Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Обозначим через г канонический морфизм из В" на В'. Пусть а'ен А', Ьен В и Ь'= г(а Ь), Если Ь'ен1т(1 ), существует а(~ А', такой, что Ь'= г(а(); тогда существует такой элемент а ен А, что а'Ь= а(г'(а-')а, откуда Ь= а~ А и р' (Ь') = р (д (а'Ь)) = р (Ь) = е; таким образом„1гп(Р) с: Кег(р'). Сохраним обозначения а', Ь, Ь', но предположим, что Ь' е= Кег (р'); тогда е = р' (Ь') = р(д(аЬ)) = р(Ь). Стало быть, Ь си А, откуда Ь'=г(а')(Ь)1(Ь ~) Ь) =г(а7 (Ь)) ен1щ(1'); таким образом, Кег(р') ~1т(К), Если а ен А, то 1'(1(а)) = г(1(а)) = г(1 (а)1(а ') а) = г(а) =а'(1(а)), Если Ь еи В, то р'(д(Ь)) =. р(Ь), а потому диаграмма (4) коммутативна, (пг) Пусть Ь ен В, а'ен А'. Имеем я (Ь) 1' (а') д (Ь) ' = г (Ь) г (а') г (Ь) ' = г (Ьа'Ь 1) = = г (в (Ь) а') = В (в (Ь) а'). ГЛ.
1и, ГРУППЫ ЛИ 864 Пввдложвнив 20. Пусть Π— вещественная группа Ли конечной размерности. (!) Существует комплексная группа Ли О и в-аналитический морфизм у из 0 в 6, обладающие следующими свойствами: для всякой комплексной группы Ли Н и всякого К-аналитического морфизма ф из 0 в Н существует один и только один С-аналитический морфизм ф из О в Н, такой, что ф=фау. (й) Если (6', у') обладают теми же свойствами„что и (6, у), то существует один и только один изоморфизм В из 0 на 6', такой, что О о у=у'.
(ш) С-линейное отображение из Е(6) Э С в Е(6), продолжающее Ь (у), сюряективно; в частности„дппс (6) ( д(та (6). Утверждение ((!) очевидно. Докажем существование пары (6, у), обладающей свойствами (!) и (й!). а) Предположим сначала, что 6 связна. Пусть й=Е(6), =й Э С вЂ” комплексификация алгебры Ли й, 5 (соотв. 5')— вещественная (соотв. комплексная) односвязная группа Ли, такая, что й (соотв. й ) — ее алгебра Ли, а — единственный )ч-аналитический морфизм нз 5 в 5', такой, что Е(а) есть каноническая инъекция из а в й .
Пусть я — единственный Й-аналитический морфизм из 5 на 6, такой, что Е(я) =!дь!оь н Р = Кегя. Для всякой комплексной группы Ли Н и всякого гч-аналитического морфизма ф из 6 в Н отображение Е (ф): й-+ Е (Н) обладает единственным С-линейным продолжением на ас, и это продолжение имеет вид Е(ф"), где ф* — некоторый С-аналитический морфизм из 5' в Н. Имеем Е (ф о я) = Е (ф) о Е (и) = Е (ф) = Е (ф') о Е (а) = Е (ф* о а) и, стало быть, ф о я = ф*о а. Следовательно, ф'(а(Е)) = — ф(я(Р)) = =(е), откуда а (Р) с: Кегф'. Пусть Р— пересечение подгрупп Кегф' при изменяющемся ф. Это нормальная подгруппа Ли в 5' (и' 2, следствие 3 предложе- з а вещественные нлн комплексные ГРуппы ли 365 ния 1). Пусть 6=5'~Р и йи О'-+6 — канонический морфизм.
Имеем о (Р) ~ Р, а потому существует один и только один К-аналитический морфизм у из 6 в 6„такой, что у а и = Хан, Если ф 6-«Н означает морфизм, полученный из ф* прн переходе к фактору, то (фа у)а и = фа (7,а и) = ф а и = ф а и откуда фау=ф. Ясно, что 1,(ф), а следовательно, ф однозначно определены равенством фау=ф. Доказано таким образом, что пара (6„у) удовлетворяет условиям (!) и (1К). б) Перейдем к общему случаю. Пусть Р— компонента единицы группы 6, М = 6/Р, 1: Р-«6 и йч 6 — «М — канонические морфизмы. Применим к Р часть а) доказательства.
Получаем пару(Р, б). Для всякого у~ 6 отображение 1П1п~Р=Ы'(и) есть автоморфизм группы Р. В силу свойства универсальности группы Р существует один и только один автоморфизм ы(д) комплексной группы Ли Р, такой, что Ьаы'(д)=ы(п)аб. Ясно, что ы есть морфизм из 6 в Аи1(Р). Если дев 6 и 1ее Р, то б(й)й-~) = (б а ы'(п))(1) = (ы (и) а б)(1) = ы(К)(б(1)). Если ) ~ Р, то ба(1П1.1) =(1П1„-б(1)) а Ь и 1п(~б()) есть автоморфнзм комплексной группы Ли Р; стало быть, 1п(„-б(~)=в(1).
Можно, следовательно, применить лемму 7, и мы получаем диаграмму Р— «6 — «М Р в~ ~т ~ы Р— «6 — «М 7 Р Отождествим Р с нормальной подгруппой в 6 с помощью с. Группа 6 порождена подгруппами Р н у(6); стало быть, автоморфизмы группы Р, определяемые элементамн из 6, суть автоморфизмы структуры комплексной группы Ли.
Согласно предложению 18 5 1, п'9, на 6 существует одна и только одна структура комплексной группы Ли, такая, что Р есть открытая подгруппа Ли в 6. С этого места мы наделяем 6 этой структурой. Поскольку б является К-аналитическим морфизмом, у есть К-аналитический морфизм. Пара (6, у) обладает свойством (ш), сформулированным в предложении. Покажем, что она обладает свойством (1).
Пусть Н вЂ” комплексная группа Ли и ф — некоторый К-аналитический морфизм из 6 в Н. Существует С-аналитический морфизм т1 ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛН из Р в Н, такой, что Ч ° 6=1р1Р. Пусть а~О. Отображения' ) ч(ы(а)0 1' ю(а)чУ)1р(аГ' из Р в Н суть С-аналитические морфизмы; они совпадают на б(Р),. ибо если Г' ~ Р, то т (а) ч (б (Г)) р (а) ' = ч (а) р(Г) ж(а) = р(аГа ') = = ч(б(аГа ')) =ч(ы(а) б(Г)), следовагельно, Ч(оо(а)Г) = 1р(а) Ч(~) 1р(а) ' для любых а е— : 6 и ) еи Р. Если через 6' обозначено полупрямое произведение группы 6 на Р относительно гь, то существует, стало быть, морфизм Ь группы 6' в Н, совпадающий с 1р на 6 и с Ч на Р.
Для ~~Р ь (б (г ') г) = Ч (б ()' ')) 1р (~) = 1р () ') ~р (г) = е. Следовательно, ь определяет при переходе к фактору морфизм ф из 6 в Н. Имеем фо у = 1р и 1Ро 1 =Ч. Из последнего равенства следует, что ф является С-аналитическим. Пусть, наконец, ф' есть С-аналитический морфизм из О в Н, такой, что ф = ф' а у. Тогда ф'о 1 Об=1р оуо1=<ра1=1ро1 об, а потому Чг'о1 = фо 1. Поскольку 6 порождается подгруппами 1 (Р) и у (6), мы получаем ф'= ф. Оп еделенне 4. Говорят, что (6, у), или просто 6, есть универсальная «омплексификаиия граппь1 О. Замечания.
1) Пусть (6, у) — универсальная комплексификация группы 6. Пусть 6, (соотв. Оо) — компонента единицы группы О (соотв. 6). Согласно доказательству предложения 20, (О,, у ~Оо) является универсальной комплекснфикацией группы Оо, а сквозной морфизм +6 ~616о определяет при переходе к фактору изоморфизм из 6/Оо на 616о. 2) Предположим, что 6 односвязна. Пусть й = Ь(6), комплексификация алгебры Ли й, 5' — односвязная комплексная группа Ли с алгеброй Ли й, о — морфизм из 6 в 5', такой, что 1'.(о) есть каноническая инъекция из й в й . Примем вновь обозначения части а) доказательства предложения 20. Если т з т. ггтппы ли ньд тльтгкмвтэичаскими полями ззт Н = Я' и ф = о, имеем ф'= 1дз, Стало быть, (8', о) — универсальная комплексификацня группы О. Отметим, что о, вообще говоря, не инъективен (упражнение 16); однако его ядро дискретно, ибо 7.
(о) инъективен, С другой стороны, пусть 0 — инволюция алгебры Ли йс, определяемая подалгеброй Лн й, и пусть т! — соответствующий автоморфизм вещественной группы Ли, лежащей ниже 5', пусть 5'ч — множество точек в я', ннвариантных относительно з1; вто — вещественная подгруппа Ли в 5' с алгеброй Ли й ($3, и'8, следствие 1 предложения 29).
В силу следствия 1 предложения ! и' 1 о(6) есть вещественная интегральная подгруппа в Б' с алгеброй Лн й н, стало быть, о(6) является компонентой единицы в 5'"; в частности, о(6) — вещественная подгруппа Ли в Я'. % 7. Группы Ли иад ультраметрнческими полями В этом параграфе мы предполагаем, что нормированное поле К является ультраметрическим и имеет характеристику О. Через А обозначается кольцо нормирования поля К, через ж — максимальный идеал в А, через р — характеристика поля классов вычетов А/ж. Если К локально компактно, то р Ф О (Комм.
алг., гл. У1, $9, теорема 1). 7. Переход от алгебр Ли к группаи Ли Пгвдложвние 1. Пусть Π— групускула Ли с единичным элементом е. Существует фундаментальная система открытых окрестностей элемента е в О, образованная подгруппами Ли в 6. Наделим Ь(6) нормой, согласованной с ее топологией и такой, что (![х, у!!1~!(х(!!!у!1, каковы бы ни были х, у в Ь(6). Пусть 6, — группа Ли, определяемая алгеброй Ли 1. (6).
В силу теоремы 2 $4, и'2, 6 и О, локально изоморфны. Теперь достаточно применить лемму 3 (!!!) $4, и'2. Творвмх 1. Пусть Ь вЂ” полная нормируемая алгебра Ли. Существует группа Ли О, такая, что Ь(6) и Ь ивоморфны. Две такие группы локально изоморфны. Первое утверждение было доказано в лемме 3 $4, и'2. Второе является частным случаем теоремы 2 $4, п'2. Теогзмз 2. Пусть 6 — группа Ли, () — подалгебра Ли в Ь (6), допускающая топологическое дополнение. Существует такая подгруппа Ли Н в 6, что й(Н) =().
Если Н, и Нз — две подгруппы Ли в 6, такие, что Ь(Н,)=1.(Нз)=ч, то Н~()Нз открыта в Н, и в Нз. ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ 368 Первое утверждение следует нз предложения 1 и из теоремы 3 5 4, и' 2. Второе является частным случаем теоремы 3 $4„П' 2. Ткоркмь 3. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, Ь вЂ” непрерывный морфизм из Ь (6) в Ь (Н). (1) Существуют открьстая подгруппа 6' в 6 и морфизм групп Ли ср из 6' в Н, такой, что Ь = Ь(ф). (й) Пусть 6„6з — открытые подгруппы в 6 и ф, — морфизм из 6, в Н, такой, что Ь = Ь (ср,). Тогда ф! и ф! совпадают в некоторой открытой подгруппе в О. Ввиду предложения 1 зто следует из теоремы 1 $ 4, п' 1. Пркдложкник 2. Пусть 6 — группа Ли, () — подалгебра Ли в Ь (6), допускающая топологическое дополнение.
Следующие условия эквивалентны: (!) Существует открытая подгруппа О' в 6 и нормальная подгруппа Ли Н в 6', такие, что Ь(Н) =(). (й) $ есть идеал в Ь(Н). Если существуют 6' и Н со свойствами, указанными в (!), то Ь(6')=Ь(6) и Ь(Н) есть идеал в Ь(6') в силу предложения 47 $3, и' 12. Предположим, что ч есть идеал в Ь(6). Существует такая группа Ли Г", что Ь(Р) = Ь(6)Д (теорема 1).
Пусть Ь вЂ” канонический морфизм из Ь(6) на Ь(Г). В силу теоремы 3 (!) существуют открытая подгруппа Ли 6' в 6 и такой морфнзм групп Ли ф из 6' в Р, что Ь (ф) = Ь. Согласно и' 8, $3, ядро Н морфизма ср является подгруппой Ли в 6' и Ь(Н) = Кег Ь(ср)= = КегЬ=5. Наконец, Н нормальна в 6', поскольку Н =Кегср. 2. Экспоненс!паленые отображения Пркдложкник 3. Пусть 6 — группа Ли. Существ!!ет экспоненс4иальное отображение ф для 6, обладающее следующими свойствами: (!) ф определено в некоторой открытой подгруппе П аддитивной группьс Ь(6); (й) ф(П) есть открытая подгруппа в 6, и ф есть изоморфизм аналитического многообразия П на аналитическое многообразие ф (6); (й!) ср(пх) =ср(х)" для всякого хек 0 и всякого и кн Х. Наделим Ь (6) нормой, согласованной с ее топологией и такой, что ]](х, у]]]~(]]х]]]]у]! для х, у из Ь(6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
