Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 48
Текст из файла (страница 48)
о/ Ми/й„(, .Е!/П (1853), р. 547 — бЕХ УПРАЖНЕНИЯ 21Т К-модуль 11(l. 1); в случае когда К Х, показать, что таким образом получается изоморфиам )[1(К К) на 1/(1.1) (непосредственно определить обратный гомоморфизм). д) Пусть (г ) л — семейство элементов из К порождающих К как иормальиую подгруппу в Р.
Показать, что О(га) порождают К Щ-модуль 1/(1. 1). е) Матрица ()1г(га))зых аыа определяет гомоморфнзм К [ 6 [ И ! К [ 0 [ ! х левых К [О[-модулей. Показатгь что последовательность К[0[!"! — ь К(6)! ! — ьК [0[ — ь К-ьО точна,прнчемб — гомоморфизм (иг)-ь Я и (у(х) — 1). аых (Преобразовать точную последовательность ( ° ) прн помоще уже решеи- иых задач в), г), д) ').) /Т ь 4) Дли любого лен 5) обозначим через 1ь ) миогочлеи Т(Т вЂ” 1) .. ° ... (Т вЂ” и+ 1)гл!. Если [(Т) — некоторый миогочлен, то через ог обозначим 1Ть 1Т\ миогочлен )(Т+!) — [(Т). Понятие, что Ь~ )=51 О н Ь| ) ~61 Т ( ), селил~~1. а) Пусть [ев 14 [Т[.
Показать эквивалентность следующих свойств: (Ц [ отображает Х в себя; (й) [ является лииейиой комбвиацией с иоэффициеитами из Х много- членов ( ); (ш) 1(О) щ Х и о[ отображает Х в себя. (Вести доказательство иидук- цией по ден (!), замечая при этом, что бей (Ь[) — бей(!) — 1, если дед(!) Ф О.) Миогочлеи [, обладающий перечнслеииымн выше свойствами, иазываетси биломиальлым миогочггиом.
б) Пусть р — простое число и [ — бииомиальиый миогочлеи. Показать, что [ отображает кольцо Хр целых р-адических чисел в себя (использовать непрерывность [ н плотиость Х в Х ). в) Пусть Р— некоторое множество простых чисел, 3 — множество -! Р Р-чисел ($4, упражнение 14) и хг — — ЗР 3. (показат!ь что если 1 — бино- миальиый миогочлеи. то [ отображает Е в себя (применить б) к простым числам, ие входящим в Р.) 5) Пусть Г = Г (Х) — группа Магнуса аад Х и (Г„) — ее естественная фильтрация (и' 2).
Показать, что градуированная алгебра Ли, соответствующая этой фильтрации, изоморфиа подалгебре Лн ® А"(Х) алгебры А (Х). Если а~! Х Ф Я, то эта алгебра не порождается элемеитами степеии 1; вывести отсюда, что (Г„) не является ийживм центральным рядом группы Г.
Ч[ 6) Пусть Р— некоторое множество простых чисел, 3 — множество Р Р-чисел (6 4, упражнение 14), и пусть ТР ХР!Х, ') Относительно деталей этого улражиеиия см. ОгцелЬегй К. Ю., Еес!пге Хо!ез 1л Ма(6., и' 143, свар. 3, а также Зч!ал Е., 1, о[ А(ягйга, ХП (!969), 585 — 601. ГЛ. !Е СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ '218 а) Предположим, что для любого зщ Яр отображение й ~ — ьзй является 'биекцней К на себя; это эквивалентно тому, что К можно наделить струк'турой Хр-алгебры. В обозначениях упражнения 5 показатгч что для любого зги 8 отображение аь-ь а' группы Г в себя биективно, причем то же самое верно 'и длн любой факторгруппы Г/Г прн п)1. Есля /ем2 н аеаГ (соотв.
» ага Г/Г„), то определим а каи з упражнении !8 нз $4; записывая а ~в форме !+ а. где а ап А~ (Х), показать, что а'=(!+а)г=~~~ ( ) ап заметить, что коэффициенты гх л! принадлежат ер, см, упражнение 4.) ( г /х чп) б) Предположим теперь, что К=В . Пусть с — целое число »1. Отождестзим группу Рс= Р/ѻРс подгруппой Г/Г„используя гомоморфизм, мндуцнруемый у при факторизации (обозначения теоремы 2). Группа Г/Тс является Р-полной без Р-кручения и класса нильпотентностн, не превосходящего с — !.
Пусть Рср есть Р-радикал Рс в Г/Г 5 4, упражнение 14). 4 — инъекция Р' в Рс, Пара (1, Ргр) является Р-пополнением Рс ($4, упражнение 15). Вывести отсюда, что любая нильпогангния группа обладает Р-пополнением (заметить, что любая нильпотеитная группа класса < с является факторгруппой группы Р' при подходящем Х, н использовать часть б) упражнения !5 из $4). з) Если »~с, то пусть Рр' „— пересеченяе Рс с Г„/Г; если п)с.
положим Рр „— — (с), Показать, что Рр' является Р-радниалом С"Рс в Г/Г . Фильтрация (Рср „) является целочисленной центральной фильтрацией на Р';! аусть йг(РР~) — градуированная алгебра, соответствующая этой фильтрации. Показать, что если и < с, то образ йг„(Ррс),в дг„(Г) = А» (Х) равен ор'. Е" (Х) Е" (Х).
Вывести. отсюда, что алгебра Лн дг(Рр) порождаетсп Р своими элементами степени 1, так что Рср „С»(Рс) длЯ любого и 454, упражнение !). Показать, что группа Рср порождается элементамн л /з 3/з для всех кгпХ. зев В (заметить, что образы этих элементов в пг, (Рр) щяр ! порождают группу йг~(Рср), н применить следствие 3 предложения 8 нз А!у., сЬар. 1, р. 70).
г) Пусть Н вЂ” семейство Холла над Х 52, и'!О) я Н(с) — подмножество в Н, состоящее из элементов длины < с. Лля любого ты Н(с) обозначим через ~рс(т) образ в Р' коммутатора ~р(т), определенного элементом т (см. и'4, замечание), Показать, что для любого ы епРР существует единственный элемент а из л~р !с!1, такой, что - П ф(т)"'. тс и!с! (Использовать характериэацню йг (Рср), данную пыже.) 219' УПРАЖНЕНИЯ 7) Сохраним обозначения упражнения б.
а) Пусть 6 — инльпотеитиая группа класса ( с н (~', 6) есть Р-пополнение 6. Пусть р: Рс-» 6 — сюрьективный гомоморфизм (такой гомоморфизм существует, если Х выбрано надлежащям образом) и р — соответствующий гомоморфнзм Рс в 6 (э 4, упражнение !Б). Гомоморфизм р сюръектнзен и отображает С"Рс, = Рс, „на С"6. Ппказатгь что С"6 есть Р-пополнение 7(С 6) в 6 и что алгебра гуи йт (6) совладает с Х ф йт(6). б) Вывести отсюда, что группа 6 является Р-полной и не имеет Р-круче-. ния тогда и только тогда, когда этими свойствами обладает С"6/Сп ь 6.
л+! $8) Предположям, что К Х, а Х конечно. Для любого целого»)0' обозначим через (е» ) некоторый базис в А»(Х). а) Пусть (в„)„— последовательность элементов нз Р. Обозначим через в (л) коэффициент прн е» в разложении компоненты степени )г ». а элемента д (вп) щ А (Х). Тогда д(в ) ~ ~ в (л) е„для любого л емХ. »,а Говорят, что последовательность (вп) типовая, если для любой пары (», ар функция в» '. и»-» в» а (и) является биномиальнмм многочгвном степени (»; см. упражнение 4. Это условие не завясит от выбора базиса (е )" »,а Показать, что оно эквивалентно существованию последовательности (а, ) »юю элементов из Ац (Х), такой, что ю (а») )» для любого» и » у(в„) Ч~~~ п»а для любого и щ Х.
ь — ч б) Показать, что если (в„) н (в„) — две типовые последовательностм то и последовательности (в„) и (в„в„) типовые. в) Пусть в — элемент ѻРдля некоторого»)1 н ) — биномнальныВ миогочлеи степени «(». Показать, что (в! 1Ю) — типовая последовательность В частности, если г ем Р, то последовательность (г") степеней элемента и. янляется г-типовой.
г) Пусть (в„) — некоторая последовательность элементов из Р. Показать. что (в„) — типовая последовательность тогда и только тогда, когда существуют ус. Уь ..., Уп, ... в Р, такие, что у сн Сер для любого 1~1 н для любых л ем Х и» ~ 1. (Определить элементы у исходя из (в„) н полагаю последовательно л О, 1, .... Например, вс —— ус, в~ Усу» ° ° д) Пусть 77 — семейство Холла над Х н (в„) — некоторая последовательность элементов нз Р. Пусть (п(пь л)) и — множество целых чисел„ и л. пюх таких, что в„— П в(ю)~~в п~щоб Сер мюп для любого Ь~ид и любого с~! (см.
и'4, замечание). Показать, что (в„) — типовая тогда н только тогда, когда длн любого ю щ О функцим гл. и, своводныв длгпвры ли 220 л ь-з- п(т,в) является бнномиальным многочленом степеин м,((т), где 1(т) — длина т '). е) Последовательность (ви) называется 1-типовой если соответствующие функции в ивляются биномнальными миогочленами степени ~ й — 1. а,а Показать, что если (вэ) — 1-тивовая последовательность, то можно найти у зп С +~Р дли любых 1 О, 1, ..., такие, что в у у", ...
уа~'э~тобсз+'Р для любых азп Х и й ~ 1. 'Я 9) Пусть Х вЂ” двуэлемеитное множество (х, у). а) Показать, что существует последовательность вз, вз, ... элементов яз Р, где в зп С~Р длн любого й такая, что (аЧ (а'1 для любых втй и-гш.-1. (Применить упражнение 8 г) к последовательности к "(ку)".) Показатгч что вз у '(у-', к-')у зш(к, у) той Сэр. б) Пусть 6 — нильпотеитная группа класса ~с н к, у — пронэвольиые элементы из 6.
Вывести из предыдущего следующую формулу (формула Холла): с (л ') (ху)л кяуяцв (к у)ч ~ l ( з в) Пусть р — простое число. Показать, что существуют и сн С~Р (2я,(~р — 1) н в тСяр, такие, что (ху)" = хгуаизэ ... из,ш. (Использовать а), замечая, что ~ .
) делится на р, если 1 ч. 1( р.) Пусть /р~ в — образ в в дг (Р) Ьз(Х) и в — образ ш в Ц (Х). Показать, что х з "а юг=Ар(х, у); см. гл. 1, $1, упражнение 19.) (Использовать вложение у группы Р в А(Х) и сравнить компоненты степени р элементов у((ху)г) н й(хзуги)' ... из ~в). Первая равна (х+у)а, а вторая сравнима той р с ха+ уз+ вв что и требовалось.) Показать, что существуют а т С'Р и ш' зм Сгр, такие, что (хуа)р клуню'. (Испольэовать приведенную выше формулу, которая дает (ху)з.) Вывести отсюда, что р-е степени элементов в инльпотентиой группе класса р составляют подгруппу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
