Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Следствие 2, Пусть Ь вЂ” замкнутое недискретное подполе в К, 6 — группа 7и над Ь и 1. = ь (6). Предположим, что на 7. задана структура нормируемой К-алгебры Ли Е', согласованная си структурой нормируемой Ьалгебры Ли и инвариантная относительно присоединенного представления группы 6. Тогда на 6 существует одна, и только одна, структура К-группы Ли, согласованная со структурой Ьгруппы 7и, для которой алгеброй,7и.
является Е'. Существует групускула Лн 6, над К, такая, что 7. (6,) = Ь" (теорема 2). Согласно следствию 1 теоремы 1 и'1, 6 и 6„рассматриваемые как Ь-групускулы Ли, локально изоморфны. Стало быть. существует открытая окрестность 6' элемента е в 6 и структура К-групускулы Ли на 6' с алгеброй Ли 1., согласованнгя со структурой групускулы Ли нгд Ь. Пусть У вЂ” открытая симметричная окрестность элемента е в 6, такая, что Ут ~ 6'.
Пусть и ~ 6. Тогда ф = 1п1 д есть Ь-изоморфизм некоторой достаточно мглой открытой в 6' подгрупускулы Ли на некоторую открытую подгрупускулу Ли в 6. Далее, Т,(ф) есть К-линейное отображение, следовательно, Т„(ф) есть К-линейное отображение для достаточно близких к е элементов х; следовательно ограничение отображения 1п1 а на некоторую достаточно малую окрестность элемента е в У является К-аналитическим (Мн, Св.
рез., 5.14.6). В силу предложения 18 нз $1, и' 9, на 6 существует. структура К-аналитического многообразия, относительно которой 6 является К-группой Ли, а У вЂ” открытым К-подмногообразием в 6. Сдвигая У, видим, что нижележащая структура Ь-многообразия на 6 есть данная структура.
Алгебра Лн К-группка Ли 6 та же, что у открытой К-подгрупускулы Ли У, стало быть ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ она есть Е'. Наконец, утверждение единственности следует из предложения 32 $3, п'8. Тиогима 3. Пусть 6 — групускула Ли и () — подалгебра Ли в Е (6), допускающая топологическое дополнение, Существует такая подгрупускула Ли Н в 6, что Е(Н) =(). Если Н, и Нг — подгрупускулы Ли в 6, такие, что Е(Н,) =-Е(Н,) =~, то Н, () Н, открьГто в Н, и в Нь Существует групускула Лн Н' с алгеброй Ли, изоморфной алгебре Ли 5 (теорема 2).
Уменьшив, если нужно, Н', можно считать, что существует морфнзм !р из Н' в О, такой, что Е(!р) есть изоморфизм из Е(Н') на ч (и'1, теорема 1). Поскольку 5 допускает топологическое дополнение, !р есть иммерсия в е. Стало быть, вновь уменьшив Н', можно предположить, что !р есть изоморфизм многообразия Н' на некоторое подмногообразие в 6. Это доказывает существование подгрупускулы Н, Второе утверждение следует из такого результата: ПРедложиннн 1.
Пусть 6 — групускула Ли, Н и Н' — две подгрупускулы Ли. Включение Е(Н):з 7 (Н') имеет место тогда и только тогда, когда Н () Н' открыто в Н'. Если Н() Н' открыто в Н', то Е(Н') =Е(Н() Н') сЕ(Н). Предположим, что Е (Н) ~ Е (Н'). Пусть Г, !' — канонические инъекции подгрупускул Н, Н' в 6. Уменьшив, если нужно, Н', можно предполагать, что существует морфизм ф нз Н' в Н, такой, что Е(ф) есть каноническая инъекция из Е(Н') в Е(Н) (и' 1, теорема 1). Тогда Е(! ° ф) = Е(!'), стало быть, существует окрестность 1/ элемента ен в Н', такая, что Го!р и !' совпадают в У (теорема 1). Следовательно, 1' с Н и, значит, У с НД Н' и НП Н' открыто в Н' (3 1, и' 10).
ПРидложиние 2. Пусть Π— группа Ли над К, я — замкнутое недискретное подполе в К и Н вЂ” подгруппа Ли я-группы Ли 6. Предположим, что Е(Н) есть векторное К-подпространство в Е(6), допускающее топологическое дополнение, Тогда Н есть подгруппа Ли К-группы Ли 6. Существует подгрупускула Ли Н' в К-группе Ли 6, такая, что Е(Н') = Т (Н) (теорема 3). Будем рассматривать 6, Н, Н' как й-групускулы Ли; теорема 3 показывает тогда, что НД Н' открыто в Н и Н'. Стало быть, существует открытая окрестность О элемента е в О, такая, что ЕГД Н есть подмногообразие в 6 над К, Следовательно, Н есть подгруппа Ли К-группы Ли 6 ($1, и'3, предложение 6).
г ч и паэаход от ллгаво ли к готпплм ли з!т 3. Экепоненциальные отображения Тиоэвмл 4. Пусть 0 — групускула Ли, Š— ее алгебра Ли, )г — открытая окрестность элемента О в Е, ф — аналитическое отображение из Рг в О, такое, что ф(0) = О и То(ф) = 1бы Сле- дующие условия эквивалентны: (!) для любого ЬснЕ имеем ф((Л+ Л') Ь) = ф(ЛЬ)ф(Л'(Ь)) при достаточно малых ! Л $ и ! Л'!. (!!) Для любого ЬыЕ и целого числа п) О элемент ф,(Ь") .в У(0) однороден степени') п (мы отождествляем Те !(Е) с Т8(Е) и Ь" вычисляем в Т8(Е)).
(!и) Отображение ф, из Т8(Е) в У(0) согласовано с градуи- ровками в Т8(Е) и 0(0). (гч) Отображение ф, из Т8(Е) в Е!(О) есть каноническое отоь брожение из Т8(Е) в универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли Е. (ч) Существуют норма на Е, определяющая топологию про- странства Е и такая, что !1!х, у] !!~(!!х))!! у!! для произвольньчх х, у из Е, и открытая подгрупускула Ц7 с: У групускулы Ли, определенной алгеброй Ли Е (п'2), такие, что ф)И" есть изо- морфизм из Ят на некоторую открытую подгрупускулу Ли в О.
(ч)=>(!). Очевидно, ибо (ЛЬ).(Л'Ь)=(Л+Л')Ь в )ч для до- статочно малых !Л! и ! Л'!. (1)Ф(!!). Предположим, что условие (1) выполнено. Пусть ЬенЕ и пусть ф — ограничение отображения ф на )гДКЬ. Со- гласно предположению, существует симметричная окрестность Т элемента О в аддитивной группе Лн КЬ, такая, что ф! Т, есть морфизм групускулы Ли Т в О. Стало быть, ф,(Ь")= =(ф! Т).(Ь )=((Ф! Т)„(Ь))"=(ф (Ь))", так что ф (Ь") однороден степени п в У(0). (г!) Ф (1!!). Это следует из того факта, что Т8" (Е) есть векторное подпространство в Т8(Е), порожденное и-мн степе- нями элементов из Е (А1у., с)!ар.
1Лг, В 5, ргороз!1!оп 5, и"ееб.). (И) =$(!ч). Каноническое отображение из Т8(Е) в универ- сальную обертыаающую алгебру алгебры Ли Е есть единствен» ный морфнзм градуированных коалгебр, преобразующий 1 в 1 и продолжающий 16с (гл. П, $1, и'5, замечание 3). Но ф„есть морфнзм коалгебр, и ф„!Е = 1бс по условию. Если условие (гп) выполнено, мы видим, что выполнено также условие (!у). (!ч) Ф(ч).
Предположим, что условие (!ч) выполнено. Вы- берем норму на Е, определяющую топологию пространства Е и такую, что !!!х, у)!!(!!к!!!! у!!, каковы бы ни были х, у из Е. Пусть Й вЂ” групускула Ли, определенная нормированной алгеб- ') В смысле разложения у Е !гл, определенного яя стр. 3! — прим. перев, ГЛ. П!. ГРУППЫ ЛИ рой Ли Е. В силу теоремы 1 существуют открытая подгрупускула 5~(т в Н и изоморфизм ф' из я на некоторую открытую подгрупускулу в 6.
Поскольку мы знаем уже, что (у)=Э(1у), отображение ф' из Т8(Е) в 6(6) есть каноническое отображение из Т8(Е) в универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли Е. Таким образом, ф (!) = ф' (!) для всякого ! ен Тг! '(Е). Поскольку ф и ф' аналитичны, онй совпадают в некоторой окрестности элемента О. Опэядяляння 1, Пуста 6 — групускула Ли, Š— ее алгебра Ли. Экспоненциальным отображением для 6 называется всякое аналитическое отображение ф, определенное в открытой окрестности элемента О из Е, принимающее значения в 6 и удовлетворяющее условиям теоремы 4.
Из теоремы 4 немедленно следует, что для всякой групускулы 6 существует экспоненциальное отображение для 6 и что два экспоненциальных отображения для 6 совпадают' в некоторой окрестности элемента О. Примеры. 1) Возьмем в качестве 6 аддитивную группу некоторого полного нормируемого пространства Е.
Канонический изоморфизм нз Е(6) на Е удовлетворяет условию (1) теоремы 4 и,,значит, является экспоненцнальным отображением для 6. 2) Пусть А — полная нормированная ассоциативная алгебра с единицей. Пусть А' — группа Лн, образованная обратимыми элементами в А. Отождествим Е(А') с А 5 3, п 9, следствие предложения 33). Если К=11 или С, известно, что отображение ехр нз А в А", определенное в гл. П, $ 7, и' 3, удовлетворяет условию (1) теоремы 4 и, следовательно, является экспоненциальным отображением. Пусть теперь К ультраметрично.
Пусть р — характеристика поля вь!четов поля К. Если рФО, положим Л=!р!'~~ '!; если р=О, положим Л=!. Пусть 6 — множество таких хеяА, что !~х~!(Л. Известно (гл. 11, $3, п' 4), что отображение ехр из 6 в А' удовлетворяет условию (1) теоремы 4, а значит, является экспоненциальным отображением. Заметим, что 6 есть адцитивная подгруппа в А. Этот пример объясняет терминологию, принятую в определении 1. Пусть 6 — групускула Ли, ф — экспоненциальное отображение для 6. Тогда ф этально в О, стало быть, существует открытая окрестность 6 элемента О в Е(6), такая, что ф(6) открыто в 6 и ф~ 6 есть морфизм аналитического многообразия О на аналитическое многообразие ф(6). Канонической картой (первого рода) на 6 называется карта ф на аналитическом многообразии 6, обратным отображением 3 $ Е ПЕРЕХОД ОТ АЛГЕВР ЛИ К ГРУППАМ ЛИ 319 для которой является экспоненциальное отображение.
Если, кроме того, 6 конечномерна и выбран базис в Е(6), то система координат, определенная картой и этим базисом в области определения отображения лр, называется системой канонических координат (первого рода). ПРедложение 3. Пусть 6 — групускула Ли, Ь вЂ” ее алгебра Ли и ~р — вкспоненциальное отображение для 6. Пусть Ь„..., ܄— векторные надпространства в Е, такие, что Е есть прямая топологическая сумма пространств Ь„..., Е„. Отображение (Ьо Ьъ ..., Ьл) ' Р 8(ЬИ Ьг, ° ° .~ Ьл'! = ~р(Ь!) ~р (Ьд) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
