Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 95
Текст из файла (страница 95)
(Для проверцй тождества Якоби воспользоваться п. в), упражнением !б) и тождеством (5) из АГУ., саар. 1, р. 66). (По поводу продолжения этого упражнения см. э 6, упражнение 6.) Та Ь !) Пусть  — множество элементои группы Я. (2, С) вида ь, О а-') где а > 0 и Ь аа С. Показать, что В есть подгруппа Ли вещественной группы Ли, лежащей ниже ЗС(2, С), и отображение (и, а)ь-ьи»( из 30(2, С) ХО в 6!. (2, С) есть изоморфизм вещественно-аналитических многообразий.
Вывести отсюда и из упражнения 7в) в 3, что 8!. (2, С) односвязна. 2] Пусть 6 — универсальнан накрывающая группы 36(2, !1), м — канонический морфием нз О на Я. (2, Е) и Ф вЂ” его ядро. ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ 430 а) Рассуждая, как в упражнении 1, показать, что существует нзоморфизм вещественно-аналитического многообразия Т Х )!' на вещественно- аналитическое многообразие 3!.(2, )!). Вывести отсюда, что группа М изоморфна Х. б) Ясли р — линейное аналитическое представление группы О в комплексном векторном пространстве, то Кег р~ М, (Представление 5(р) алгебры Ли 91(2, )() определяет посредством комплексифнкации представление алгебры Ли 61(2, С), н это последнее представление в силу упражнения 1 имеет вид Е(о), где и — линейное аналитическое представление группы 8!. (2, С).
Тогда 1. (и я) =5(р), стало быть, о м р.) 3) Пусть О, — вещественная нильпотентная односвязная группа Ли, определенная в упражнении 5 $4. Пусть 2 — центр группы Оь М вЂ” нетривиальная дискретная подгруппа в 3 и 0=0,/М. Если р — конечномеряое лянейное аналитическое представление группы О, то р(21М) является полу- простым семейством автоморфизмов, поскольку 21М компактна; 2 =(О, 6), и, значит, группа р(х/М) унипотентна (гл. 1, $6, предложение 6). Следовательно, р тривиально иа 21М. -4) Пусть 0 — комплексная связная компактная группа Лн.
Показать, что всякое линейное аналитическое представление группы 0 тривиально. 5) В обозначениях упраягнеиня 9 $ 1 показать, что Н' есть интегральная подгруппа в Н. Вывести отсюда, что в односвязиой группе $()(2, С) Х Х 5()(2, С) ($3, упражнение 7в)) существуют незамкнутые однопараметрическне подгруппы. $ 6) Пусть 1 есть отрезок (1, 2), наделенный дискретной топологией. Пусть Š— полное нормированное пространство функций 1: 1 -ь((, таких, что (!)! ~ (((1)((+оз.
Лля любого хен1 обозначим через в, элемент г юг нз Е, такой, что е»(1) 0 при ! „-ь х и е. (х) 1. Пусть Р— подгруппа в 'Е, порожденная функциями хе» для »щ1; это дискретная подгруппа в Е. Пусть 0 — группа Ли Е)Р. Пусть Р-гиперплоскость з Е, образованная такимн 1гы Е, что ~ 1(1) =О. Пусть Н вЂ” группа Ли Р1(Р() Р) н 9 — кано!юг иический морфизм нз Н в О. Показать, что ~р бнективеи, является нммерсией, но не является изоморфнзиом групп Ли.
(Пусть ) — линейная форма на Е с ядром Р; показать, что г(Р) =)( и, стало быть, Р+ Р=Е.) Вывестн отсюда, что в предложении 3 нельзя опустить предположение о счетиостн базиса. 7) Пусть 9 — морфизм из 3122 в группу преобразований множества С, переводящий нееднничный элемент в отображение з-эх. Пусть 0 — полу- прямое произведение группы 2122 на вещественную группу Ли С, отвечаюЩее морфизму 9, Это вещественная группа Ли с алгеброй Лн Й'. Показаты что на 0 не существует никакой структуры комплексной группы Лн, согласованной с ее структурой вещественной группы Ли. $8) Пусть Н вЂ” комплексное гильбертово пространство размерности ве н Π— его унитарная группа, рассматриваемая как вещественная группа Ли.
Группа 0 односвязна '). а) Пусть Я вЂ” центр группы 0; группа 2 изоморфна Т. Пусть а — иррациональное число. Пусть й — подалгебра Лн в Е(0) Х Е(0), образованйая алементами (х, ах), где х щ Е (2). Пусть 3 — соответствующая интегральная ') См. Ы. Н. Кп!рег, ТЬе бото!ору !уре о(!Ье ппИагу дгопр о( НПЬег! арасе, Торо)ойу, 3 (!965), 19 — 30. В этой статье доказано даже, что 0 стягиваема. упрлжыенмя подгруппа в 6Х6. Тогда й есть идеал в Е(6)ХЕ(6); тем не менее 8 не замкнута и плотна в Е Х Е, б) Пусть 9 = (Ь (6) Х Е (6))/й.
Не существует никакой группы Ли с алгеброй Ли 9. (Пусть Н вЂ” такая группа. Поскольку 6 одиосвязна, существует морфием йс 6 Х 6-ь Н, такой, что Е(>р) есть ианоннческое отображение из Е(6)Х/.(6) иа 9. Пусть У=Кег>р. Тогка Е(У)~й н, стало быть, У => Е, а потому У ~ УХ 2 в силу а).
Тогда Е(У) ~ Е(Е) Х/ (2), и мы иолучнлн противоречие.) 9) Пусть Х вЂ” комплексное компактное связное непустое многообрззне размерности и. Предположим, что существуют голоморфные на Х векторные поля э>, ..., йэ, которые линейно независимы в каждой точке из Х. Покааат>ь что существуют комплекснан группа Ли 6 н ее дискретная подгруппа Р, такие, что Х диффеоморфно многообразию 6/В. (Пусть с„ — голоморфные функции на Х.
определенные формулами (й>, Ц = Я с>/ й . Функции с,. э постоянны, поскольку Х компактно. Взять в качестве 6 комплексную односвязиую группу Ли, алгебра Ли которой допускает числа с,. э в качестве структурных констаьт, и применить теорему 5.) 10) Пусть /6 — группа Лн с конечным числом связных компонент. Для унимодулярности 6 необходимо и достаточно, чтобы для всякого ащ Е(6) выполнялось равенство Тг ад а =О. 1!) Пусть Š— полное нормируемое пространство над С, ощ.У(Е) н л ехр(о).
Предположим, что бр(о)П2!м(2 — (0)) и. Пусть Еь Е>— замкнутые векторные подпространстэа в Е, устойчивые относительно о и такие. что Е,>=Ев Предположим, что автоморфиэм пространства Е,/Е„ определенный автоморфизмом л, тождествен. Тогда о(Е>) >=.Е>. '((!2) Рассмотрим вещественное или комплексное полаое нормируемое пространство Е и замкнутое векторное подпространство Р в Е, такое, что его поляра Рэ ие допускает топологического допол.>ения в Е' '). а) Пусть А (соотв. В) — полное нормируемое пространство непрерывных эндоморфиэмов пространства Е (соотв.
Р). Пусть С вЂ” множество таких и щ А, что и (Р) >= Р. Пусть а — отображение и >-ь. (и, и ! Р) из С в А Х В. Тогда а является изоморфизмом полного нормируемого пространства С на некоторое замкнутое векторное подпрострзнство в А Х В и а (С) не допускает топологнческого дополнения в А Х В. (Пусть элемент х еп Е таков, что х щ Р, а $ >и Р' таков, что (к, й) 1. Если >)>и Е', обозначим через >1 элемент уь-ь(у, т)) к из А. Допустим, что существует проекция и из А Х В иа а(С).
Определим В: Е'-ьЕ' формулой й(>1) >(а-'(ж(>1,0)))(й). Тогда й есть проекция иэ Е' на Рэ, н мы получили противоречие.) ') Пусть сэ (соотв. !>, 1 ) — банахово пространство вещественных или комплексных последовательностей (л>, кэ,,), таких, что 11>п к„=О (соотв. э.+- )кз1<+со, соотв. энР!к„!(,+со) с ноРыой !к!1= эпР(хв( (соотв. э и э ! хэ ), соотв. зпр ! к„(). Существует непрерывный морфизм и из Р на сэ> э з пусть Р— его ядро. Тогда (сэ)'=Р отождествляется с Р'. Но сепарабельное векторное подпространстзо ! не может быть прямым слагаемым в ! (см. А. 1)го(йепб!есй, Зпг 1еа аррПсаИопз 1!пба1гез 1а)Ыещеп1 со>нрас1ев 4'езрасеэ бп 1уре С (К), Сап.
Л Ма/Ь., б (1953), !09). ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ 432 б) Построим вещественную или комплексную полную нормируемую. алгебру М с единицей следующим образом: М = 6 М1 градуирована врое странствами Мб М, есть множество элементов вида Х1, где Л вЂ” произвольный скаляр; М, есть множество элементов вида Ли, где Л вЂ” произвольный скалЯР, а и — некотоРый фикснРованный, отличный от нУлЯ элемент; Мз = (0); Мз = г; Ма Е; Мз (0) при 1~)5; пх х для л1обого х нн М . Пусть А' — полное нормируемое пространство непрерывных эндоиорфнзмов полного нормируемого пространства М. Пусть 1у, — множество иенрерывнык дифференцирований алгебры М.
Используя а), показать, что )У1 не имеет топологвческого дополнения в А'. в) Показать, что группа бинепрерывных автоморфизмов алгебры М есть квазнподгруппа Лн в СС(М), но не подгруппа Ли в ОС(М). (Применить следствие 2 предложения 18 и б).) 13) Пусть 6 — вещественнан группа Ли, Е Е(0), йн Ь-»0 — днфференцнруемое в 0 отображение, такое, что То(ЧО 14 и ф(лх) у(х)н, каковы бы ин были х еи Ь и лен 2. Тогда ~р =ехрсг (Пусть У вЂ” окрестность элемента О в Ь, йг — окрестность элемента е в 6, такие, что О ехр01У есть аналитический изоморфизм из У на Я'. Пусть зв О 1 (ф(ф ~(%')), 1 Тогда Тз(ф) = И . Объединяя это с равенством ф1 — хам! — ф(х), спра- Е н ведлнвым, если х достаточно близок к О н пыжа — (0), получаем ф 1б .) 14) Пусть а, — коммутативная алгебра Ли К', отождествленная с С'.
Пусть аз — коммутативная алгебра Ли и и ф — гомоморфизм иа а, в Пег (з,), переводнщнй ! в дифференцирование («и «,) 1 — » (1«н !чу «,), пусть а — полупрямое произведение алгебры Ли а, иа а„отвечающее гомоморфизму ф. а) Показать, что (!п1а) !а, содержит для всякого фем м автоморфизм («1, «,)»-»(з1ч«н е1ъгз э«а). б) Показать, что замыкание б группы (1п1а)1аз в ОС(а,) содержит для всякого (~р, ~р') зм )с' автаморфизм («„«з)»-»(е1э«1, в1э («,), в) показать, что ь (О) содержит эндоморфизм и: («ь «з) ' — ' («1, 0) пространства а1 и ие существует никакого х~ма, для которого и (адх)(аь г) Вывести из этого, что группа !п1(а) не замкнута в Ап((а). 15) Показать, что вещественная конечномерная одиосвязная группа Ли пражнения Уа) э 3 обладает связными, ио не одиосвязными подгруппами Лн а именно она содержит подгруппы Ли, изоморфные группе ()). $ !8) а) Пусть Π— комплексная алгебра Лн и Π— комплексная алгебра Ли, полученная из О посредством автоморфизма А1 — »Х поля С.
Пусть Оа— вещественная алгебра Ли, полученная из 3 ограничением поля скаляров. Пусть О'кзйз есть комплексная алгебра Ли Ос фи С для всякого х си О по* ложи м )(х)=-(«91 — (1х)81)ей', л(х)= -(«91+((х)31) змй'. 1 1 Показать, что 1 (соотв. л) есть изоморфизм алгебры Ли О (соотв. О) на некоторый идеал ш (соогв. и) в О' и что идеалы и, и взаимно дополнительзы в О'. Это определяет проекции д, и из О' на и, н соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
