Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(31) Пввдложвнив 51. Пусть 6 — группа Ли, конечномерная, если К имеет характеристику > О, и пусть а1, ..., ар — элементы из Ь (О), р — полное нормируемое пространство, а а — дифферен- циальная форма степени р — 1 на 6 со значениями в Р. Если а левоинвариантна, то (да),(а1, ..., ар)= =Х— 1+! ( — 1) а,([а1, а![, а„..., а, „а1+,... „а! „а;+и ..., ар) 1<! Если а правоинвариантна, то (11а),(ао ..., ар) = = — Е— 1+! — ( — 1) а,([а1, а![, а„ ..., а! ,, а,+,, ..., а! „ а!1.„ ..., а ). 1к! Предположим, что а левоинвариантна. Согласно Мн. Св. рез., 8.5.7, (да)Н 1. ' Е р)= = ~ ( — 1)' Е,,а[Е,~П ..., Е,„я Ь.1~Р ..
„Ь, )+ + ~ ( — 1)+!а([Л,.,Ь,Д, Ь,е ..., Е.. п1.. .... Еа! 7-а„е ..., Еар). НО фуНКцИИ а[У„,, ..., Еа! .. Еа1+., ..., Е, ) На 6 ЛЕВОИНВа- риантны, а значит, постоянйы. Следовательно, Еа1а[Еа ~ ..г Еа! 1, 7агро ° ° > Еа ) = О В то же время [Аа,, Ла!)=Е(а1,а) (предложение 23), откуда следует первая формула предложения 51. Вторая устанавли- Ф 3. ПЕРЕХОД ОТ ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ вается аналогичным образом, если принять во внимание на этот раз, что ~К.п ЯРД вЂ” П(„!,, 1. Следствие 1.
Пусть 6 — группа Ли, конечномерная, если К имеет характеристику ) О, а е и е' — соответственно левая и правая канонические дифференциальные формы на 6. Тогда с(в + (е1' = О, дв' — (е'1т = О. Согласно предложению 51, (с(в)ч (а! ат) в ( (а! аз1 ) 1а! аз1 = — (в,(а!), е,(а )] = — (е)з(а„а,) откуда следует первая формула. Вторая устанавливается ана-" логичным образом. Следствие 2. Предположим, что 6 имеет конечную размерность. Пусть (е„.. „е„) — базис в Т,(6), (е;, ... е,",) — дуальный базис, (с!ГА) — структурные константы алгебры Ли Т.(6) относительно базиси (е„ ..., е„) и е!(соотв. в!) — левоинвариантная (соотв.
правоинвариантная) дифференциальная форма на 6 со значениями в К, такая, что (в!),=е! (соотв. (в!),=е*;). Тогда две+ Х спье! Л в! —— О (Ь = 1, 2, ..., и), 1ч! йвь — Х сГГАв! Л в!=О (Ь=1 2 . и) Фч! В самом деле, если г < з, то (деь),(е„, е,) = — (е„),([е„е,1) = = — 2'с„г(е„),(е,) = с Х с!Гь (в; Л е!),(е„е,). !(! Аналогично рассуждаем в случае форм еь. 1Ю. Конструкция инвариантных дифференциальных форм Лемма 2. Пусть 6 — группа Ли, (! — открытая симметричная окрестность элемента е в 6, Š— полное нормируемое пространство и !р: Пз — Š— аналитическое отображение.
Для всякого уен У пусть е, — дифференциал в точке д отображения Ь!-Р!р(д-!Ь). Тогда е есть ограничение на 0 некоторой левоин- 1б ГЛ. 111. ГРУППЫ ЛИ вариантной дифференциальной формы на 6, значение которой в е равно б(,ф. Ясно, что бь, = д,ф. Для всякого у ен П и всякого 1 ен Т,(6) (бь, Т,(у(у))1)=(с( (ф у(у) ), Т,(у(у))1>= =(й,ф Т,(Ь(у) '),Т.(у(у))1)=(й,ф,(). Значит, бье получается из а',ф действием отображения Тл(у(у)).
Пвадложаниа 52. Пусть и — целое число ) О, 6 — группа Ли размерности и, П вЂ” открытая симметричная окрестность элемента е в 6 и ф: Ю' — К" — такая карта на 6, что ф(е) =О. Если (х» ..., х„) — координаты точки хан ф(6) и (у» ..., У„) — координаты точки у ен ф (6), обозначим через т1(Х» ° ° -ю Хл~ У» ° ° ° ~ Ул)~ ° ° 1 тл(Х1 ° ° ' Хл У1. ° ° э Ул) координаты точки ф(ф (х) ф (у)). Тогда, если положить для 1~<й <~п вбь(х» ..., х„) = П„.,ть(х» ..., х„, х» ..., х„) б(х1 + ... ... + Пыт„(х» ..., х„, х» .... х„) б(хл, (32) то дифференциальньсе формы ебь на ф(6) суть образы относительна ф некоторых левоинвариантных дифференциальных форм на 6 и обе(0, ..., 0) =с(хь.
Применим лемму 2 с Е= К, взяв в качестве ф(у) координату с индексом я точки ф(д). Получаем некоторую дифференЦиальнУю фоРмУ Гьь,. пУсть обь — ее пРеобРазование с помо1пью ф Значения формы обе в (х»..., х„) — это дифференциал в (х» ..., х ) функции у» — э.ть(х„..., х„, у» ..., У„); стало быть, зто значение дается формулой (32). Остается тогда воспользоваться заключением леммы 2.
ПРадложвнив 53. Пусть 6 — группа Ли, А — полная нормируемая алгебра, ф — морфием групп Ли из 6 в А'. Для всякого у~6 пусть бье — — ф(д) '.дгф. Тогда Гь есть левоинвариантная дифференциальная форма на 6, значение которой в е есть а,ф. В самом деле, применим лемму 2 с Е =А, 6=6. Дифференциал в у отображения й ф(у 16)=-ф(д) 'ф(й) есть ф(у) ' 4ф лу. Мера Хаара на группе Ли Пусть 6 — группа Ли конечной размерности п. Тогда Л" (Т, (6)) имеет размерность !. Стало быть (и'13), векторное пространство 5 левоинвариантных дифференциальных форм степени и зоз $ З ПЕРЕХОД ОТ ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ м на 6 имеет размерность 1. Пусть (вп ..., а„) — базис векторного пространства левоинвариантных дифференциальных форм степени 1 на 6; тогда Гь, Л вз А ...
Л е„есть базисный элемент в 3. ПРедложение 54. Пусть 6 — группа Ли конечной размерности и, а — левоинвариантная дифференциальная форма степени п на 6 и ф — ендоморфизм группы О. Тогда р'( ) =(йе11 (ф)) в. Положим Е(ф)=и, в,=р, ф'(в),=у. Каковы бы нн были х„..., х„в Ь(6) й (хп ..., х„) = 1(ихп .. „их„) = (ое1 и) Г (хп ..., х„), значит, ф'(в),= де1Ь(ф).е,. С другой стороны, если йы О, то фа у(й) =у(р(й)) ф и, стало быть, у(й)" ф'(ы) =ф" (а). Таким образом, форма ф'(Ге) левоинвариантна, откуда вытекает предложение.
Следствие. Для всякого д ~ 6 б (д)' в = (йе1 АЙ д) ьь В самом деле, б(д)*в =5(й)" у(д)" в =(1П1й)'е и 1,(1П1 е) Адй. Ч, Т, Д. Пусть Π— локально компактная группа и ф — ее эндоморфизм. Предположим, что существуют открытые окрестности Ч, Ч' элемента е, такие, что ф(Ч)=)Г' и что ф!)Г есть локальный нзоморфизм из 6 в 6. Пусть р — левая мера Хаара на О, В силу Интегр., гл. Ч11, $1, следствие предложения 9, существует единственное число а) О, такое, что ф(и!)Г) =а '1А !)Г'. Ясно, что а не зависит от выбора $', 'у", и.
Оно называется модулем эндомррфизма ф н часто обозначается через тойоф или просто тодф. Если ф — автоморфизм группы 6, мы возвращаемся к определению 4 из Интегр,, гл. ЧП, $1. Предложение 55. Предположим, что поле К локально компактно. Пусть 9 — мера Хаара на аддитиеной группе поля К. Пусть 6 — группа 7и конечной размерности п. (1) Пусть в — ненулевая левоинвариантная дифференциальная форма степени и на 6. Тогда мера гаод (а)„(Мн. Св. раз., 10.!.6Г есть левая мера Хвора на О.
Если К=К и если 6 наделена ориентацией, определяемой формой е, то мера, определенная формой е (Мн. Св. рез., 10.4.3), есть левая мера Хаара на 6. (Н) Пусть ф — зтальный зндоморфизм группы 6. ТоыАа щой ф пюй де1 1. (р). ГЛ. ПЬ ГРУППЫ ЛИ Утверждение (В очевидно. Пусть У, У' — открытые окрес стности элемента е, такие, что ф(У)= — У' и что ф(У есть локальный изоморфизм из 6 в О. Тогда ф-'(втой (ат)„! У ) = пюй ((фа(га))в ! У) (в силу переноса структуры) = = апой (йе! Е(ф) го ! У)„(предложение 54) = = п1ой йе! Е (ф) (1пой (го)Р! У, откуда гной ф = гной йе! Е (ф), согласно определению числа втой ф.
Следствие. Для всякого дев 6 имеем Ао(д) = (Гной йе(Айд) '. В частности, чтобы группа 0 была унимодулярной, необходимо и достаточно выполнение условия пюй йе(Айд=! для всякого деи6. В самом деле, Аа(д)=(гаой1П1д) ' (Ннтегр., гл. У11, $1, формула (33))= = (втой йе( Е (1п! д)) (предложение 55) = =(птоййе!Айй) '. Замечание. Примем опять предпосылки и обозначения предложения 52 и предположим, что К локально компактно. Пусть и — мера ыоб бе((Гт + ать(хи ..., х,, хн ..., „)), ох, ... г(ла иа ф(у).
Тогда ф ((ь) является ограничением на сГ меры Хаара на О. ПРедложенне 56. Пусть 6 — группа Ли конечном размер" ности и, Н вЂ” подгруппа Ли размерности р, а Х вЂ” однородное пространство Ли 6/Н. Предположим, что йе! Айд !о1Ь = йе! Айе <в1Ь для всякого Ь ее Н. Тогда (1) Дифференциальные формы степени и — р на Х, инвариантные относительно 6, аналитичны. (В) Векторное пространство этих форм одномерно.
(В!) Если го — такая ненулевая форма и если К локально компактно, то пюй (го)к есть ненулевая мера на Х, инвариантная относительно 6. Согласно примерам из $ 1, и' 8, А(!" Р(ТХ, К) есть аналитическое векторное 6-расслоение. Пусть хо — канонический образ элемента е в Х; его стабилизатор есть Н. Слой расслоения А!1" ~(ТХ, К) в хо есть А" РТж(Х), и Т~(Х) канонически отождествляется с Е(0)/ь(Н). Если Ь~Н, то автоморфнзм тл пространства Х, определенный элементом Ь, получается $ а.
переход От ГРуппы ли к ее АлГеБРе ли из автоморфизма д Ьдй ' группы 6 посредством перехода к фактору. Значит, автоморфизм Т„,(та) получается при переходе к фактору из Ас!ь <О1Ь. Пускольку бе! Абыа! Ь = (с)е! Ада (и! Ь) . (бе! Та,(та)), сделанное предположение влечет за собой условие бе! Т„,(Ь) = 1. Таким образом, всякий элемент из тХ" РТ,(Х)" инвариантен относительно Н. Коль скоро это так, (!) и (и) следуют из $1, и'8, следствие 1 предложения 17, и (1!!) очевидно.
Существование ненулевой положительной меры на Х, ннварнантной относительно О, следует, впрочем, иа Интегр., гл. ЧП, э 2, следствие 2 теоремы 3, носкольку условие иредложення 55 влечет аа собой равенство 5, (Н = 5 (следствие предложения 551. Предложение 87. Пусть 0 — группа Ли конечной размер- ности и. Выберем базис в /~"Т,(0)'; тогда с помои!ью правой (соотв. левой) тривиализации векторного расслоения ~ь" Т(6)" мьт можем отождествить зто последнее с тривиальным векторным расслоением 0;к',К, так что транспонированный оператор для скалярного дифференциального оператора отождествляется со скалярным дифференциальным оператором. Тогда, если и е= 0(6), то транспонированный оператор для Ь„ (соотн А~и) есть 7 й (соотв )ой ) Рассмотрим случай, когда ~"Т (6)' тривиализуется с помощью правоинвариантной формы Га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
