Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Но 1(вв'и ') = =1(в)1(ий)1(и ') и, следовательно, (иии ', 1(иии ')) =(и, 1(и)) (и', )'(и)) (в, 1(и)) ПосколькУ и 'ее )У', виДим, что"(и, ) (в)) ее Уь. Таким обРазом, А(е, е, йт) с: У'„так что Уь — — Ук«Группа Уь, наделенная базисом фильтра Е, удовлетворяет, следовательно, условию (ОЪ'(и) из Общ. топ., 1969, гл.1П, $1, и 2, Поскольку(у, Ь). А(е,е,б)= = А(д, Ь, 6), У, есть топологическая группа, связная, поскольку А(е, е, В') связно. Тогда р(У,) есть открытая подгруппа в 6, откуда р(Уь) =б, поскольку 6 связна.
Ядро гомоморфизма р ~уь дискретно. Поскольку 6 односвязна, р ~Уь, есть гомеоморфизм из Уь на 6. Следовательно, Уь — график морфизма1'нзбвН.Дляд ее М7 имеем (д,1(д)) е= А(е, е, Н7) с Уь, откуда 1(к) =Г (в) ТеОРемА 1. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, Ь вЂ” непрерывный морфизм из Ь(6) в Ь(Н). Предполагается, что 6 односвязна.. Гл. и!. ГРуппы ли Тогда существует один и только один морфизм ф групп Пи из 0 в Н, такой, что Ь = А (ф). Существование морфизма ф следует из леммы 1 и из $4, и' 1, теорема 1 (1). Единственность морфизма ф следует из 5 4, и' 1, теорема 1 (й), и связности группы 6.
Следствия. Пусть 6 — односвязная конечномерная группа Пи. Существует конечномерное линейное аналитическое представление группь! 6, ядро которого дискретно, Существуют (гл. 1, $7, теорема 2) конечномерное векторное пространство Е и инъективный морфнзм Ь из Е(6) в алгебру Ли Епа' (Е). Согласно теореме 1, существует морфизм ф из 6 в 61. (Е), такой, что Е(ф) = и. Значит, ф есть иммерсия, и, следовательно, его ядро дискретно. Замечания.
1) Существуют односвязные конечномерные группы Ли, у которых нет инъективных аналитических линейных представлений конечной размерности (упражнение 2). 2) Существует связная конечномерная группа Ли 6, такая, что всякое ее линейное аналитическое представление конечной размерности имеет недискретное ядро (упражнения 3 и 4). 2, Интегральные подгруппы Опнадаленин 1. Пусть 6 — группа Ти. Интегральной подгруппой в 6 назь!вается подгруппа Н, наделенная такой структурой связной группы Пи, что каноническая инъекция из Н в 0 есть иммерсия.
Однопараметрической подгруппой в 0 называется интегральная подгруппа размерности 1. Пусть Н вЂ” интегральная подгруппа в 6, ! — каноническая инъекция из Н в 6. Тогда Е(!) определяет изоморфизм из Е(Н) на некоторую подалгебру Ли в Е(6), допускающую топологическое дополнение. Мы отождествляем Е(Н) с ее образом относительно Е (!).
Примеры. 1) Связная подгруппа Ли в 0 есть интегральная подгруппа в 6. 2) Предположим, что 6 конечномерна. Пусть Н вЂ” подгруппа в 6; наделим ее структурой, индуцированной структурой группы Ли на 6 (5 4, и 5, определение 3). Тогда ее связная компонента единицы Н, является интегральной подгруппой в 6, и касательная подалгебра в е к Н есть Е(Нь) ($ 4, и 5, предложение 9 (11)).
3) Пусть 6 — комплексная группа Ли, Н вЂ” интегральная .подгруппа в 6, 6, (соотв, Н,) — вещественная группа Ли, ле- г % а вещественные нли комплексные ГРуппы лн 343 жащая ниже 6 (соотв. Н). Тогда Н, — интегральная подгруппа в 6, и Т. (Н,) — вещественная алгебра Ли, лежащая ниже Е(Н). Теогемк 2. Пусть 6 — группа Ли. (!) Отображение Н Р Т. (Н) является биекиией множества интегральных подгрупп в 6 на множество подалгебр Ли в Ь(6)„ допускающих те пологическое дополнение.
(В) Пусть Н вЂ” интегральная подгруппа в О. Тогда всякая связная подгрупускула Ди в 6 с алгеброи Ли Т.(Н) является открытым подмногообразием в Н, порождающим Н. а) Пусть» — подалгебра Ли в Т.(6), допускающая топологическое дополнение. Пусть Н, — подгрупускула Ли в О, такая, что ь(Н,)=» ($4, теорема 3). Можно выбрать Н, так, что оиа будет связной. Пусть Н вЂ” подгруппа в 6, порожденнау множеством Нн Существует 5 1, следствие предложения 22) такая структура группы Ли ~ а Н, что Н, — открытое подмногообразие в Н н каноническая инъекция из Н в 6 является нммерсией.
Поскольку Н, связна, Н связна и, стало быть, есть интегральная подгруппа в 6. Имеем 1.(Н) = Т. (Нг) =». Это доказыва.т, что отображение, рассматриваемое в (1), сюръективно. б) Пусть Н вЂ” интегральная подгруппа в 6 и Ж, — связная подгрупускула Ли в О с алгеброй Ли Т.(Н). Поскольку каноническая инъекция из Н в 6 есть нммерсия, существует открытая подгрупускула Н, в Н, которая является в то же время подмногообразием в О и потому подгрупускулой Ли в О с алгеброй Ли Т.(Н).
С другой стороны, пусть Н вЂ” подгруппа в 6, порожденная множеством Нб согласно части а) доказательства, она наделена структурой интегральной подгруппы в 6, такой, что Л', есть открытое подмногообразие в Ж. В силу теоремы 3 $ 4 Н, П Ж, открыто в Н, и в Нн Стало быть, подгруппа в 6, порожденная множеством Н, Д Нн равна, с одной стороны, подгруппе Н, а с другой стороны, подгруппе Н. Следовательно, группы Ли Н и Н совпадают. Это доказывает (В), а также что отображение, рассматриваемое в (1), инъективно.
Замечание 1. Пусть Н вЂ” интегральная подгруппа в О. Пусть У вЂ” левое слоение на 6, ассоциированное с Т. (Н). Если д ен 6, наделим уН структурой многообразия, получаюгцейся переносом соответствующей структуры на Н с помощью у (и). В силу Мн. Св, рез., 9.3.2, каноническая инъекция из дН в У есть. морфизм. Этот морфизм этален. Стало быть, максимальные связные листы слоения У суть левые классы сме кности по Н.
ПРедложение 1. Пусть 6 и М вЂ” группы Ли, Н вЂ” интегральная подгруппа в О, <р — морфием из М в 6, такой, что 1. (~р) (й (М)) с: с= Т. (Н). Предположим, что . М связно. Тогда ~р (М) с: Н и ~р, ГЛ. «П. ГРУППЫ ЛИ рассматриваемое как отображение из М в Н, есть морфием групп Ли. В самом деле, если принять обозначения замечания 1, то ф -есть морфизм из М в У (Мн.
Св. рез., 9.3.2), и, стало быть, «р (М) с: Н, поскольку М связна. Следствии 1. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли, ф — морфизм групп .Ли из 6 в Н, У вЂ” ядро морфизма ф и Ь = Е (ф). Предположим, что 6 связно и Н конечномерна. (1) У есть подгруппа Ли в 6, и Е(У) =КегЬ. (8) Пусть Н' — интегральная подгруппа в Н с алгеброй Ли 1т Ь. Тогда «р (6) = Н'. (18) Отображение из 6/У в Н', полученное из «р переходом .к фактору, есть изоморфизм групп Ли.
Утверждение (1) уже было доказано ($3, п' 8, предло- жение 28), Пусть ф — морфизм групп Ли из 6/У в Н, полученный из ф переходом к фактору; это иммерсия (5 3, п' 8, предложение 28). Согласно предложению 1, ф является морфизмом групп Ли из 6/У в Н'. Этот морфизм этален и, стало быть, ф(61У) =Н', поскольку Н' связна; это доказывает (й).
Тогда морфием «р: О/У вЂ” Н' биективен и является изоморфизмом групп Ли, что доказывает утвержение (ш). Следствие 2. Пусть б — группа Ли, Н, и Нз — интегральные .подгруппы в О. Если 1.(Н)~1.(Н«), то Нз есть интегральная .подгруппа в Н,.
Пусть «,: Н, — «О, «з: Нз-«6 — канонические инъекции. Тогда А(«г)(Ь(Нг)) =Е(Нь) ~=А(Н«). В силу предложения 1 «; есть аналитическое отображение из Нь в Н, и даже иммерсия из Нт в Н„поскольку 1,(«з) является изоморфизмом из 1. (Нг) на подалгебру в Е(Н,), допускающую топологическое дополнение. Слвдствив 3.
Пусть 6 — конечномерная группа Ли, (Н,), семейство подгрупп ЛП в 6. Тогда Н = П Н, есть подгруппа ««т ,Ли в ба Е (Н) = П Е(Н,). Существует конечное множество 1 в 1, такое, что П 1.(Н«) «ыт равно пересечению М всех Ь(Н«). Мы знаем, что Н'= Г1 Н, «=т есть подгруппа Ли, такая, что Е (Н') = М ($ 3, п' 8, следствие 2 .Предложения 29). Пусть Нь — компонента единицы в Н*. Это .подгруппа Ли в б и Е(Нь) = М. В силу следствия 2 имеем г $ б. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ НЛН КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 345. Не~ Н, для всякого б', а потому Нес: Нс= Н', что доказывает следствие. Следствие 4. Пусть 6 — связная конечномерная группа Ли. Следующие условия зквивалентны: (1) 6 унимодулярна (Ннтегр., гл, ЧП, $1, и'3, определение 3). (й) де! Аа у = 1 для всякого у ~ 6; (ш) Тгад а =О для всякого а ~ Ь(6).
Отображение у» де! Абд есть морфизм ф группы 6 в К'. Согласно $3, предложения 35 (и' 10) и 44 (и'12), имеем Е (ф) а= = Тгад а для всякого а ~ Е(6). Ясно, что 1ш Е (ф) =(О) или К. В первом (соотв. втором) случае имеем 1ш ф = (1) (соотв. 1ш ф = К*) в силу следствия 1, а значит, 6 унимодулярна (соотв. не унимодулярна) в силу следствия предложения 55, $3, и' 15. - Пяедложение 2. Пусть 6 — конечномерная группа Аи, Н— интегральная подгруппа в 6. Следующие условия эквивалентны; (!) Н замкнута; (й) топология на Н индуцирована топологией на 6; (1п) Н есть подгоуппа Ли в 6.
Импликация (!) )>(ш) следует из $1, предложение 2 (1У) (и'1) и предложение 14 (ш) (и'7). Импликация (ш) Ф(й) очевидна. Докажем, что (й)=)б(1); если топология на Н индуцирована топологией на 6, то Н замкнута, поскольку Н полна ($1, и' 1, предложение 1). ПРедложение 3, Пусть 6 — группа Ни, Н вЂ” интегральная подгруппа в 6, М вЂ” связное непустое аналитическое многообразие, 7" — отображение из М в 6 и Г ~ Нк. Рассмотрим следующие условия: (1) ) принадлежит классу С и 1(М) с Н; (й) !(М)с:Н и 1, рассматриваемое как отображение из М в Н, принадлежит классу С', (1й) ! принадлежит классу С", ! (М) пересекается с Н и образ пространства Т (М) содержится в)(т) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
