Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Это показывает, что (А, А) с: РА. Относительно структуры вещественной группы Ли на 6 подгруппа А является подгруппой Ли 5 8, п'2, теорема 2); пусть Ь вЂ” ее алгебра Ли. Обозначим через 6, множество таких д~О, что (Адц)х— = х (гпоо'ус)а) для всякого хе= Ь. В силу изложенного выше, 6, ~ А и, следовательно, Оз-» А. Значит, если д ее А, то 1п( д оставляет устойчивой РА и определяет тождественный автоморфизм группы А/РА. Стало быть, РА.:»РА.
Пведложение 6. Будем считать поле К ультраметрическим. Пусть Π— конечномерная группа Ли и А, В, С вЂ” подгруппы Ли в 6, такие, что [Е(А), Е(С)]с: Е(С), [Е(В), Е(С)]с: Е(С). Если [Е(А), Е(В)] с:. Е(С), то существу!от такие открь!тые подгруппы А', В' в А, В соответственно, что (А', В') с: С. Если [Е(А), Е(В)] = Е(С), то существуют такие открытые подгруппь! А', В', С' в А, В, С соответственно, что (А', В') =С'. Предположим, что [Е(А), Е(В)] ~ Е(С). Как и в доказательстве предложения 4, мы сведем все к случаю„когда Е(С) есть идеал в Е(6).
Затем, заменив 6 некоторой ее открытой подгруппой, мы сводим все к случаю, когда С нормальна в О з $9. коммутАтОР1я, пентРАлизАтОРЫ, нОРмАлизАтОРы Зая ($7, и'1, предложение 2). Пусть ф — канонический морфизм нз 6 на б/С. Тогда [Ь(ф)(Е,(А)), Ь(ф)(Е. (В))[ =(О). В силу формулы Хаусдорфа существуют открытые подгруппы А', В' в А, В соответственно, такие, что ф(А') и ф (В') коммутируют, откуда (А', В')с: С.
Допустим теперь также, что [А'.(А), В(В)] = — В(С). 'Согласно предложению 3, касательная подалгебра Ли в точке е к (А', В') содержит Р(С). Стало быть, (А', В') содержит некоторую подгрупускулу Ли в 6 с алгеброй Ли Ь(С). Следовательно, (А', В') является открытой подгруппой в С. . Слвдствив. Предположим, что поле К ультраметрическое. Пусть 6 — конечномерная группа Ли с алгеброй Ли й. Суи(ествует такая открытая подгруппа бь в б, что для всякого 1 подгруппа 0'Оь (соотв.
С'бь) есть подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли Я~6 (соотв. ягкий). а) Последовательно применяя предложение 3, мы получаем с помощью индукции по 1, что для всякой открытой подгруппы 6, в 6 подгруппа 0'б, при любом 1 содержит некоторую подгрупускулу Ли в б с алгеброй Ли Я'й. б) Пусть 6' — такая открытая подгруппа в 6, что при любом 1~п подгруппа .0'6' есть подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли Я'й.
В силу предложения 6 существуют открытые подгруппы Н„Н, в 0"б', такие, что (Нн Нт) есть подгруппа Ли с алгеброй Ли Я"+ а. Пусть 6" — открытая подгруппа в 6', настолько малая, что, 0"6" с Н, () Н,. Тогда 0 . 6" с(Н;, Нз). Включения Р'О" сР б', Р'О" с: Р'О, ..., 0 б" с0 6, 0 6" с:(Н„Н,) показывают, если принять во внимание п. а), что Р'6" есть подгруппа Ли в 6 с алгеброй Ли Я'и при 1~а+ 1. в) Найдется целое число р, такое, что Я"3=ат'+~3=.... В силу изложенного выше существует такая открытая подгруппа Оь в 6, что при 1 ~~ р подгруппа 0'Оь есть подгруппа Ли в б с алгеброй Ли Я'й. Но с учетом п. а) это утверждение остается верным при 1 ) р, поскольку ПРО,:» 0'бь при ю)р.
г) Для подгруппы С' рассуждения аналогичны. ГЛ, ПЬ ГРУППЫ ЛИ 3. Централизаторы Напомним, что два элемента х, у некоторой группы называются перестановочными, если (х, у)=е, или (1п!х)у =у, илм (1п(у) х=х; напомним, что два элемента а, Ь некоторой алгебры Ли называются перестановочными, если [а, Ь[ = О, или (ада).Ь=О, или (адЬ).а=О. Пусть 6 — группа Ли, хенО,.
а ~ Е(6); будем говорить, что х и а перестановочны, если. (Абх).а =а, т. е. ха=ах в Т(6). Пусть 6 — группа Ли, 8 — ее алгебра Ли, А — подмножество в О, а — подмножество в 8. Через Уо(А) (соотв. ло(а)г обозначается множество элементов из 6, перестановочных со всеми элементами из А (соотв.
из а). Это замкнутая подгруппа в 6. Через 1, (А) (соотв. 1ь(а)) обозначается множество элементов из 8, перестановочных со всеми элементами из А (соотв из а). Это замкнутая подалгебра Ли в й. ПРвдложвнив 7, Пусть Π— конечномерная группа 7и, 9 — ее. алгебра Ли, а — подмножество в й. Тогда 2о(а) есть подгруппа: Ли в 6 с алгеброй Ли Ьг(а). Это следует из предложения 44 и следствия 2 предложения 39 $3.
Првдложвнив 8. Пусть 6 — вещественная или комплекснаа группа 7и конечной размерности, й — ее алгебра Ли, А — подмножество в 6. Тогда Ео(А) есть подгруппа Ли в О с алгеброй Ли Ь,(А). Предположим, что А состоит из единственной точки а Тогда Хо(А) является множеством неподвижных точек автоморфизма 1п!а; стало быть, ло(А) есть подгруппа Ли в 6 к Т.
(ло(А)) есть множество неподвижных точек отображения Аб а, т. е. совпадает с !ц(А) 5 3, и'8, следствие 1 предложения 29)„ Общий случай выводится отсюда с помощью следствия 3 предложения ! $6, и'2. ПРвдложвнив 9. Пусть 6 — вещественная или комплекснаа группа 7и конечной размерности, 8 — ее алгебра,/7и, А — интегральная подгруппа в О, а = Т. (А).
Тогда Уо (А) = Яо (а). Ь~ (А) = Ьь(а) и Хо(А) является интегральной подгруппой в Я с алгеброй Ли $,(а). Пусть хенО. Тогда х =го(А)бфА =го((х))4Э ФФа~).(Уо((х))) (5 6, следствие 2 предложения 3)4Ф 4:~ а ~ Ьц ((х)) (предложение 8) 4:~ бфх ~ Уо(а) е $ а коммутАтОРЫ, цеитРАлизАтОРЫ. иОРмАлизАтОРЫ 391 и, следовательно, Ео(А) =со(а).
Пусть и ~ а. Тогда м еи 1, (А)4-.ФА с=2о((и))<Ф 4=')а ~ 1,(2о((и))) ($6, следствие 2 предложения 3)4:о бра ~ 1, ((и)) (предложение 7)44 4=о и ен 1, (а); стало быть, !! (А) = 1, (а). Последнее утверждение следует тогда из предложения 7 илй из предложения 8. 4. Нормализаторы Пусть 0 — группа Ли, й — ее алгебра Ли, А — подмножество в 6, а — подмножество в й. В атом пункте мы обозначаем через й)о(А) множество таких д ен 6, что дАу — ' = А.
Это подгруппа в 6, которая замкнута, если А замкнуто. Через и,(а) обозначается множество таких к~ а, что [х, а)с=а (см. тл. 1, 5 1, и'4). Это подалгебра в а, которая замкнута, если а замкнуто. Через Но(а) обозначается множество таких пан6, что уад-'=а. ПРедложвнив 10. Пусть 0 — конечномерная группа Ли, а — ее алгебра Ли, а — векторное надпространство в 6. Тогда Жо(а) есть подгруппа Ли в 0 с алгеброй Ли п,(а). Это следует из предложения 44 и следствия 1 предложежия 39 5 3. ПРвдложвнив 11. Пусть 6 — вещественная или комплексная группа 7и конечной размерности, й — ее алгебра Ли, А — инте.гральная подгруппа в 6 и а=А(А).
Тогда 1чо(А) = Мо(а) и Фо (А) есть подгруппа Ли в 6, содержащая А, г, алгеброй Ли п,(а). Равенство Фо(А) = й(о(а) вытекает из следствия 2 предложения 3 5 6, и' 2. Согласно предложению 10, Л1о(А) является тогда подгруппой Ли в 6 с алгеброй Ли п,(а). Стало быть, Ло(А) замкнута. Поскольку Жо(А):» А, имеем Жо(А) ~ А.
Следствие. Если а=и,(а), то А есть подгруппа Ли в 0 и есомпонента единицы группы Л1о(А). В самом деле, зта компонента единицы является подгруппой Ли с алгеброй Ли п,(а) (предложение 11), и, стало быть, она равна А в силу теоремы 2(!) $ 6, и' 2. 392 ГЛ. !и. ГРУППЫ ЛИ $. Нильпотентные группы Ли ПРвдложвниР 12.
Пусть 0 — конечномерная группа Ли. Для нильпотентности !'.(6) необходимо и достаточно, чтобы 6 обладала открытол" нильпотентной подгруппой. Допустим, что 6 обладает открытой нильпотентной подгруппой Оь. В силу следствий предложений 4 и 6 из п' 2 %"Л (Оь)=(6) для достаточно большого С Следовательно, алгебра Ли Л (Оь) = й (О) нильпотентна. Допустим, что й(6) нильпотентна. Если К = 1ч или С, то: компонента единицы- Оь группы 6 нильпотеитна в силу следствия предложения 4 и' 2 и О, открыта в О. Если поле К ультраметрическое, то, согласно следствию предложения 6 и' 2, существуют открытая подгруппа 6, в О, целое число !' > 0 н окрестность у' элемента е в 6, такие, что С'6,()'у' = (е).
Тогда если Оь — достаточно малая подгруппа в 6п то С'Оь ~ (т н, стало быть, С'Оь= (е), а '6ь нильпотентна. Ч. Т. Д. Пусть 6 — нильпотентная алгебра Ли. В отвечающем ей ряде Хвусдорфа Н(Х, У) лишь конечное число членов отлично от нуля, и мы знаем (гл. П, $6, и'5, замечание 3), что закон композиции (х, у) «Н(х, у) определяет на й структуру группы. Предположим дополнительно, что й нормируема и полна. Ясно„ что закон композиции Н является непрерывным многочленом (Мн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
