУктУРы Зг (в частности, если )) Явластса одним нз членов Яижнего или верхнесо центрального ряда в 9). г) Пусть à — дискретная подгруппа в О, Н вЂ” наименьшая интегральная подгруппа в О, содержащая Г, и () — ее алгебра Ли.
Показать, что Н/Г компактно, Зг б')ц Й -ь 9 инъективно, а его обРаа совпадает с й. (ПРимснить в) к нильпотеитной группе Н.) д) Пусть à — дискретная подгруппа в О. Показать, что существует базис (х,, х ) в Л (6) со следующими свойствами: (1) если !сн (1, д), то )(к!+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
