Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Тогда Тг (а (Ь вЂ” 1)) = Тг (аЬ вЂ” 1) — Тг (а — 1) = Π— О = О, а а в. кОммутАтОРы, цвнтРАлнзатОРы. нОРмАлнзАтОРы 997 чески определяемая группой О, сводится к (!) для всех ! (условимся, что 17,=(0) при т(~0). Из этого следует сначала (И), а затем (И!) (гл. П, $4, и'6, замечание). Следствии 1. Пусть Π— вещественная или комплексная конечномерная группа Ли. Для нильпотентности 6 необходимо и достаточно, чтобы всякий элемент группы Ао 6 был унипотентным. Если все элементы группы Ай О унипотентны, то Ао О нильпотентна (предложение 18); стало быть„ группа 6, являющаяся ее центральным расширением, также ннльпотеитпа. Если 6 нильпотентна, то В(6) нильпотентна, а потому ао х нильпотентен для всякого х ен Ь(6); следовательно, Ай (ехр х) = ехр ай х унипотентен; но всякий элемент из 6 имеет вид ехрх для некоторого хан С(6) (предложение 14). Следствии 2.
Всякая интегральная подгруппа в 61.(и, К), образованная унипотентными элементалш, есть односвязная подгруппа Ли. Это следует из предложений 13(И), 18(И) и того факта, что нижняя строго треугольная группа односвязна. 6. Разрешимые группы Ли Пввдложвнив 19. Пусть 6 — конечномерная группа Ли. Для разрешимости В(6) необходимо и достаточно, чтобы 6 обладала открытой разрешимой подгруппой. Доказательство аналогично доказательству предложения 12 и' 5.
Предложение 20. Пусть 6 — разрешимая односвязная группа Ли конечной размерности п над 1с или С и й=-с,(6). Пусть (й„, й„н ..., ао) — последовательность подалгебр в й размерностей и, п — 1,..., 0 соответственно, такая, что йг-, есть идеал в йг при 1=и, и — 1, ..., 1'). Пусть 6; — интегральная подгруппа в 6, отвечающая подалгебре Ли йо хг — некоторый вектор в йо не принадлежащей йг-и и ~рг — отображение (Ао, а,„..., х;) (ехРх,х,)(ехРАтхт)... (ехРх,хг) из К' в 6. Тогда гр„есть изоморфизм аналитических многообразий и ~р,(К') =6; для любого ~'. При и =0 предложение очевидно. Проведем индукцию по п. Пусть Н вЂ” такая интегральная подгруппа в 6, что В(Н) =Кх„. В силу следствия 1 предложения 14 $ 6, и'6, Н и 6„, суть ') Такая последовательвость существует в силу прслломеяпя 2 гл.
й й 5 ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ односвязные подгруппы Ли в 6, и 6, рассматриваемая как группа Ли, есть полупрямое произведение подгруппы Н на 6„,. Стало быть, Лр-»ехр(Лх„) является изоморфизмом из К на Н, н, согласно предположению индукции, отображение (Лп Лн ..., Л„,)»-»(ехрЛ,х,)(ехрЛ,х,) ... (ехрЛ„,х„,) есть изоморфизм аналитического многообразия К" ' на аналитическое многообразие 6„„переводящий К' Х (О) в 6; прн 1= 1, 2, ..., и — 1.
Отсюда следует предложение. ПРвдложвнив 21. Пусть 6 — разрешимая группа Ли над !Х или С, которая односвязна, и М вЂ” интегральная подгруппа в 6. Тогда М вЂ” подгруппа руи в 6 и притом односвязная. Воспользуемся обозначениями и, й, йо хо ~р из предложения 20, но наложим на векторы х, следующее дополнительное условие: пусть ! > ! ~ > ... > 1, — те из целых чисел для которых Е (М) П а~ Ф Е (М) П й,,; мы выбираем тогда х ~Е(М)()а. при я=1, 2, ..., р, С помощью индукции по и 'ь '*'ь мы без труда получаем, что (х~, хр е ..., х~,) есть базис в Е(М). Пусть У вЂ” односвязная группа Ли, такая, что существует изоморфизм й из Е(У) на Е(М), и у =й (х, ), ... ..., у, =й ''(хц).
В силу предложения 20 отображение (Л„Л,, ..., Лр)»(ехрЛ,у,)(ехр А~у,) ... (ехрЛрур) является изоморфизмом многообразия КР на многообразие У. Существует морфиям т группы Лн У в группу Ли 6, такой, что Ь=Е(т), и тогда т(У)=М 5 6, и'2, следствие 1 предложения !). Стало быть, М есть множество элементов из 6 вида т((ехрЛ,у,) ... (ехр Л у )) =ехр(Л,С(т) у,) ... ехр(Л Х. (т) ур) = =ехр(Л1х~,) ... ехр (Лрх; ). Таким образом, М=~р(Т), где Т вЂ” некоторое векторное подпространство в К". Предложения 22. Предположим, что К=!( или С, Пусть 'у" — векторное пространство конечной размерности, 6 — связная разрешимая подгруппа в 6$. (у').
Предположим, что тождественное представление группы 6 является простым. (1) Если К= К, то д(га'у' ..2 и 6 коммутативна. !В) Если К= С, то б)т )т =1. (1) Допустим, что К 1!. Тогда замыкание Н подгруппы 6 в б!. (Ъ') есть связная подгруппа Ли в 61. (у'); она разрешима т % 9. КОММУТАТОРЫ, ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ, НОРМАЛИЗАТОРЫ 399 (п' 1, следствие 2 предложения !). Стало быть, Т. (Н) разрешима (предложение 19). Тождественное представление алгебры Ли Е (Н) является простым 5 6, и' 5, следствие 2 предложения 13). Значит, йптУ» 2 и 5(Н) коммутативна (гл.
1, $5, следствия 1 и 4 теоремы 1). Поэтому Н, а тем более и 6, коммутативна. (й) Предположим, что К =С. Пусть Иà — минимальный элемент среди ненулевых вещественных подпространств в У, устойчивых относительно О. Комплексное векторное подпространство в У, натянутое на йГ, совпадает с У, поскольку тождественное представление группы 6 является простым. В силу (1), О! 97 коммутативна. Значит, 6 коммутативна.
Поэтому всякий элемент из О есть гомотетия (А1й., сЬар. 111П, $4, сото!1а1ге 1 ое !а ргороз1!1оп 2')), так что д!птУ=!. Сладствив. Пусть У вЂ” комплексное векторное пространство конечной размерности ) О, 6 — связная разрешимая подгруппа в 61.(У). (!) Существует такай ненулевой элемент о~ У, что до~Со для всякого у~О. (И) Существует такой базис В в У, что матрица любого элемента се=О в этом базисе является нижней треугольной. Пусть У,— минимальный элемент в множестве ненулевых векторных подпространств в У, устойчивых относительно О. В силу предложения 22 (В) й!и У, = 1. Это доказывает (1).
С помощью индукции по йптУ выводим отсюда существование возрастающей последовательности (Уо Ув, ..., У„) векторных подпространств в У, устойчивых относительно 6 и таких, что йпт У,+,/У,=1 при 1(и и У„= У. Отсюда следует (И). 7. Радикал группы Ли Првдложвнив 23. Пусть 6 — вещественная или ко.иплексная группа Ли конечной размерности, т — радикал алгебры Ли Е(0) (гл. 1, 9 5, определение 2), п — наибольший нильпотентный идеал в Ь(6) (гл.
1, $4, и'4). Пусть Н (соотв. Ж) — интегральная подгруппа в 6 с алгеброй Ли т (соотв. п). Тогда )1 (соотв. Н) является разрешимой (соотв. нильпотентной) подгруппой Ли в 6, инвариантной относительно любого непрерывного автоморфизма группы О. Всякая связная нормальная разрешимая (соотв. нильпотентная) подгруппа в 6 содержится в Н (соотв. в Н). Группа В разрешима (и'6, предложение 19). Допустим, что' К = 1А. Пусть Π— нормальная разрешимая связная подгруппа' в О. Тогда 0' есть подгруппа Ли в 6 5 8, и' 2, теорема 2), ') см. также Алг., гл.
у'!!!, $4, и' 3, следствие предложения г. — прим. иерее. ГЛ. П1, ГГУППЫ ЛИ 4ОО которая нормальна, разрешима (и' 1, следствие 2 предложения 1) 'и связна. Стало быть, 1.(0') есть разрешимый идеал в 1.(0), откуда 1. (6') ст и 6'с П. В частности, Я с !с, а потому !с замкнута и является, следовательно, подгруппой Ли в О. Дспустим теперь, что К= С. Пусть Н вЂ” вещественная группа Лн, лежащая ниже О.
Если т' — радикал в 1,(Н), то 1х' — разрешимый идеал в 1.(Н), откуда х'=1т', значит, хс:.т'с:т и, сот:щсио изложенному выше, !с замкнута в Н, а потому в О. Таким образом, Я есть подгруппа Ли в 6. Всякая нормальная ра!реп!Имая связная подгруппа в 6 является нормальной разрешимой связной подгруппой в Н; следовательно, она содержится в П. Таким образом„мы доказали, как для К = )ч, так н для К = С, что )с — наибольшая нормальная разрешимая связная подгруппа в 6; отсюда следует, что Я инвариантна относительно всякого непрерывного автоморфизма группы 6. Доказательство для Л! совершенно аналогично.
Опгвкелвнне 1, Пусть 0 — вещественная или комплексная группа Ли конечной размерности. Радикалом группы 0 называется наибольшая нормальная разрешимая подгруппа в О. Замечание, Детке если 0 связиа, могут существовать нормальные газрешимые подгруппы, не содержащиеся в радикале группы 6. Пввдлэжкнле 24. Предположим, что К = )с или С, Пусть 0„ 6е — две связные консчномернь1е группы Ли, й, и Яз — их радикалы, !р — сюръективный морфизм из 6, в 6г. Тогда 1р()т!) = йз. В силу предложения 28 $3, и'8, 1.(!р) сюръективен. Стало быть 1.(1р)(й Я!)) = 1. (!т,) (гл. 1, $ б, следстщ1е 3 предложения 2).
Пусть ! — кзноническая инъекция группы Т1! в 6,. Тогда образ МОрфнЗМа !рь! ЕСТЬ П, Я б, П'2, СЛЕ.,"тВИЕ ! ПрЕдЛОжЕНИя !). П! вдложвнив 25. Предположим, что К =к или С. Пусть 6„ 0, — связные конечномерные группы Ли, а 1с! и Я,— их радикалы. Радикал группы О, Х 0з есть !1! Х т!м Это следует из предложения 4 гл. 1, $ 5. д. Полупростые грудам Ли Пгедложвние 26. Пусть 6 — вещественная или комплексная связная конечномерна.е группа Ли. Следуюи!ие условия эквивалентны: (!) 1.
(6) полупроста; (й) радикал группы 6 есть (е); (!!!) всякая коммутативная нормальная интегральная подгруппа в 6 равна (г). 8 4 9. КОММУТАТОРЫ, ЦВНТРАЛИЗАТОРЫ, НОРМАЛИЗАТОРЫ 4В! Условие (й) означает, что радикал алгебры Ли 7. (6) есть (О). стало быть, (!)4$(й) (гл. 1, 5 б, теорема 1).
Эквивалентность утверждений (!) и (й1) следует из предложения 14 $ 6, и' 6. Опгяделиние 2. Вещественная или комплексная связная группа Ли называется полупростой, если она конечномерна и удовлетворяет условиям предложения 26. Замечание 1. Пусть 6 — вещественная или комплексная связная конечномерная группа Ли. Если 6 не является полупростой, она обладает связной коммутативной подгруппой Ли 6', инвариаптной относительно всякого непрерывного автоморфизма и такой, что 6' чь (е).
В самом деле, пусть и — наибольший нильпотентный идеал в В (6); тогда и чь (0) и соответствующая интегральная подгруппа и! есть подгруппа Ли, инвариантная „ отнссительно любого непрерывного автоморфизма группы 6 (и' 7, предложение 23); центр 6' группы Л' обладает требуемыми свойствами. ПРядложянив 27. Пусть 6 — вещественная или комплексная связная конечномерная группа Ли. Следующие условия эквивалентны: (1) 7.(6) проста; (й) единственные нормальные интегральные подгруппы в 6 суть (е) и 6, и, кроме того, 6 не коммутативна. Это следует из предложения 14 $ б, и' 6.
Опггдгленив 3. Вещественная или комплексная связная группа Ли называется почти простой, если она конечномерна и удовлетворяет условиям предложения 27, Пввдложнниг .28. Пусть 6 — вещественная или комплексная односвязная группа Ли. Следующие условия эквивалентны: (!) 6 полупроста; (й) 6 изоморфна произведению конечного числа почти простых групп. Если 6 есть конечное произведение почти простых групп Ли, то алгебра Ли Ь(6) является конечным произведением простых алгебр Ли, и, стало быть, она полупроста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
