Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Через Ап((А) обозначается группа бинепрерывных автоморфизмов алгебры А. Всякая алгебра конечной размерности над К является нормируемой алгеброй относительно канонической топологии. Нормированной алгеброй над К называется алгебра А над К, наделенная такой нормой, что 1хуз(1хД у 1, каковы бы ни были х, у из А; алгебра А, наделенная топологией, определяемой втой нормой, есть нормируемая алгебра. Если А — нормируемая алгебра, на А существует норма, определяющая ее топологию и превращающая А в нормированную алгебру.
Если Π— группа, через ео, или просто е, обозначается единичный элемент в О. Для денО через у(д), Ь(у) и 1п1(у) обозначаются отображения й'ь-ьфу', ф'~ьу'к ' и у' «'ук у ' из О в О. Если 1" — отображение из О в множество Е, через 1 обозначается отображение уь-ь) (д ') из О в Е. $1. Группы Ли 1. Определение группы Ли Пусть Π— множество. Структура группы и структура аналитического К-миогообразия иа О называются согласованными, если выполнено следующее условие: (01) отображение (д, Ь) ~уй из ОКО в'О аналитична.
Гл. $И. ГРуппы ли Опнадвлвнив 1. Группой Ли над К называется множество О, наделенное структурой группы и структурой аналитического К-многообразия, причем эти структуры согласованы. Группа Ли над й (соотв. С, ч1р) называется вещественной (соотв. комплексной, р-адической) группой Ли. Пусть группа 6 наделена структурой аналитического много- образия.
Для элементов д, Ь, уо, И, из 6 справедлива формула уЬ-' =(у Ь-') Ь Йй.-'уйЬ.-.'Ь) ) Ь-' (1) Отсюда следует, что 6 есть группа Ли тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия: (О1,) для всякого до~О отображение и «дод из 6 в О аналитична; (О1,) для всякого до~ 6 отображение д «доддо ' из О в О аналитично в некоторой открытой окрестности элемента е; (01е) отображение (у, Ь) «-« уЬ из 6 Х О в О аналитично в некоторой открытой окрестности элемента (е, е). Пусть 6 — группа Ли.
Для всякого у~О отображения у(у) и б(д) суть автоморфизмы многообразия 6. Отсюда следует, что это многообразие чистое (Мн. Св. рез., 5.1.7). В частности, раз- мерность многообразия О в д равна б(пзО для всякого д еиО (напомним, что бппО есть целое число )О или + оо). Поскольку всякое аналитическое отображение непрерывно, группа Ли является топологической группой относительно топо- логии, лежащей ниже ее структуры многообразия.
Пусть 6 — множество. Структура топологической группы и структура аналитического К-многообразия на 6 называются согласован- ными, если структура группы и структура многообразия согла- сованы, а топология в О есть топология, лежащая ниже струк- туры многообразия. Лвммл 1. Пусть Π— группа Ли, 0 — открытая окрестность элемента е, Š— полное нормированное пространство, ц~; Ц вЂ” Е— карта многообразия 6. Существует такая окргстность ут" эле- мента е, содержащаяся в 6, что ~р~ Нт есть изомор4изм окрест- ности Я7 (наделенной правой равномерной структурой) на ее образ ~р(йт) (наделенный равномерной структурой, индуциро- ванной равномерной структурой пространства Е), Можно пРедположить, что Р (е) = О. ПУсть Ц' = ~р (6) н ф: 0' — П вЂ” отображение, обратное к ~р.
Пусть У вЂ” открытая симметричная окрестность элемента е, такая, что Уос: Ц, и положим У'=у(У). Определим отображения Оь Оо из У'Х У' в У'ХО' следующим образом: О,(х. у) =(х, ФИ(х)ф(у) ')). Оо(х, у) =(х, ~р(ф(у) ф(х))). ч $ ь ГРуппы ли 231 Легко проверить, что Ог(8, (х, у)) = 8, (8 (х, у)) = (х, у) для х, у, достаточно близких к О. С другой стороны, 8, и Ог аналитичны и, следовательно, строго дифференцируемы в (О, О). Поэтому (Мн. Св.
рез., 1.2.2) существуют окрестность )У"' точки 0 в У"' и константы а > О, Ь > О, такие, что а (Цх, — хг(!+ Цф (ф(х,) ф (у,) ) — ф (ф(хг)ср(уг) ) Ц) ( (~Цх, — хзЦ+Цу! — угЦ( (Ь (Их! — хгЦ+Цф(зу(х!) ф(у!) ') — ф(ф(хг)ф(уг) ')Ц), каковы бы ни были х„х,, у„уг из Я7'. Полагая х, =х,= угв получаем аф Ц (чР (х!) ф (у!) ') Ц (Ц х! — у! (! ( Ь Ц ф (!Р (х!) сР (у!) ') Ц.
(2) Для Ь > 0 обозначим через Фь множество таких пар (х, у) ен ен И7' Х ЯГ', что Ц х — у Ц(Ь. Множества )чь образуют фундаментальную систему окружений в )ЦГ'. Положим Я7=ф(ЦУ'). Пусть Мь — множество пар (и, о) ен Ф'Х ЯГ, таких, что Цф(ио ')Ц(Ь. Множества Мь образуют фундаментальную систему окружений в Я7 относительно правой равномерной структуры. Поэтому соотношение (2) показывает, что )Рь (ф Хф)(М,— ь), (фХф)(Мь) с: )чьь', следовательно, ))Г обладает требуемым свойством.
Пгздложинив 1. Группа Ли пвляется метризуемой и полной топологической группой. Поскольку е обладает открытой окрестностью, гомеоморфной открытому шару некоторого нормированного пространства, он обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, пересечение которых есть (е). Следовательно, 6 метризуема (Оби!.
топ., 1969, гл. 111„$1, следствие предложения 2, и Оби(. Топ., гл. 1Х, 5 3, предложение 1). По лемме 1 существует окрестность элемента е, полная относительно правой равномерной структуры, н потому группа 6 полная (Оби!. топ., 1969, гл. 1и, $3, предложение 4). Пввдложнние 2. Пусть 6 — группа Ли. (!) Если К= К или С, то 6 локально сенана. (й) Если К отлично от 1Ц и С, то 6 раздроблена (Оби!.
топ., гл. 1Х, $6 определение 5). (!1!) Предположим, что К локально компактно. Группа 6 локально компактна тогда и только тогда, когда 6 имеет конечную размерность. 232 ГЛ. 1П. ГРУППЫ ЛИ (1ч) Если 6 порождена подпространством, топология которого допускает счетный базис, то топология группы 6 допускает счетный базис. Пусть У вЂ” некоторая окрестность элемента е. Существует открытая окрестность У, элемента е, содержащаяся в У и гомеоморфная открытому шару нормированного пространства Е над К. Если К = !! или С, то У, связна, что доказывает (1).
Предположим, что поле К ультраметрическое. Существует окрестность Уг элемента е, замкнутая в 6 и такая, что Уг ~ УР Далее, существует окрестность У, элемента е, такая, что Уз с: У„ н такая, что Уз открыта и замкнута в УР Тогда Уз замкнута в У, и, стало быть, в 6 и открыта в У„а значит, в группе Ли 6. Это доказывает утверждение (й). Для локальной компактности группы 6 необходимо и достаточно, чтобы Е было локально компактно; если К локально компактно, это сводится к тому, чтобы Е имело конечную размерность (Топ.
вект. простр., гл.!, $2, теорема 3), откуда следует (й1). Предположим, что 6 порождена подмножеством )т, и положим ЯГ=)т() )т '; получаем 6 = От() Пт'() Я7'Ц ...; если в )т существует счетное всюду плотное множество, мй видим, что такое же множество существует и в 6, и, поскольку 6 метрнзуема (предложение 1), топология группы 6 допускает счетный базис. Следствие. Если К =а( или С, а 6 связна и конечномврна, то 6 локально связна, локально компактна и ее топология допускает счетный базис. Лемма 2. Пусть Х вЂ” многообразие класса С', е — некоторый элемент из Х, У и )т — его открытые окрестности и т — отображение класса С' из УХУ в Х, удовлетворяющее следующим условиям: а) т(г, х) = т(х, е) =х для всякого хан У; б) )т с: У, т ()т Х )т) с: У и т (т (х, у), г) = т (х, т (у, г)), каковы бы ни были х, у, г в )т.
Тогда существуют открытая окрестность В' элемента е в )т и автоморфизм О многообразия Мт, такие, что 0 (е) = г, 0 (6 (х)) = х и т(х, 0(х)) =т(6(х), х) =е для всякого хан%'. Имеем т(е, у) = у для всех у ~ У, следовательно, по теореме о неявной функции существуют открытая окрестность 971 элемента е в )т и отображение О, класса С' из В"1 в )т, такие, что 6, (е) =е, т(х, 6,(х))= в для всех хе= В'1. Аналогично сушествуют открытая окрестность Ф', элемента е в )т и отображение Ог класса С" из йУ1 в )т, такие, что 0,(е) = е, т(01(х), х) = в для всех х ~ )У',.
Для х ен ))Г1 П )(тг 6, (х) = т (6, (х), е) = т(0 (х), т (х, 6, (х))) = = т (т (Ое (х), х), 6, (х)) = т (е, 6, (х)) = О, (х), $ ь ГРуппы ли Пусть 8(х) — общее значение отображений О, и 8, в точке х еэ 1т, () 11г,. Пусть )Р' — множество таких х е йГ, () Иу,, что 8 (х) ~ Мт, () Я7э Множество %7 открыто. Для х ~ (т' имеем 8(8(х)) =гп(пт(х, 8(х)), 8(8(х))) =гп(х, гп(8(х), 8(8(х)))) = =ш(х, е) =х; стало быть, 8(х)~Ж. Мы видим, что О~йт определяет автоморфизм многообразия Г.
Пнидложинин 3. Пусть Х вЂ” аналитическое многообразие и гп — ассоциативный аналитический закон композиции на Х, допускающий единичный элемент. Множество 6 обратимых элементов из Х открыто в Х, и О есть группа Ли относительно закона композиции гп~(6 Р', 6) и структуры многообразия, индуцированной соответствующей структурой на Х. Согласно лемме 2, 6 есть окрестность единичного элемента.
Для всякого д~ 6 отображение х ~гп(д, х) есть автоморфизм многообразия Х. Стало быть, образ множества О при этом отображении есть некоторая окрестность элемента д, очевидно, содержащаяся в 6. Поэтому 6 открыта в Х. Ясно, что условия (ОЬ,) и (ПЬ,) выполнены. Условие (СтЬ,) выполнено в силу леммы 2. Примеры групп Ли 1) Пусть Š— нормируемое полное пространство иад К, Отображение (х, у) ь х — у из Е к', Е в Е линейно, непрерывно н, стало быть, аналитична. Поэтому пространство Е, наделенное своими структурами аддитивной группы и аналитического многообразия, есть группа Ли. В частности, К есть группа Ли. 2) Пусть А — ассоциативная нормируемая полная алгебра с единицей над К.
Закон умножения (х, у) ху из А к', А в А билинеен, непрерывен и, следовательно, аналитичен. Предложение 3 показывает, что группа А* обратимых элементов алгебры А открыта в А (это следует также из Тор. ййп., саар 1Х, 8 3, ргорозйюп 13) и что А' есть группа Ли. Например, пусть Š— нормируемое полное пространство над К, и пусть А=2'(Е) (Общ. топ., гл. 1Х„5 3, предложение 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
