Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Таким образом, 6 — открытый и замкнутый шар в Е. Пусть Ге ~ Ап16. Тогда Е(Гв) совпадает с Гс в некоторой окрестности элемента О. Пусть х ~6 и р — характеристика поля классов вычетов. Тогда р"х стремиться к О, когда п стремится к + со. Существует, стало быть, такое п, что ГС(р х) = Е(Гв)(р"х).
Следовательно, ь / й' р"Ге(х) = Ге(х) = Гв(х~ ) =- Ге(р"х) = — Е (ю) (р х) =- р Е (в) (х), откуда ю(х)=Е(и)(х). Таким образом, и = Е(и!) )6. Пусть à — множество таких у ен Ап(Е (6), что у (6) = 6. Поскольку 6 компактна и открыта в Е(6), Г является открытой подгруппой в Ап(Е(6). В силу изложенного выше Ап(6 отождествляется с Г, а это приводит к возникновению структуры группы Ли на Ап16, для которой утверждения (!), (!!), (!!!), (у!) очевидны.
Свойство (ч) следует из предложений ! и 3 п' !. в) Перейдем к обшему случаю. В силу предложения 1 $7, и' 1, существует открытая компактная подгруппа 6ь в 6 того типа, который рассматривался в и. б). Тогда 6 порождается ею и конечным числом элементов хп х„..., х„. Пусть Ап1,6— множество таких и ~ АП16, что и(6) =6„и(х!6)=х6ь при ! ~~!(п.
Как в доказательстве п. в) теоремы 1, мы опреде лаем полупрямое произведение Р группы АП16ь на 6ь и инъективный гомоморфизм ь из Ап(!6 в Р, образ которого замкнут в Р. г), д) Будем рассуждать точно так же, как в п. г.), д) доказательства теоремы 1, заменяя лишь К на Я, и используя предложение 3 вместо предложения 2. ДОПОЛНЕНИЕ. ОПЕРАПИИ НАП ЛИНЕИНЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ 4!7 Замечание. Если К=Я и группа Лн 0 порождена некоторым компактным подмножеством (см. упражнение 2), то утверждения (!), (И), (!и), (у!) теоремы 1 остаются справедливыми, тогда как (ч) — нет (упражнение 3).
ДОПОЛНЕНИИ Операции над линейными представлениями Пусть 0 — группа, й — поле, Е„Е„..., ń— векторные пространства над й, п1 — линейное представление группы 0 в Е, (1» 1(п). Отображение й~-РП,(д) З... Зп„(д) есть линейное представление группы 0 в векторном пространстве Е, З ... З Е„, которое называется тензорным произведением представлений и„..., и и обозначается через и, З ... З и„. Пусть Š†' векторное пространство над й, п — линейное представление группы 0 в Е. Для всякого й' ~ 0 обозначим через т(д) (соотв. в (й), з(д)) единственный автоморфнзм алгебры Т(Е) (соотв.
8(Е), /~(Е)), продолжающий п(д) (А1и., СЬар. И1, р. 57, 69 е! 78). Тогда т (соотв. в, е) есть линейное представление группы 0 в Т(Е) (соотв. 8(Е), Д(Е)), обозначаемое через Т(п) (соотв. 8(п), Д(и)). Подпредставление представления Т(п) (соотв. 8(п), й,(п)), реализующееся в подпространстве Т" (Е) (соотв. 8" (Е), Д" (Е)), называется и-й тензорной (соотв. симметрической, внешней) степенью прпедставлення и и обозначается через Т" (и) (соотв. 8" (и), й, (и)).
Имеем Т"(и) = и З ... З и (п множителей). Представления 8(п), Д(п) сутр факторпредставлення представления Т (и), стало быть, 8"(и), /~"(и) суть факторпредставления представления Т"(и), Пусть 8 — алгебра Ли над й. Тензорное произведение конечного числа ее представлений уже было определено в гл. 1, $ 3, и' 2; оно обозначается через и, Э ...
З и„. Пусть Š— векторное пространство над й, и — представление алгебры Лн 8 в Е, Для всякого хек 8 пусть т'(х) (соотв, о'(х), е'(х)) — дифференцирование алгебры Т(Е) (соотв. 8(Е), Д(Е)), продолжающее п(х) (А1д,, с)!ар. И1, р. 129, ехетр!е 1); оно определено однозначно. Тогда т' (соотв. в', е') есть линейное представление алгебры Лн 9 в Т(Е) (соотв. 8(Е), Д(Е)) в силу А1д., там же; оно обозначается через Т(п) (соотв.
8(п), Л(п)). Подпредставление представления Т (и) (соотв. 8 (и), Л (и)), реализующееся в подпространстве Т"(Е) (соотв. 8"(Е), й,й(Е)), обозначается через Т (и) (соотв. 8" (и), Д"(и)). Представление Т (и) является тензорным произведением и представлений, равных и. Представления 8 (и), Д (и) суть факторпредставлення представления Т(п), и, стало быть, 8" (и), Л" (и) являются факторпредставлениями представления Т" (и). 14 н. Втрбрки УПРАЖНЕИКЯ 1) Пусть 0 — вещественная или комплексная связная конечномернан группа Лн.
Пусть Н и С вЂ” ее подгрунпы Лн, такие, что НС = О. Показать, что канонические отображения 0-ь О/Н и 0-ь О/С определяют изоморфизм аналитических многообразий 01(Н () С) -ь (0(Н) )( (ОИ.). 2) Пусть Р (зщС(, (з)>0) и 0 — группа биекций зь-ьаз+Ь множества Р (а>0, Ь щ К). Тогда 0 действует на Р просто транзнтивно, что позволяет перенести на О структуру комплексно-аналитического многообразия на Р.
Показать, что полученная структура инвариантна относительно левых сцвигов на группе О, но не инвариантна относительно правых сдвигов. 3) Пусть Кя — аддитивиая группа вещественных чисел, наделенная структурой дискретного многообразия. Рассмотрим действие группы Кл на аналитическом многообразии К, определенное формулой (х, у)г-ь к + у.
Тогда Кл действует на К транзнтнвно, но К не являетси однородным пространством Лн группы Кк. 4) Пусть вещественная компактная группа Ли Н действует на вещественном конечномерном многообразии У; предположим, что У принадлежит классу Сг, где г<я Нц, и что действие группы Н на У также принадлежит классу С'. Пусть точка р~а У инвариантна относительно Н; группа Н ли» нейно действует на касательном пространстве Т к многообразию У в р. Покааать, что существуют открытая окрестность 0 точки р, устойчивая относительно Н, и такой Сг-морфизм Т. 0-ь Т, что: а) ((Р)=0 и касательное отображение к 1 в Р есть тождественное отображение; б) 1 коммутирует с действием группы Н на О и на Т.
(Выбираем сначала отображение (м удбвлетворнющее условию а), и определяем затем 1 фоРмУлой 1(л) ~Ь.)з(й 'к)л1Ь гце ой — меРа ХааРа на Н с общей И массой 1.) Вывести отсюда, что Н-пространства У и Т локально изоморфны в окрестности точки Р, другимн словами, существует система координат на У в р, в которой действие группы Н линейно (теорема Бохнера). 5) Перенести упражнение 4) на многообразия над ультраметрическнм полем К, предполагая, что Н вЂ” конечная группа порядка л, причем л.1ФО в Д.
'Ц 6) Пусть 0 — вещественная группа Ли, действующая собственно на веществерно-аналитическом отделямом многообразии У конечной размерности. Пусть р — точка из )г, Н вЂ” ее стабилизатор и ОР— ее орбита. Группа Н компактна и многообразие Ор отожцествляется с однороцнмм пространством Ли 01Н, УПРАЖНЕНИЯ 419 й! а) Показать, что существует подмногообрааие 5 в У, проходящее через р, устойчивое относительно Н и такое, что Тр(У) есть прямая сумма проотрэнств Тр(бр) н Тр(5). (Выбрать допалнеиые к Тр(6р) в Тр(У), устойчивое относительно Н, и применить упражнение 4).) б) Предположим, что 5 выбрано так.
как указано выше. Группа Н действует собственно ы свободно иа 6 Х 5 по формуле Ь. (я, з) (йй, Ь <з); пусть Е = (6 Х 5)/Н вЂ” соответствующее фактормногообразие (см. Мн. Сэ. реэ., 6.5.1). Отображение (», з) ь-ь е. э определяет посредством перехода к фактору морфизм р: Е-ь У, Показать, что р коммутирует с действием группы 6 на Е и иа У и существует открытое подмногообразне 5' в 5, содержащее р, устойчивое относительно Н и такое, что р индуцирует нзо. морфизм многообразий Е'=(6 Х 5'))Н иа ыекоторую насыщенную ') окрестность орбиты 6р. в) Пусть Ер Тр(У)(ТР(6р) — траисверсальиое пространство к 6р в р, (Мн. Сэ.
Реэ., 5.8.8)< группа Н действует иа Нр. Вывести нз б), что, аиая Н н ее линейное представление в й<р, можно восстановить 6-пространство У н некоторой окрестности орбиты точки р. г) Ясли х ~м Л'р, пусть Н» — стабилизатор точки х в Н. Показать, что существует насыщеииаи окрестность У' орбитм 6р, обладающая следующим свойством: Для нонкой точки р'ем У» существует такан точка хек Нр. что стабилизатор точки р' в 6 сопрнжен (в 6) с Н». д) Показать, что число классов сопряженности подгрупп Н» в Н конечна (Провести индукцию по б!щ Нр =я, используя действые группы Н иа (л — 1)- мерной сфере, устойчивой относительно Н.)') 1( 7) Пусть Š— полное нормируемое пространство над й, Р— замкнутое векторное подпространстио в Е, такое, что 'не существует линейной бииепрерывной биекпни ыз Е на Р Х (Е/Р) ').
Пусть Х вЂ” аыалитыческое многообразие (1 Х Е Х Р и 6 — аддитивная группа пространства Р; она действует на Х <тосредством отображении (д, (Л, е, !)) ь-ь (Л, е+ й, <+ Лй) иэ 6 Х К в Х. Длв всякой точка хтмХ пусть <7„— ее 6-арбата; она является квазипадмиогообразием в Х. Тогда условие а) предложеныи !О выполнено, но ие существует ннкакой пары (У, и), которая обладала бы следующими свойствамн: У есть аналнтвческое многообразие, я — морфнзм из Х в У и для всех хемХ отображение Т (и): Т»(Х)-ьТ„<»!(У) сюръектнвио н имеет ядро Т»(Н») (Допустим, что (У, м) существует.
Пусть Н вЂ” касательное пространство к У в м(0, О, 0). Тогда Н ыэоморфно ((ХРХ(Е/Р). С другой стороны Н нзоморфяо Т„<»!У, если х достаточно блызко к (О, О, О) и, стало быть, изоморфно 1( Х Е.) 8) Наделим Т нормализованной мерой Хзара ы .У(Ьт (Т)) — топологией, определяемой нормой. Показать, что регулярное нредставлеиие группы Т в Л»(Т) ие является непрерывным. (Для произвольного ХАТ, отличного от е, построить такую функцию <ен Е'(Т), что ))1=1, <<у(й) Š— )!<='»<2.) 9) ПУсть Т вЂ” множество паР (х, Ч<2») щ 1(т, где — '/т(х('!». ПУсть П вЂ” канонический образ множества Т в вещественной группе Ли Н Т».
') См. Общ. тая., 1969, гл. Ш, й 2, п'5. ») Подробности см. в статье !(. 8. Ра!а<э, Оп !Ье ехПйепсе о! э!!сеэ <ог асПопз о1 поп-соптрас! 1.!е йтопрэ, Алл. а! Ма<А., 73 (1961), 295 — 323. ») По поводу промера такой пары (Е, Р) см., например, статью А, Попабу, 1.е ргой!йте без паба!ее ранг !еэ зопз-езрасеэ апа!у<!йпез соарес!э б'пп еэрасе апа!у(!йпе боппй, Алл. Тлэ!. Ранг!ег, 16 (1966), 16. 14» ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ Показать, что О есть подгрупускула Ли в Н, но что порожденная ею под-' группа Н' в Н плотна и не замкнута в Н.
10) Пусть Кя — группа К, наделенная структурой дискретного многообразна. Пусть Н вЂ” вещественнан группа Лн 11)ч й,г н Π— множество ее элементов, имеющих внд (х, х) или (х, — х), где хан (Ь Тогда О является подгрупускулой Ли в Н, О днскретна, порожденная ею подгруппа О в Н совпадает с Н и структура группы Лн на О, определенная в следствии предложения 22, есть структура днскретной группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
