Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Учитывая (4), получаем, что ах 263 з а пеРехОд От ГРуппы ли к ее АлГеБРе ли Ф есть образ касательного вектора ! к 7 в точке О относительно отображения, касательного к ЛР-Р у(Л) х. Следовательно, векторное поле х Р ах на Х есть векторное поле, определенное отображением (Л, х)Р у(Л)х в смысле Мн. Св. ргз., 8.4.5. 3. Случай групускул Пусть (6, е, О, т) — групускула Ли, И вЂ” область определения закона композиции т.
Тогда Т(Я) отождествляется с некоторым открытым подмножеством в Т(6) Х Т(6) и Т(т) есть аналитическое отображение из Т(11) в Т(6). Как в и'2, проверяется, что (Т(6), О„Т(8), Т(т)) является групускулой Ли. Для законов умножения в 6 и в Т(6) часто используется мультипликативная запись. Каноническая проекция из Т (6) в 6 есть морфизм трупускул Ли. Ограничение Т,(т) на Т,(6) к'.
Т,(6) задает операцию сложения в векторном пространстве Т,(6). Нулевое сечение расслоения Т(6) является изоморфнзмом групускулы Ли 6 иа некоторую подгрупускулу Ли в Т(6)„которая отождествляется с 6. Если 7' — морфизм из 6 в групускулу Ли Н, то Т()) Т(6)- Т(Н) есть морфизм групускул Ли. Отображение ф: (д, и) э ди из 6Х Т,(6) в Т(6) представляет собой изоморфизм тривиального векторного расслоения 6;и.
Т,(6) с базой 6 на векторное расслоение Т (6); действительно, ф и ф ' аналитичны и являются морфизмами расслоеннй, а потому достаточно применить Мн. Св. ргз., 7.2.1. (Можно было бы также приспособить доказательство в и'2.) Изоморфизм ф-' называется левой тривиализацией расслоения Т(6). Изоморфизм, обратный к отображению (у, и) ~-Р ау, называется правой тривиализацией. Пусть Х вЂ” многообразие класса С', ф — кусок левого закона действия класса С' групускулы 6 на Х.
Тогда Т (ф) есть кусок закона левого действия класса СГ групускулы Т (6) на Т(Х), продолжающий ф. Формулы (7), (8), (9) остаются в силе, если ух определено. Если! — открытое подмножество в К, содержащее О, у: 1- 6 — такое отображение класса С', что у (0) = е, и а = =Ть(у)1, то векторное поле хь — Рах, определенное на Х, есть векторное поле, определенное отображением (Л, х) Р у (Л) х в смысле Мн.
Св. ргэ., 8.4.5. % 3. Переход от группы Ли к ее алгебре Лн .7. Свертка точечных распределений на группе Ли Опгеделение 1. Пусть 6 — группа Ли, д и у' — два элемента из 6, и пусть 1 ее Т' '(6), У е= Т~ '(6) — два точечных распределения на 6 в точках д и д' (Мн. Св, ргз., 13.2.1). Свгргкой элементов 1 и 1', обозначаемой через 1*1', называется ГЛ. П1. ГРУППЫ Лн образ элемента 19 У относительно отображения (Ь, Ь')>-РЬЬ' из 0 Х 6 в б (Мн. Св. рез., 13.2.3). Прпдложпнив 1. (1) Если 1 ен Тн'(6) и 1 ~ Т>н" (0), го ! е !' ен ен Тг'+в'> (О) (11) Если 1 или !' не имеет свободного члена, то 1е !' не имеет свободного члена. (111) вечеа =е е .
(1у) Пусть 1~ Т! >(6), 1 ~ Тн" (6) и 1 — функция класса С'"' в некоторой открытой окрестности точки уд' со значениями в некотором полинормированном отделимом пространстве. Имеем." (! е !', )) = (1', Ь' >-Р (1, Ь >-Р >е (ЬЬ'))) = (1, Ь 1 (!', Ь' и 7 (ЬЬ'))), Это следует из Мн.
Св. рез., !ЗА.!, 13.2.3 и 13.4.4. Предположим, что >> =и нли С и С конечномериа. Тогда С локально компактна. Если С 1' — точечные меры, то определение свертка ! ° 1' СогласУется с определением в Ингегр., гл. УП>, з !. Мы усидим.
позднее, что свертка мер и свертка точечяых распределений являются двумя частными случаями свертки ие обнзательно точечных рас-. пределений. Пусть У !">(О) — прямая сумма пространств Т! > (О) для д ен 6' (см. Мн. Св. рез., 13.6.1). Определим свертку в У 1">(б) как билинейное отображение из У '"'(6) ХУ ! >(О) в У1 '(6), продолжа>ощее свертку из определения 1. Обозначим ее также через е.
Таким образом, У !">(6) наделено структурой алгебры, фильтрованной подпространствами У"'>(6). Подалгебра У 'е'(6) = = ® Тег>(6) отождествляется с групповой алгеброй К!о> группьк еыо б над К. Првдложанип 2. Алгебра У ! '(6) ассоциативна. Она коммутативна тогда и только тогда, когда 6 коммутативна. Пусть 8ен У ! ' (6), У я У ! > (6), йч ен У ! > (6).
Тогда 1е (У е Гч) является образом элемента 19 У 9 !н относительно отображения (д, у', дн) у(д'дл) из ОКОЛО в О, а (Гер)е("— образом элемента ! 9 У 9 !" относительно отображения (у, у', д") ~ (уд') дн из 0 Х 6 Х 6 в О. Следовательно, (1 е У) е йи = ! е гб е !ь), Аналогично проверяется, что, если 0 коммутативна, то 1*у=уз!. Если свертка коммутативна. то 6 коммутативна в силу предложения 1 (ш). Првдложанив 3. Если 1 е У ! > (О) и д ~ б, то у (у). ! = ее е 1. б(д).1=!ене->, (1П1у)„(=е е(ее -1. В частности, е, есть единичный элемент в У '">(6).
Рассмотрим следующую диаграмму: 0 — ь 6 Х б — ь бь 3 5 З, ПЕРЕХОД ОТ ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕБРЕ ЛИ 265 где ~р есть отображение Ь (д, Ь) н зр есть отображение (Ь', Ь) «Ь'Ь. Имеем у (д) = зр е ~р и, следовательно, у (у).1= = зр, (~р. (1)). Однако ~р. (1) = в, ® 1; стало быть, ф, (у. (1)) = в е 1. Аналогично рассуждаем для б(у).1. Наконец, 1П1д= у(д) за(к) и, следовательно, (1п(д),=у(у),'б(у).. Таким образом, виана, что для Г~м Т(0) элементы ее ° 1 н т ° ее равны произведениям дс н Гд соответственно, вычисленным в группе Т(0) ($2, и'2).
Необходимо учитывать, что для Ь У из Т(0) произведение П' в смысле з 2, ваобпзе говоря, отлично от т «У. Определение 2. Пусть б — группа Ли. Подалгебра в У ~ ~(0), образованная распределениями с носителем, содержащимся в (е), обозначается через У (6). Эта алгебра фнльтрована подпространствами и,(а) =- и(а) Пт" (0) = Т',о(а). Полагаем У+(0)=Т( '+ (0), У,+(0)=и+(0)ПУ,(6)(см. Мн. Св. рез., 13.2.1). Напомним, что Уо(0) отождествляется с К, а У1+ (0)- с касательным пространством Т,(6).
В У(0) подпространство У+(6) представляет собой двусторонний идеал, дополнительный к и,(а). Пример. Пусть Š— нормируемое полное пространство, рассматриваемое как группа Лн. Тогда векторное пространство У(Е) канонически отождествляется с векторным пространством Т8(Е) (Мн. Св. рез., 13.2.4). Пусть т: ЕХЕ-«Е — сложение в Е. Тогда т.: Т8(ЕХЕ)- Т8(Е) равно Т8(т) (Мн. Св. Рез., 13.2.4). Для 1, 1' из У(Е) =ТЗ(Е) образ 1е 1' симметрического тензорного произведения 1 Э У относительно т, равен, таким образом, Т8(т)(1® Е). В силу А1у., с(тар.
Тт', $5, п'б, ргорозН!оп 7, иепебб., зтот образ есть ие что иное, как произведение ЬУ в алгебре Т8(Е). Тем самым алгебра У(Е) отождествляется с алгеброй Т8(Е). Предложение 4. Рассмотрим билинейное отображение (и, и)-з. + из п (соотв. (и, и) «се и) из У(0) ХК'а> в У '"'(О). Соответствующее линейное отображение из У(6)З К~а~ в У ~ >(6) есть изоморфизм векторных пространств. Действительно, К<о' есть прямая сумма пространств Кн, для хыб. С другой стороны, отображение и«-«и*вя (соотв.
ГЛ. !11, ГРУППЫ ЛИ и «ее еи) есть изоморфизм векторного пространства У(6) = = Т1 '(6) на векторное пространство Т1е 1(6) в силу предложения 3. Наконец, ег' 1(6) есть прямая сумма пространств Т1 '(6) для ден6. Ч. Т. Д. Пусть Х вЂ” многообразие класса С' (Г)оо) и хенХ. В Ми. Сз. рез., 13.3.1, были определены каноническая фильтрация на векторном пространстве Т, (Х) и канонический изоморфизм тх,„ 1"> ассоциированного градуированного векторного пространства на градуированное векторное пространство Т8 (Т,(Х)).
В частности, положим Т,(6) = — Л; тогда 1О»е есть изоморфизм градуированного векторного пространства АРГУ(6) на градуированное векторное пространство Т8 (Е). Но У (6) — фильтрованная алггбра, поэтому атУ(6) наделяется структурой гррдуированной алггбры. ПРндложннин 5. Лзоморфизм 1О,,1 'АРГУ(6)-«Т8(1) есть изоморфизм алгебр.
Пусть р — отображение (1, р)»-«Ю 8 г' из У (6) Х У(6у в У(6 Х 6), с — отображение (1, !')» — «1'е р из У(6) Х У(6у в У(6) н т — отображение (д, д')» — «дд' нз 6 Х6 в 6. В силу определения 1 с=т ор, Рассмотрим диаграмму аг У (6) Х 5Г У (6) и 5Г У (6 Х 6) л-«5Г У (6) 1О„Х О е~ 41охо.е 41О, е Т8(Л) Х Т8(5) — е. Т8(Ь ХЕ) — — е- Т8(Е.) где отображение О получается нз канонического иаоморфизма пространства Т8(ь) ® Т8 (Ц на Т8(Ь Х ~).
В силу Мн. Се. рез., 13А.6 и 13,3.5, оба квадрата диаграммы коммутативны. Поэтому ввиду (1) диаграмма в.е101Хе О101 е От| то, е х 1О, е(, ~1О. е тв1цхтв1о1 тв1о» коммутативна. Однако Т(т): Ь Х Е-«Е преобразует (х, у)» ц'Гх+ у (3 2, и' 1, предложение 2 (И)). В силу А1а., сЬар. 1Ч, $5„ и'6, ргороз(1(оп 7, пенеед., Т8(Т(т)) ° О есть„стало быть, умножение в алгебре Т8(Ь). $ 3. ПЕРЕХОД ОТ ГРУППЫ ЛИ К ЕЕ АЛГЕВРЕ ЛИ 267 .2.
Свойства фунаторнальности П~едложение б. Пусть О, Н вЂ” группы Ли, ф — морфием из 6 в Н. Длл 1, у из У '"~(6) имеем Ф. (1ьт") =Ф,(1) *ф.(у). Рассмотрим диаграмму аха а тхт~ ~т НХН вЂ” Н где т(у, д') = ду', и (л, л') = йй'. Эта диаграмма коммутативна, Следовательно, Ф,(Гьь') =Ф,(т (Гэу)) ="п,ЬрХФ). (1 э у)) = п,(Ф,(Г) Эф,(1'))=ф (1) ь Ф (У).
Группы Ли 6 и ач имеют одно и то же нижележащее многообразие; стало быть, векторные пространства У 1 '(6) и 3 ~ ~(ач) совпадают друг с другом. Пусть  — отображение а ьд-', являющееся изоморфизмом группы Ли 6 на группу .Ли Оч, Тогда В„есть автоморфизм векторного пространства К' '(6), который мы обозначим через 1 ~.1ч. Имеем (аг)ч= =е -ь Если 1ЕБ Т,(6), то — ($2, предложение 2). (2) Пример. Предположим, что 6 — группа Ли, определенная нормируемым полным пространством Е. Тогда О(6) отождествляется с Т8 (Е) и ограничение отображения В, на О(6) отождествляется с Т8 (Т, (В)) (Мн. Св.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
