Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 62
Текст из файла (страница 62)
! «Я») есть изоморфизм векторного пространства 0 (6) на векторное пространство левоинвариантных (соотв. правоинвариантных) полей распределений на О. (!1) 77ля т, !' из 0(0) имеем ь» ° » =ь»о».», т»» ° »'=т(» )»», Е»о!Г» =Я» Е» (если допустить вольность в обозначениях, как в п'5). (й!) Если 8 — отображение д ~ у ' из 6 на О, то 8 (Е») = К»У.
(!У) Если Х ен 0(6) и у ен О, то (Е»)е = ()Гь ° » * ) ° Любой правый сдвиг в 6 коммутирует с любым левым сдвигом. В силу предложения 21 и'5 поле Е», следовательно левоинвариантио. Поскольку (Е»),=1, отображение Г «Е» инъективно. Пусть Л вЂ” поле левоинвариантиых распределений на 0 и !=А;, тогда поля Ь н Е» принимают одно и то же значение в е и левоинвариантны; стало быть, б = Е». Это доказывает (1) для Е», аналогично рассуждаем для»х». Формулы Ь». » = Е» «Е», й»» ° » =»»» «»с» следуют из (21) и (18). Пусть !Ен0,(6), У е еи О, (6), 7'еи!У'(0, Р), где И открыто в 6 и в+ з'~(Г; получаем ЕД» (~) = Ю.»(!'У * ~) =(!'~ *~) *!У = =Г Уь(16»Р) (предложение 20)=тс»ь»( и, стало быть, Е»оЯ» =)х; Е».
Поскольку 8 является изоморфизмом из 6 на ОУ, 8(Е») есть правоинвариантное поле распределений на 6; его значение в е равно 8,(!) =(У; значит, 8(Е») = =)(»у. Наконец, (Е») =а 61=(е *!Ре»)ее =(Я,, ) . Е Замечание 1. Отметим, что для определения левоинвариантных полей распределений мы рассматриваем действие группы 0 на себе правыми сдвигами. Замечание 2. Предположим, что О конечномерна. Отображение (т, д) «Щ)6=!Рве из 6,(6) Х 6 в Тьо(6) есть изоморфизм аналитических векторных расслоений; в самом деле, это.
отображение биективно, линейно на каждом слое и аналитична (и' 5). С другой стороны, пусть»р: Т<»»(6)-«0,(0)ХО есть обратное отображение; если ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ 278 (~ьТ~*'(6), то ф(|)=(1»в 1, д) и, стало бытыр аналитична. Изоморфизм |р называется правой тривиализацней расслоения Тн|(0). Таким же образом рассмотрим отображение (Г, а)» 1-~(Е,)г — — г»Г из П,(6)Х0 в Т|" (6); обратный изоморфизм называется левой трнвиализацией расслоения Т|'1(6). При ограничении на Т(0) мы снова получаем правую и левую тривиализации расслоения Т(6) (5 2, и'2). 7.
Алгебра Ли группы Ли Пусть 6 — группа Лн. В П(6), как во всякой ассоциативной алгебре, полагаем 11, 1'] = Г» 1' — Г' ь Е Поскольку Т,(6) является множеством примитивных элементов в П(6), имеем 1Т,(6), Т,(6)) ~ Т,(6) (гл. 11, $1, и'2, предложение 4). Ограничение операции коммутирования на Т,(0) определяет, следовательно, в Т,(6) структуру алгебры Ли. Лемма 1. Пусть Х и Х' — полные нормируемые пространства, Х вЂ” открытая окрестность точки 0 в Х, 1 — такое аналитическое отображение окрестности Хь в Х', что )' (О) = О. Пусть =71+),+71+ ... — разложение в степенной ряд функции 7" в точке О, где |'1 — однородный непрерывный многочлен степени | на Х со значениями в Х'.
Пусть à — элемент из Т81(Х), рас.сматриваемый как точечное распределение на Х, носитель которого содержится в (О). Пусть Г'=7„(Г) енТ8(Х'). Однородной .кзмпонентой степени 1 элемента Г' является (~, 1). Обозначим через 11, эту компоненту. Для всякого линейного непрерывного отображения и пространства Х' в некоторое полинормнрованное пространство получаем и(1',) = †(1', и) (поскольку и линейно и непрерывно) = =(1, и»7) (Мн. Св.
рез., 13.2.3)= =(1, и»Я (поскольку Ген Т8г(Х))= =и((1, |з)) (Мн. Св. рез., 13.2.2), откуда вытекает утверждение леммы. Пгндложенив 24. Пусть 0 — группа Ли, (П, |р, Е) — такая карта на Е, что ф(е)=0, и )7 — такая окрестность элемента е, что Р'г с: У. | Пустын — аналитическое отображение (а, Ь) »-~ф(ф '(а)ф '(ь)) из ф(17)Хф()7) в е. пусть т= ~ т|, |— 1,1.»0 разложение отображения т в степенной ряд в точке (О, 0), где тп — биоднородный непрерывный полинам бисгепени (1, 1) на Е Х Е со значениями в Е.
О Е ПЕРЕХОД ОТ ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ 279 (1) лько =пьод=О, каковы бы ни были ю' ~ 1 и 1 ~ 1, (0) тьо(а, Ь) = а и т,, (а, Ь) = Ь, каковы бья ни бьсли а еп Е, Ь я Е. (!!1) Лусть ф: Т,(6) — Š— дифференциал отображения ф в е. Каковы бы ни были и, о из Т,(6), ф([и, о[) = ть,(ф(и), ф(о)) — т,, (ф(о), ф (и)). Имеем т(а, 0)=а, т(0, Ь)=Ь, каковы бы ни были а, Ь из ф(У), что доказывает (1) и (!!).
Пусть и, о принадлежат Т,(6). Отождествим Т,(Е) с Е и, стало быть, ф с Т,(ф). Образы элементов и и о относительно Т,(ф) суть ф(и) и ф(о). Точечное распределение, являющееся тензорным произведением этих образов, есть симметрическое произведение элементов (ф(и), 0) и (О, ф(о)) в Т8(ЕХ Е) =Т8(Е) Э Т8(Е), т. е. (ф(и), 0) Э(0, ф(о))+ (О, ф(о)) Э (ф(и), 0). Значит, ф.(но о) является образом предыдущего элемента при отображении т из ф(У)Хф(У) в Е. Его компонента степени 1 в Т8(Е) есть в силу леммы 1 х=(тьо (ф(и), 0) Э (О, ф(о))+(О, ф(о)) Э(ф(и), 0)). Определим билинейное отображение п: (ЕХЕ)е-РЕ формулой и ((а, Ь), (а', Ь')) =т,, (а, Ь').
Имеем п((а, Ь), (а, Ь)) = т,, (а, Ь) и, следовательно, х=(п, (ф(и), О) Э (О, ф(о))+(О, ф(о)) Э (ф(и), 0))= =т,,(ф(и), $(о))+ т,,(0, 0)=-ть,(ф(и), ф(о)). Аналогично, ф, (о о и) допускает ть, (ф(о), ф (и)) в качестве компоненты степени 1 в Т8 (Е). Поскольку ф ( [и, о[) имеет степень 1, это доказывает (ш).
Следствие. Нормируемое пространство Т, (6), наделенное операцией коммутирования, является норм руемой алгеброй Ли. Опведеление 6. Нормируемое пространство Т (6), наделенное операцией коммутирования, называется нормируемой алгеброй Ли группы 6 или просто алгеброй Ли группы 6; оно обозначается через Е (6).
ПРедложение 25. Лусть 6 — группа Ли, Е (6) — универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли Е (6), Каноническое вложение а80 ГЛ. П1, ГРУППЫ ЛИ пространства Е (6) в У (6) определяет гомоморфизм т! алгебры Е (6) в алгебру У(6). Если К имеет характеристику О, 11 есть изоморфизм биалгебр.
Действительно, биалгебра У (6) кокоммутативна он. Св. рез., 13.5.1), и фильтрация (У,(6)) согласована со структурой биалгебры. Множестео примитивных элементов в У(6) есть Е(6). Достаточно тогда применить теорему 1 гл. П, $1, и'6. Если К имеет характеристику О, мы будем с этого момента отождествлять У(6) с универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли Е(6). В силу (2) и предложения 7 (И) отображение Га-~1ч из У(6) в У(6) отождествляется с главным антиавтоморфизмом алгебры У(6) (гл. 1, 5 2, и'4).
ПРвдложннин 26. Предположим, что К имеет характеристику р) О. Для всякого а енЬ(6) имеем а» ен Е(6) и аб(а») =(аба)» (степень а» вычисляется в У(6)). Если аенй(6), то а примитнвен в У(6), а потому а» примитивен в У (6) (гл. 1, $1, п' 2, замечание 1); значит, а» ~ Е (6). Пусть о, (соотв. т,) — линейное отображение х1-~а ах (соотв. х ! х а а) из У (6) в У (6). Для всякого х ен У (6) имеем (а!(а)(х) =(о — т,)(х); стало быть, (ада)»=(о, — т,)".
Но о, и т, коммутируют друг с другом и, следовательно, (о, — т,)»= = (о,)» — (т,)» = в,» — т,», откуда следует второе утверждение. Оп»вднлннив 7. Пусть Х вЂ” многообразие класса С' (т~2), й — полная нормируемая алгебра Ли. Инфинитезимальным законом левого (соотв. правого) действия класса С алгебры Ли й на Х называется отображение а1-а Ра из й в множество векторных полей на Х, обладающее следующими свойствами: а) отображение (а, х) Р Р, (х) есть морфием класса С' тривиального векторного расслоения йХ Х в векторное расслоение Т (Х); б) (Ра, Рь) = — Р!а,ы (соотв. (Ра, Щ =Р,а, ь!), каковы бы ни были а, б из й. В частности, всякое векторное поле Р, принадлежит классу С Замечание. Пусть Х вЂ” многообразие класса С', й — алгебра Ли конечной размерности, а ь Р, — линейное отображение из в векторное пространство векторных полей класса С на Х.
Тогда условие а) определения 7 выполнено. Действительно, рассматривая базис в й и применяя Мн. Св. рез., 7.7.1, мы сводим все к случаю, когда ЙГП 2 = 1, и наше утверждение тогда очевидно. ь 3. ПЕРЕХОД От ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ 28ь ПРедложение 27. Пусть 6 — группа туи, Х вЂ” многообразие класса С'. Предположим, что задан закон левого (соотв. правого) действия класса С' группы 6 на Х. Для всякого а ен Е(6т пусть Р есть поле точечных распредеяении, определенное элементом а на Х.
(1) Отображение (а, х) '-.0 (х) является морфиэмом класса С' ' тривиального векторного расслоения Ь (6) л, Х в векторное расслоение Т(Х). (й) Пусть 7 — открытое подмножество в К, содержащее О, и у: 7- 6 — такое отображение класса С', что у(0) =е. Пусть а = То(т)1 еий(6). Если 7 — функция класса С' на некотором открытом подмножестве в Х, то (О 1)(х)= 1пп й (1(у(й)х) — [(х)), если 6 действует слева, ь к,ьто (Ро()(х) = 11щ й (1(ху(й)) — 7(х)), если 6 действует справа. ь к,ььо (1В) Если Г' 2, то отображение а РВ, есть инфинитезимальный закон левого (соотв.
правого) деиствия класса С' алгебры Ли Е(6) на Х. Предположим, что 6 действует слева на Х. Пусть ьр: 6КХ- Х— этот закон действия. Тогда Т(~р) есть ьр-морфизм класса С' ь векторного расслоения Т(6) )С, Т(Х) в векторное расслоение Т(Х) (Мн. Св. реэ„8.1.2). Индуцированное векторное расслоение (Т(6) Х Т(Х))1((е) Х Х) отождествляется с Е = Е(6) р,' Т(Х). т — ~ Стало быть, Т(ьр) ~Е есть морфизм класса С векторных расслоений. Для (а, х) ~ Е (6) А', Х имеем Т (ьр) (а, х) = О, (х), откуда следует (1). Формула, выражающая (0,1) (х), вытекает из сказанного в конце и'2 5 2 и из Мн. Св.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
