Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Тогда А" есть группа Г1Ь(Е) автоморфизмов пространства Е. Тем самым группа ОЬ (Е) канонически наделена структурой группы Ли над К. В частности, группа бЬ(п, К), наделенная структурой многообразия, индуцированной соответствующей структурой на М„(К), есть группа Ли. При и=1 мы видим, что мультнпликативная группа К* есть группа Ли относительно структуры многообразия, индуцированной соответствующей структурой на К, ГЛ. Л1. ГРУЛЛЫ ЛИ 234 3) Пусть 6 — группа Ли над К. Пусть К' есть К, или С, или ультраметрическое полное недискретное поле, и пусть а — изоморфизм нормированного поля К' на некоторое нормированное подполе поля К. Тогда группа 6, наделенная структурой К' многообразия, полученной сужением поля скаляров, есть группа Ли над К', про которую говорят, что она получается иэ группы Ли 6 сужением поля скаляров (поля К до поля К' с помощью а). Например, всякая комплексная группа Лн канонически наделяется структурой вещественной группы Лн.
Еще один пример: со всякой комплексной группой Ли связывается комплексная группа Ли, называемая сопряженной к 6; она получается из 6 при помощи автоморфизма г! —: 2 поля С. 2. Морфивмы групп Ли Оптвдвлвния 2. Пусть 6 и Н вЂ” группы Ли. Морфиэмом групп Ли иэ 6 в Н (или просто морфиэмом иэ 6 в Н, если это не приводит к недоразумению) называется отображение из 6 в Н, являющееся гомоморфиэмом групп и аналитическим отображением. Группа автоморфиэмов группы Ли 6 обозначается через Ап((6). Тождественное отображение группы 6 есть морфизм. Композиция двух морфизмов является морфизмом. Если Г: О-+Н и Г'! Н вЂ” ьО суть два взаимно обратных морфнзма, то 1 и суть изоморфизмы групп Ли. Примеры. 1) Пусть Π— группа Лн.
Для всякого хеи 6 отображение 1п1(х) есть автоморфизм группы Ли О. 2) Пусть 6 — группа Ли. Через ОУ обозначается группа„ противоположная группе 6, которая наделяется той же структурой многообразия, что и 6. Видно, что ОУ есть группа Ли (называемая группой Ли, противоположной группе 6) и что отображение д» д-! есть изоморфнзм группы Ли 6 на группу Ли ОУ. 3) Пусть 6 — группа Ли, Š— нормируемое полное пространство.
Линейным аналитическим представлением группы 6 в Е (или просто линейным представлением группы 6 в Е, если это не приводит к недоразумению) называется морфизм группы Ли О в группу Ли бЬ(Е), другими словами, такое аналитическое отображение и из 6 в ОЬ (Е), что п(кй') = п(И)п(И') для д, й' из 6. Предположим, что Е допускает конечный базис (е„е„..., е„) над К; пусть (е,', е*, ..., е"„) — дуальиый базис и р — гомоморфизм группы 6 в группу ОЬ(Е); тогда следующие условия эквивалентны: (1) р есть линейное аналитическое представление; (Н) каковы бы ни были хенЕ их'енЕ', функция д Р(р(д)х, х'~ на 6 является аналитической; ь ь гпуппы ли 235 '(((!) каковы бы ни были ! и (, функция у (р(у)е, е') на 0 является аналитической.
В самом деле, имплнкации (!) )ь((!) =р(((!) очевидны. С другой стороны, функции и-э(ие,, е) образуют систему координат на У (Е); стало быть, их ограничения иа О!.(Е) образуют систему координат на О!.(Е), откуда следует импликация (Н!) =>(!). Пусть 6 — вещественная группа Ли, Š— нормируемое полное вещественное пространство, р — гомоморфизм группы о в группу Оь(Е). Мы увидим в 5 8, теорема !, что если р непрерывно (коль скоро йь (Е) наделена топологией, определяемой нормой пространства .У (Е), то отображение р аналитично.
Необходимо, однако, принять во вниманне, что это определение непрерывности отлично от рассматриваемого в Интегр., гл, т'П(, З 2, определение 1 (Н) (упражнение !). 4) Пусть, 6 — вещественная группа Ли, Š— нормируемое полное комплексное пространство. Липепное аналитическое представление группы 6 в Е есть морфизм группы 6 в веществен ную группу Ли, лежащую ниже комплексной группы Ли О!.
(Е) Прадложннин 4. Пусть 0 и Н вЂ” группы Ли, !' — гомоморфизм группы О в группу Н. Для аналитичности гомоморфизма (' необходимо и достаточно, чтобы существовало такое открытое иепустое подмножество П в О, что ограничение ! (У аналитична. Сформулированное условие, очевидно, необходимо. Будем считать его выполненным. Для всякого хаен О имеем ((хах)= =((ха)('(х), каков бы ни был хин 0; стало быть, ограничение у (х У аналитична. Но множества вида хаУ при ха~ 6 образуют открытое покрытие пространства О.
Замечание. Если ( — иммерсия в точке е (соотв. субмерсия в е), то, очевидно, !' является иммерсией (соотв. субмерсией). 3. Подгруппы Ли ! Пусть 6 — группа Ли, Н вЂ” подгруппа в О, являющаяся в то же в~емя подмногообразнем в 6. Тогда отображение (х, у)- ху- из Н Р, Н в О аналитична и, следовательно, аналитична отображение (х, у) ху-' из Н КН в Н. (М~.
Св. рез., 5.8.5). Таким образом, множество Н, наделенное структурами группы и многообразия, индуцироваиными соответствующими структурами на 6, есть группа Ли. -Опркдкланин 3. Пусть Π— группа Ли. Говорят, что подмпосхество Н в 6 есть подгруппа Ли, если Н является подгруппой и подмногообразием в О. Открытая подгруппа в 0 является подгруппой Ли в О. В частности, если 0 — вещественная или комплексная группа Лн, ее компонента единицы есть подгруппа Ли.
ГЛ. 1и. ГРУППЫ ЛИ ззе Прздложянив 5. Пусть Π— группа Ли, Н вЂ” подгруппа Ли в 6. (1) Н замкнута в 6. (11) Каноническое вложение подгруппы Н в 6 есть морфизм групп Ли. (111) Пусть Š— группа Ли и 1 — отображение из Е в О, такое, что )(Е) с: Н. Для того чтобы Г было морфизмом из Е в Н, необходимо и достаточно, чтобы ~ было морфизмом из Е в 6. В силу Мн. Св. рез., 5.8.3, Н локально замкнута. Стало быть, Н замкнута (Общ. Гоп., 1969, гл. Ш, В 2, предложение 4). Утверждение (11) очевидно.
Утверждение (ш) вытекает из Мн. Св. ез., 5.8.5. Првдложвнив 6. Пусть Π— группа Лц, Н вЂ” подгруппа в О. Для того чтобы Н была подгруппой Ли в 6, необходимо и достаточно, чтобы существовали элемент Ьея Н и его открытая окрестность У в 6, такие, что Н ПУ есть подмногообразие в 6.
Условие, очевидно, необходимо. Предположим, что оно вы« полнено. Для всякого Ь' ея Н сдвиг у(Ь'Ь ) является автоморфизмом многообразия 6 и преобразует подмногообразие Н П У окрестности У в подмногообразие (Ь'Ь 'Н)()(Ь'Ь У) окрестности Ь'Ь У. Поскольку Ь'Ь Н=Н и Ь'Ь У есть открытая окрестность элемента Ь' в 6, мы видим, что всякий элемент из Н обладает такой открытой окрестностью У, что (г П Н является подмногообразнем в 6.
Стало быть, Н есть подмногообразие в О. Ч. Т. Д. Пусть 6 — группа Ли, Н вЂ” подгруппа Ли в 6. Если Š— подгруппа Ли в Н, то Š— подгруппа Ли в О в силу Мн. Св. рез., 5.8.6. Пусть М вЂ” такая подгруппа Ли в О, что М ~ Н. Тогда М есть подгруппа Ли в Н, ибо ее каноническое вложение в Н, очевидно, является иммерсией. Пусть Ь вЂ” замкнутое неднскретное подполе в К. Назовем Ь-подгруппой Ли в 6 подгруппу Лн Ь-группы Ли, лежащей ниже К-группы Ли 6. Замечание.
Заменив слово „подмногообразне" на „квазнподмногообразне" в определении 3, мы получим определение кзйзиподгрупа Ли в О. (Длн конечномерных групп О нх квазнподгруппы Лн суть не что иное, как подгруппы Лн.) Мредположвм, что К имеет характернстнку О, Предложение б останетсн справедливым с тем же доказательством, если намекать слово „подгруппа Лн" на „квазнподгруппа Лн н „подмногообразне" на „квазнподмногообразне". 4. Полупрямые произведения групп Ли Пусть à — конечное множество, (Ес)1, — семейство групп Ли. Структуры группы и многообразия на Е = Ц Е, согласованы, мат 4 % Ь ГРУППЫ ЛИ ВЗ7 н Ь тем самым наделяется структурой группы Ли.
Говорят, что Ь есть группа Ли, являющаяся произведением семейства групп Ли (Ь4), Пусть Ь и М вЂ” группы Ли, а — гомоморфизм из Л в группу автоморфизмов группы М. Пусть 5 — внешнее полупрямое произведение группы Е на М относительно а (А1д., свар. 1, р. 64, 4)е11ПШоп 2). ПРвдложвнив 7. Если отображение (т, 1)Р— ь а(() т из М)4', Е в М аналитична, то группа Е, наделенная структурой многообразия, являющейся произведением соответствующих структур на М и Ь, есть группа Ли. В самом деле, если 1, П лежат в Е,, а т, т' — в М, то (т, 1)(4п', 1') =тП' 'т' '=т(а(П' ')т' ')П' =(т(а(П' ')т' '), П' — '), откуда следует предложение. Если условия предложения 7 выполнены, говорят, что группа Ли 5 есть (внеи4нее) полупрямое произведение группы Ли Е на группу Ли М относительно а.
Ясно, что каноническое вложение группы Ь (соотв. М) в Е есть нзоморфизм группы Ли Е (соотв. М) на некоторую подгруппу Ли в Е, которую мы отождествляем с Е (соотв. М). Каноническое отображение из 5 на Е есть морфизм групп Ли. Обратно, пусть 6 — группа Ли, а 7., М вЂ” две подгруппы Ли, такие, что 6 является (алгебраическим) полупрямым произведением группы Ь на группу М (А1й., свар. 1, р. 65).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
