Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Порядок группы С„равен 2"л! и оз (2"и!) = г (2, л). Вывести отсюда, что порядок группы Гм „, определяемой как пересечение неноторой сиповской 2-подгруппы в С„ с 8Е(п, Е), равен 2 !2 "! 8) Пусть а — целое число ~1. Положим М(а) Д~ Н "1, ! где произведение распространяется на все простые числа 1, а числа г (1, л) определены в упражнениях 6 и 7. Тогда М(1) =2, М(2) =22.3=24, М(3)=21.3=48, М(4) 2'.3'.5 5760.
Вывести нз упражнений 6 и 7, что наименьшее общее кратное порядков конечных подгрупп в ОЕ(«„О) (или в ОЬ(л, Х), что сводится к тому же). 1 равно М(л). Сделать то же для Я. (», О), заменив М(а) на — М(и). 2 ') Подробности, связанные с этим н предыдущим упражнениями, см. в книгах Н. М!пйомзй1, Оеааппн. АЬЬ., 1.е!рз!9-Вег1!и, ТепЬ»ег, 1911 (Вб. !, 8. 212 — 2!8), и %. Впгпз!бе, ТЬеогу о1 дгонрз о1 Пп!!е огбег (2пб еб.), СашЬ-- г!дне ()п!ч. Ргвзз, 1911, р.
479-484. ГЛ. Пп ГРУППЫ ЛИ 9) Предположим, что К локально компактно. Пусть 6 = ОЕ(а, К). Пусть 6~ — множество элементов л щ 6, оставляющих устойчивой некоторую. решетку в Кв относительно А. Пусть 6» — множество элементов йспО,. порождающих относительно компактные подгруппы в О. Пусть 6» — множество элементов й ~ы 6, собственные значения которых в алгебраическом замыкании поля К равны по абсолютной величине 1. Тогда 61 6, Оз 6Б (Использовать рассуждение нз упражнения ба),) 10) Предположим, что К локально компактно.!Пусть 6 — стандартная Р уппа размерности л над К н р — мера Хаара на аддитнвной группе КЯ. оказать, что р )6 есть одновременно левая н правая мера 'Хаара на О.
(Использовать то, что 6 есть проективный предел групп 6(аь), а также Иягегр., гл. ЧП, э 1. предложение 7.) 1) Отображение я~ьй нз С в С есть непрерывный, но не ааалитнческий автоморфизм комплексной группы Ли С. 2) Пусть 6 — гильбертово пространство последовательностей (Ль Дз, ...) вещественных чисел, таких, что ~ ьз! <+ со. Рассмотрим 6 как веществен\ ную группу Ли. Пусть 6„— множество последовательностей (ьь Дп ...) щ О, 1 .таких, что Дм е — Е при 1 ~~а~в.
Группы 6„суть замкнутые подгруппы Лн в 6 н, стало быты Н= ПО есть замкнутая подгруппа в О. Но эта я подгруппа вполне разрывна н не дискретна, а потому она не является под- группой Ли в 6. 1( 3) В ()р л, !зр всякое замкнутое подмножество может быть определено некоторым семейством аналитических уравнений.
Вывестн отсюда, что след- ствие 2(й) теоремы 2 становится неверным, если опустить предположение о конечности Б 1! 4) Пусть 6 — вещественная конечномерная группа Ли, А — подгруппа в О. Скажем, что элемент л из Б(6) является А-допустимым, если для вся- кой окрестности 6 элемента в существует такое непрерывное отображение а нз (О, 1) в А, что а(0) е н а(Г) щехр(Гх). Н при 0~!~(1. Пусть й — множество А-допустимых элементов нз Ь (6).
а) Показать, что й есть подалгебра Лн в Ц6). (Использовать упражне- ние !9 6 6.) б) Пусть Н вЂ” такая интегральная подгруппа в О, что й (Н) = й. Пока- вать, что Н <= А. (Пусть 7 ( — 1, 1), (лн ..., к ) — базис в !) и !(гнаделе- но евклидовой нормой.
Построить непрерывнйе отображения ап ....аг иэ 3 в А н непрерывные отображения !ь ..., (г иэ П в Гс, такие, что для всякого 1= (!Р ..., ! ) щ Г а1(П) „. п,(гг) ехр(7,(!)х,) ... ехр()г(!)х,), 0 ! — ()~ (!), " (г (!)) й < 2 ! Применить затем следующую теорему: пусть ! — непрерывное отображений из Н в Гс', такое, что !)1(х) — к!!«~Не для всякого х ем1г; тогда )(уг) содержит некоторую окрестность точки 0 в $(г ') ') Это следует из теоремы Брауэра о неподвижной точке„которую можно . найти в книге Н.
Данфорда н Дж. Г, Шварца, Линейные операторы, ч. 1э - «Мир», М„1962, стр. 606. УПРАЖНЕНИЯ в) Вывести отсюда, что () есть касательная подалгебра к А в е., г) Показать, что если А линейно связка, то А Н'), Я 5) Пусть 0 — отделимая топологическая группа, Н вЂ” замкнутая подгруппа в О, к — каноническое отображение нз О на 6/Н. Предположим„ что Н есть конечиомерпая вещественная группа Лн. Существуют окрестность У точки гг(е) в 0)Н и непрерывное отображение о из У в О, такие что мыл=16 (Пусть р — линейное аналитическое представление группы Н О в 61.(п, )1), явлиюшееся локально гочеоморфнзмом ($6, следствие теоремы 11. Пусть ( — непрерывная функция ) О на 6, равная 1 в е и обращающаяся в О вне некоторой достаточно малой окрестности )г элемента е.
Пусть >гз — левая мера Хаара на Н. Лля х гм 0 положим я(х) ~ 1(хз) р(з) ! >(згп еп Ма(11). Тогда я(хГ) О(х) р(Г) для ха 6 я ггмН. Если 1' достаточно мала, то я(х) на ОЕ(я, В), коль скоро х достаточно близок к е. Наконец, использовать то, что доказываемая теорема справедлива локально для ОЕ (и, $Ц и р(Н).) 6) Пусть Π— группа класса С' (5 5, упражнение 1), причем г~2. На 0 существует одна и только одна такая структура Я вещественной группы Ли, что структура многообразия класса С', лежащая ниже 8, есть данная структура. (Единственность структуры Я вытекает из следствия 1 теоремы 1. Пусть Е (6) — нормируемая алгебра Ли, ассоциировакпая с 6 согласно упражнению 2 $5.
Существуют вещественная групускула Ли О' н изоморфязм Ь из Л(0') иа 5(0) 5 4, теорема 3). Как в $4, и'1, проверяется, что существуют открытая симметричная окрестность О" элемента еп,в 0' н отображение >р класса С' из О" в 6, такое, что Тз(>р) Ь и м(л>яг) = =4>(й>) Ф(йг) для к>, йг из 0". Уменьшив 6", можно считать, что )>=>р(6"» открыта в 0 и что ф есть изоморфизм класса С' многообразия 0" на многообразие !>. Стало быть, на У существует такая структура пещественной групускулы Ли, что вижележащая структура многообразия класса С' есть данная структура.
Лля всякого д ш 6, 1п! А> определяет аналитическое отображение из У()(я->Уй) на (я)>я->)())г (теорсма 1). В силу предложения 18- $1 на 0 существует структура 3 вещественной группы Ли, индуцнрующая на некоторой открытой окрестности элемента е ту >ке аналитическую структуру, что и )г. Используя сдвиги, получаем, что структура многообразия класса С' на О, лежащая ниже 3, есть данная структура.) 7) Пусть 6 — вещественная группа Ли, Н вЂ” замкнутая подгруппа в 6.
а) Пусть ф — множество таких хгмЕ (6), что ехр(гх)гмН для всякого (сн (1. Тогда 9 есть падалгебра Ли в Л (0). (Использовать предложение 8 5 6.) б) Предположим, что Н локально компактна. Показать, что Н есть подгруппа Ли в О. (Показать сначала, что 5 конечномерна, доказав существование в 5 предкомпактной окрестности элемента О.
Скопировать затем доказательство теоремы 2, выбрав )>г так, чтобы (ехр )гг) ПН было относительно компактным.) 1) Пусть 0=80(8, Щ. Пусть Л>, Л, — две ортогональные прямые в 1(г, Нг — подгруппа в 6, образованная вращениями вокруг Лг (1 1,2). Тогда (5 (Н>), Л (Нг)) есть подалгебра Ли в Ь (О) размерности 1, отличная от касательной нодалгебры Лн к (Н„Нг) в е. 2) Предположим, что К ультраметрнчно. Пусть 0 — конечномериая группа Ли, 8 — ее алгебра Ли, А — конечное подмножество в О.
Тогда Е (А) ') Подробности см. в статье М. Оо!о, Оп ап агссЛзе соппес1ей апЬягопр о( а 11е Огоир, Ргос. Атег. МаМ. Зос., 29 (1969), 157 — 162. ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ есть подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли й (А). (Рассуждать так же, как при доказательстве предложения 8.) 3) Пусть 6 — вещественная нли комплексная связная группа Лн. Центр В группы 6 есть квазнподгруппа Ли в О и В(Е) есть центр алгебры Лн ь(6). 4) Предположим, что иоле К ультраметрическое н р > О (в обозначе.
пнях $ 7). Пусть 6 — конечномерная группа Ли, А — некоторая группа автоморфнзмов группы Ли О,  — соответствующая группа автоморфнзмов алгебры Ли й(6). Пусть 6 (соотв. В(6) ) — множество элементов из 0 (соотв. В(0)), неподвижных относительно А (соотв. В) Тогда 0~ есть подгруппа Ли в 6 с алгеброй Лн В (0)и. (Использовать логарифмическое отображение.) 5) Пусть 6 — вещественная нлн комплексная связная конечномерная группа Лн. Пусть (Оэ, Оь ° ° ) — верхний центральный ряд группы О (гл.
П, 5 4, упражнение 18) и (йз, Оь ...) — верхний центральный рид алгебры Ли В (6) (гл. !, $ 1, и' О). Тогда дла всякого 1 группа 6! есть подгруппа Лн в О, причем В (О ) 3!. 8) Пусть à — веществеинан нильпочентная односвязиая группа Ли размерности 3. определеннан в уцражненин бб) э 4. Пусть ащ Гс — иррациональное число и Р— дискретная подгруппа в Г Х В, образованная злеменгамн ((О, О, «), ах)„где хщЕ. Пусть 6 =(Г Х 1()/Р. Показатгь что (6, 0) ие замкнута в 6. 7) а) Пусть 6 — вещественная связная полупростая группа Ли, 2 — ее центр, р — линейное непрерывное представление группы 0 в комплексном векторном пространстве конечной размерности. Существует такое целое число р, что если хщЕ, то р(х» диагонализуем и все его собственные значения суть корни р-й степени из единицы. (Можно считать р непрнводнмым.
Тогда р(х) скалярен па лемме Шура. С другой стороны, де(р(д) 1 дли всякого ащ 6, поскольку О = ЖО.) б) Вывести отсюда, что если 0 обладает линейным непрерывным конечномерным представлением, которое нвъективно, то Е конечен. 1( 8) Пусть Π— вещественная связная конечномерная группа Ли,  — ее алгебра Ли, п — наибольший нильпотентиый идеал в 3, р (О, 8) + и. а) О есть характеристический идеал в О; радикал алгебры Ли О есть н; для всякого хщр имеем Тгабьх О; если 1 — произвольная подалгебри Леви в 8, то О 1+ п.
б) Предположим, что 6 одиосвизна. Пусть Я вЂ” ее центр, Н вЂ” подгруппа Ли в 6 с алгеброй Лн О-, !р — канонический морфиэм из 6 на 6/Н. Тогда м(3) дискретна в 6/Н. (Группа 0 есть полупрямое произведение полупроетой подгруппы Леви Я на радикал Н. Пусть хщЕ. Тогда э =у-'х, где хщ/г н у принадлежит центру группы 3. Существует целое число р, такое, что собственные значения линейного преобразования Аб у, а, стало быть, и линейного преобразовании Аб х, суть корни р-й степени из единицы (унражиение 7).
Вывестн отсюда, что если Н вЂ” подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли ц, то существует окрестность 0 элемента е в Н, такая, что 0 О!У Й(/, Е П (ИI) <= ВН = Н.) в) Йе будем считать больше О одиосвнзной. Пусть Н вЂ” интегральнаи подгруппа в 0 с алгеброй Ли О. Показать, что Н есть подгруппа Ли в О, которан нормальна, уннмодулнриа. имеет нильпотевтный радикал и О/Н коммутэтивиа. (Испольэовать а) и б).) г) Вывестп отсюда, что если (О, 6) плотна в О, то радикал группы 0 иильпотентен. УПРАЖНЕНИЯ 443 9) Пусть 6 — узнзсрсальная накрывающая группы 8(,(2, )1).
Отождествнм с Е ядро канонического морфнзма 6 ~Я. (2, й)($ б, упражненне 2). Пусть а — такой элемент нз Т", что порожденная нм подгруппа всюду плотна в Т" (Общ. гол„1969, гл. ЧП, в 1, следствие 2 предложения 7). Пусть  — дискретная подгруппа в 6 Х Тз, порожденная элементом (1, а). Пусть Н=(ОХТн)гВ. Тогда В(Н) 91(2, )1)Х(Г н ннтегральная подгруппа Н' в Н с алгеброй Лн 21(2, м) нзоморфна 6 н плотна в Н. Имеем ОнН' Н' для всякого я~О. 1(10) Пусть 0 — вещественная илв комплексная конечномерная группа Лн. Пусть р=б!ш(В(0), В(0)). Наделим (О, 6) структуро1 интегральной подгруппы в 6. Существует такая окрестность г элемента е в (6, 6), что всякий элемент нз (г есть произведение р коммутаторов элементов из 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
