Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть дь у, из О таковы, что у,В' Д д Яг Ф О, так что у 'д, и д, 'д, принадлежат йтз. В силу а) множество 1Г П д, 'д Ж открыто в Йт; поэтому ф„(у,йтйу,((г)=ф(йтйу у,йт) есть открытое подмножество 0 в Е. Для д гн О получаем (ф оф ~)(а)=ф(у уф (д)). в силу п. а) мы видим, что фг,оф ' аналитично. Ю в) Согласно б) на О существует такая структура аналитического многообразия, что (фг) о есть атлас на О. Для всякого уь ен 0 отображение д~-+ дьд (у ен 0) оставляет этот атлас инвариантиым и является, следовательно, автоморфизмом этой структуры многообразия на О.
В частности, условие (61.,) выполнено. г) Пусть оьеи'т'. В силу (й) существует такая открытая окрестность А элемента е в йт, что о,А ~ 'т'. Это показывает, что т' открыто в 6. Согласно а), отображение о~ †» оьо из А на оьА есть аналитический изоморфизм относительно структур А и о,А, индуцированных аналитической структурой на У. Приняв во внимание в), мы видим, что структуры многообразия на О и У индуцируют одну и ту же структуру на оьА и, стало быть, наконец, на т'.
д) Приняв во внимание г), (й),и (ш), мы видим, что условия (ОЬ,) н (01.ь) выполнены. Следовательно, 6 есть группа Лн, е) Если структура многообразия на О согласована со структурой группы на 0 и такова, что т' есть открытое подмногообразие в 6, то (фг) р — атлас на О. Отсюда вытекает утверждение единственности предложения.
Пгвдложвнив 19. Пусть 6 — топологическая группа, Н— группа .Чи, 1 — гомоморфизм группы 6 в группу Н. Предположим, что существуют открытая окрестность У элемента ео в 6, карта (т', ф, Е) на многообразии Н в ен и замкнутое векторное подпростронство Р в Е, допускающее топологическое дополнение, такие, что 1(У) с:'т' и (фо1) ~У есть гомеоморфизм из У на ф(т') () Р. Тогда на О существует единственная структура многообразия, такая, что )' есть иммерсия; эта структура является обратным образом относительно 1' структуры многообразия на Н. Относительно нее О есть группа Аи.
Поскольку сдвиги в группе 6 (соотв. Н) суть гомеоморфизмы (соота. аналитические изоморфизмы), 1 удовлетворяет условию (й) из Мн. Св. рез., 5.8.1. Первые два утверждения предло- 251 $ !. ГРУППЫ ЛИ гн жения следуют тогда из Мн. Св. рез., там же. Рассмотрим коммутативную диаграмму ОХО 6 !х г~ НХН вЂ” Н где т(х, у) =ху — ' (соотв. п(ху) = ху-') для х, у из 0 (соотв. Н). Тогда по() Х)) аналитично; значит, ) ьт аналитично, а потому аналитично и т, так как 1 есть иммерсия. Таким образом, 0 есть группа Ли.
Говорят, что структура группы Ли на 6 является обратным образом структуры группы Ли на Н относительно 7. Слвдствив. Пусть 6 — топологическая группа, Ф вЂ” дискретная нормальная подгруппз в 6, н — каноническое отображение группы 0 на О/Ф. Предположим, что на 6/Ж задана структура аналитического многообразия, согласованная со структурой топологической группы на 0(И. Тогда на О существует одна, и только одна, структура многообразия, такая, что и есть иммерсия; эта структура является обратным образом относительно и структуры многообразия на 6/!т".
Относительно этой структуры и этально, Π— группа Ли и 6/Тт' — факторгруппз Ли группы 6 по Н. Замечание. Пусть Н вЂ” вещественная или комплексная связная группа Ли, Й вЂ” ее универсальная накрывающая '), н — каноническое отображение из Й на Н. Говоря об Й как о группе Ли, мы всегда будем иметь в виду структуру, являющуюся обратным образом соответствующей структуры на Н относительно н. лу. Групускулы Опрнднлвнин 5. Групускулой Ли и) над К назглвается система (6, е, О, т), удовлетворяющая следующим условиям: (!) 6 — аналитическое многообразие над К; (й) е~О; (ПН) Π— аналитическое отображение из 6 в 6; ((у) т — аналитическое отображение некоторого открытого подмножества ь) многообразия 6 Х 6 в 0; ') См. Тор.
дао., сьар. Х1„в ожидании повелении этой главы см., например, Поитрнгии Л. С., Ненрерывные группы, 3-е издание, „Наука", М., !973, или НосьвсЫ!о С., ТЬе а!гнс!нге о! 1пе ягоира, Но!оеп-0ау, !965. ') В русской литературе правит термин „(аналитическаи) локальная группа Ли"; см., например, цитированную в предыдущем примечании книгу Л. С. Нонтригииа, стр. 290 — 291. — Прим. иерее.
ГЛ. $П, ГРУППЫ ЛИ (ч) для всякого бя 6 имеем (е, у) я И, (и, е) я (г, т(е, я) = =!п(д, е) =д; (ч() для всякого д я 6 имеем (д, О (д)) ен Я, (О (д), д) я ь), о! (у, О (д)) = и! (О (д), д) = е; (чи) если д, Ь, Ь вЂ” такие элементы из 6, что (у, Ь) ен ьг, (Ь, Ь) еи 11, (и (д, Ь), Ь) я ь), (д, т (Ь, Ь)) еи 11, . то Гп (т (д, Ь), Ь) = = и!(д, и! (Ь, Ь)). Говорят, что е есть единичный элемент групускулы. Часто пишут дЬ вместо т(д, Ь) и (допуская вольность в обозначениях) у ' вместо О(д). Группа Ли 6 есть групускула Ли при очевидном выборе е, О,п!. Пусть 6 — групускула Ли.
Имеем ее ' =е, т. е. е '=е. (8) Для всякого ден6 д = еу = ((д- !) д- !)д = (д- !) (у- ! д) = (д- !) е, т. е. (у-') '=а (О) Подмножество в 6, инвариантное относительно отображения й! у ', называется симметричным. Многообразие 6 с отмеченной точкой е, наделенное отображением д у ' и отображением (у, Ь) †: Ьд, есть групускула Ли 6", называемая противоположной к 6. Групускула Ли 6 называется коммутативной, если для любой пары (д, Ь) ен 6)(6, такой, что произведение дЬ определено, произведение Ьд также определено и равно дЬ. Пусть 6 — групускула Ли.
Множество пар (д, Ь)~6Х6, для которых уЬ определено, есть окрестность точки (е, е). С другой стороны, отображения (д, Ь) дЬ и у «д ' непрерывны. Стало быть, (дЬ)Ь=д(ЬЬ) для всех д, Ь, Ь, достаточно близких к е. Таким же образом (Ь 'у ') (уЬ) =Ь '(еЬ) =Ь 'Ь =в для у, Ь, достаточно близких к е, откуда, умножая справа на (вЬ), получаем (аЬ) '=Ь-'д-! (10) для д, Ь, достаточно близких к е. Птвдложвнив 20. Пусть 6 — групускула Ли и ден 6. Существуют открытая окрестность 6 элемента е и открытая окрестность )т элемента у, обладающие с.идующими свойствами: а) ид определено для всякого и еп6; б) од ' определено для всякого вен у'; в) отображения и «ид, о —: од ' суть взаимно обратные аналитические изоморфизмы из 6 на )т и из у' на У.
$ с ГРуппы ли Поскольку область определения произведения открыта в ОХО, существуют открытая окрестность У элемента е и открытая окрестность 11 элемента д со свойствами а) и б). Положим т! (и) = иа для и я У, 1)' (и) = од-1 для и я 'У'. У мен ь ш ив У и 1', можно предполагать, что (ид) д ' = и и (оп 1) й = и для и ан У и о ен )г. Тогда ч! и т!' инъективны. Снова уменьшив У, можно предположить, что ч)(У) ~ $~. Тогда ч)'()г) ~ У, а 11(У) есть прообраз окрестности У относительно т!' и, следовательно, открытая окрестность элемента д в !г.
Замена окрестности )г на т)(У) приводит, наконец, к случаю, когда ч! и ч!' суть взаимно обратные и аналитические биекцин. Ч.Т.Д. Пусть 6,, Ох — две групускулы Ли с единичными элементами еь е,. Говорят, что отображение ~ из О, в Ох является леорфизмом, если 1 удовлетворяет следующим условиям: * (1) 1 аналитично' (11) 1( ) =г„ (Ш) если д, Ь из 6, таковы, что произведение дй определено, то произведение 1(й)1(й) определено и равно 1(дй). Пусть д ен О,.
Поскольку уй-1 определено и равно е„ г (К)1(й ') определено и равно еа; следовательно, т. е. (1 1) Композиция двух морфизмов есть морфизм. Если !'1 6,— «Оа и 11 Оа — «О, суть взаимно обратные морфнзмы, то они являются изоморфизмами (вследствие как раз формулы (11)).
Пусть Оь Оа — две групускулы Ли, ! — отображение из О, в Оь удовлетворяющее приведенным выше условиям (й) и (111) и аналитическое в некоторой открытой окрестности элемента е,. С учетом предложения 20, как и в доказательстве предложения 4, показывается, что ! есть морфизм. Пусть (6, е, О, т) — групускула Ли, ьа — область определения отображения и. Пусть Н вЂ” подмногообразие в 6, содержащее е и устойчивое относительно О, Предположим, что множество ьл1 таких пар (х, у) я ь) !') (Н Х Н), что гп (л, у) е Н, открыто в Н;«, Н.
Тогда (Н, е, О, ! Н, лг! ь11) есть групускула Ли. Такая групускула Ли называется подгрупускулой Ли в 6. Каноническая инъекция из Н в 6 есть морфизм. Если 11 Ь-«6 — такой морфизм групускул Ли, что 1(1.) ~ Н, то 1: Ь-«Н является морфизмом групускул Ли. Предположим, что К имеет характеристику О, Заменим предположение, что Н есть подмногообразне и О, предположением, что 1т есть ГЛ. !!!.
ГРУППЫ ЛИ !з нвазиподмногообразис в С. Утверждение прсдидушсго абзаца остается справсдлнвмм (см. Мн. Са. рез., 5.8.5). Говорят тогда, что !1 есть нвазиподгрупускуда Ли в С. Еспи 6 — 'групускула Ли с единичным элементом е, то всякая открытая симметричная окрестность элемента е в 0 является подгрупускулой Лн в 6. (Это применяется, в частности, когда 0 есть группа Ли.) Пусть Н вЂ” подгрупускула Ли в 0; если Н вЂ” окрестность элемента е в 6, то Н открыта в 0 в силу предложения 20.
Очевидным образом определяется групускула Ли, являющаяся произведением конечного числа групускул Ли. Прндложинин 21. Пусть 6, Н вЂ” две групускулы Ли, ф — морфизм из 6 в Н. Следующие условия эквивалентны: (!)ф — этальный морфизм в точке е; (Е) существуют открытые подгрупускулы О', Н' в 6, Н, такие, что ф ~6' есть изоморфизм из 6' на Н'. Импликацня (й)=р(1) очевидна. Предположим, что <р — этальный морфизм в точке е. Существует такая открытая подгрупускула Ли 6, в 6, что ф(0,) открыто в Н и ф!О! есть изоморфизм многообразия 6, иа многообразие ф(6,). Далее, существует такая открытая подгрупускула Ли 6' в Оп что произведение в 0 двух элементов из 6' всегда определено и принадлежит О,. Если у, л' из 6' таковы, что уд' я 0', то ф (у) !р (д) = !р (дд) ан <р (6 ); если д, д' из 6' таковы, что иу'~0, — 6', то ф(д)ф(д')= =ф(кк') ~ !р(0!) — ф(6'). Стало быть, !р!О' есть изоморфизм групускулы Ли 6' на открытую подгрупускулу Ли ф(6') в Н. Если условия предположения 21 выполнены, говорят, что О и Н локально изоморфны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
