Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 44
Текст из файла (страница 44)
в) Обратно, показать, что любой групповой закон формальной группы пад К от к и у может быть получен только что описанным способом единственным образом с точностью до изоморфизма. г) Если К есть 4)-алгебра, применить только что полученные результаты м обертывающей биалгебре алгебры Ли О, обладающей конечным базисом ыад К.
Вывести отсюда существование (и единственность с точностью до изоморфизма) группового закона формальной группы. алгеброй Ли которой является й. д) Найти в явном виде биалгебру, соответствующую групповому закону однопарзметрнческой формальной группы 1(х, у) х + у (соотв. 1(к, у) = х+ у+ ху). 1( 12) Предположим, что К вЂ” поле характеристики р > О. а) Пусть й — произвольная р-алгебра Ли (гл.
1, э 2, упражнение 20), н пусть 0 — ее ограниченная универсальная обертывающая алгебра (гл. 1, $2, упражнение 6). Показать, что существует, и притом единственная, структура биалгебры иа У, совместимая со структурой алгебры и такая, что все элемеяты иэ й относительно этой структуры примитивны. Показать, что (г кокоммутативна н что Р(О) =у. б) Если н — целое числа ) О, то через У обозначим векторное подаространство в (1, порожденное произведениями х, ... х„, где к еп й дли любого 1.
Показать, что (У„)„~о в фильтрация, совместниая со структурой биалгебры на У. в) Пусть Š— биалгебра и й = Р (Е) — алгебра Ли ее примитивных элементов. Отображение к ь-ь »Р оставляет на месте й и наделяет й структурой р-алгебры Ли. Показать, что каноническое вложение 6-ь Е продолжается единственным способом до морфизма биалгебр (1-ьЕ и что этот морфизм инъективен (использовать, что если (х;) ы — совершенно упорядоченный базис и й, то одночлены Цк г (О к';л; ( р) образуют базис е (см.
гам же), и рассуждаты как и при доказательстве леммы 2). 1) Пусть у — свободная алгебра Ли со свободными образуюп!имн (хь ..., х„, ...). Обозначим через йэ подалгебру в й, порожденную элементами (кь ..., х„), и через Ьк — наименьший кдеал в й„, содержащий хл. ') В этом унражнеиии предполагается, что К вЂ” поле, но ничего ие шеияется, если отказаться от этого предположения. гл. и.
своводнык длгииры ли в) Показать, что бл — подмодуль в у„„порожденный элементами (аб(Х1 )л... лаб(Х1 ))Х, Гдс в~О Н ге <а дпа ЛЮбОГО й. б) Показать, что йл ул-1(])йщ вывести отсюда. что у является прямой суммой йл при а~1. в) Используе а) в б), покаэатгл что К-модульу порождается элементамв [х,, [х~, ..., [хе~, х1Д ... Д, где й ж 0 н гав, та, если й < й $2) Пусть Х счетное не менее чем двузлементное множество, и пусть () — множество подмножеств в М (Х), являющихся семействами Холла (см.
определение 2). Показать, что Сагу ЕЗ 2"', 3) Пусть Х вЂ” совершенно упоридоченное множество. Показать, что существует семейство Холла над Х, такое, что НДМэ(Х) состоит нэ произведений г(ух), где у( х, у<а, а Н()М'(Х) состоит нэ нронзведений ю(г(ух)). где ю~г~ву, у <х, н иронэведений (аЬ)(сб), где а(Ь, с(Ф н если а<с,то а си Ь(й. 4) а) Показать, что алгебра Лв, заданная в терминах образующих в определяющих соотношений следующим обрезом: (х, у; [х, [х, уЦ=[у,[х, уЦ=О), обладает базисом (х, у, [х, уЦ. Представить ее матрицами. б) Те же вопросы относительно алгебры Лн, заданной так: (х, у; [х, [х, уЦ вЂ” 2х=[у, [х, уЦ+2у 0). в) Показать, что алгебра Лн (х,у,г;[х,у] — х [у,г] — у [г,х] — г О) является нулевой.
б) Пусть у — свободная алгебра Ли н т — идеал в у. Предположим, что т [у, т]. Показать, что т = (О] (испольэовать равенство П УГлу [О)). л)е 6) Пусть Š— некоторый модуль. Пусть МŠ— свободная алгебра молуля Е (А)у., суар. 1П, р. 131, ехегс. 13). Напомням, что МЕ= ® Ел, где л)е Е,=Е, Ел — — 9 Ес®Ес, если а~)2, Р+е л ЕР п нчем структура алгебры на МЕ задается каноническими отображениями л З Ет ь Ел+ т ° а) Пусть у — наименьший двусторонний идеал в МЕ, содержащий элементы вида хх н (ху) г+ (уг) х+(гх)у, где х, у, г лежат в Е.
Положим СЕ МЕ)Л Показать, что У вЂ” граауиромнный идеал в МЕ; получить отсюда градунровку (ЕлЕ)л)~ алгебры ЕЕ б) Показать, что ЕŠ— алгебра Ли, она называется свободной алгеброй Ли модуля Е. Показать, что для любой алгебры Ли у н для любого линейного отображения Е Еьу существует единственный гомоморфвэм алгебр Лв Р: ЕЕ -ь у, продолжающий [. в) Определить иэоморфяэмы Е-ьЕ'Е и деЕ-ьЕэЕ. Показать. что Е'Е совпадает с фактормодулем Е9 дэЕ по подмодулю, порожденному злементамн е9(у Л г) + у Я(г Л х)+гЭ(х Л у) для любых х, у, г из Е. упрджнинип г) Показать, что если Š— свободный модуль с базвсом Х, то АЕ совпадает со свободной алгеброй Ли С (Х), определенной в и'2. д) Показать, что каноническое отображение Е в универсальную обертывающую алгебру (/ЦЕ) алгебры АЕ продолжаетсн до изоморфизма тензораой алгебры ТЕ на (/(ЬЕ). е) Пусть и- линейное отображение д'Е в Т'Е, такое, что о (х /1 9) х ® у — у ® х.
Построить модуль Е, для которого и не щгьектнвно. Вывести отсюда, что для этого модуля каноническое отображение ЕЕ в (/(ЬЕ) ве ииъективно (сравнить с упражнением 9 из $2 гл. 1). 7) Предположим, что К вЂ” поле. Пусть 1 — свободная алгебра Лн над множеством (х!)! и н пусть М вЂ” некоторый 1-модуль. а) Показать, что Н'(1, М) 0; см, гл. 1, $3, упражнение 12. (Использовать следствие 2 предложения 1, а также пункт (!) цнтнроваввого упражнения:).
б) Показать, что зля любого семейства (пг!)! ! элементов М существует коцикл йа 1-ьМ степени 1, удовлетворяющий условию !р(х!) т!, и что такой коцикл единствев. Получвть отсюда точную последовательность 0-ь Нз (1, М) -ь М -ь М! -ь Н' (1, М) -+ О. Если / конечно и М вЂ” модуль конечного ранга над К, то гйН' (1, М) — гй Н'(1, М) (п — !) гйМ, где и — мощность У. 8) Предположим, что К вЂ” поле. Пусть ! — алгебра Ли, свободная над семейством (х!)! и пусть т — идеал 1, содержащийся в [1, 1], и 9=1/В обозначим через х; образы х! в 9.
Доказать эквивалентность следующих свойств: Г !) 9 свободная алгебра Лн; И) 9 свободная иад (х;) (т, е. т (0]); (ПЛ) для любого 9-модуля выполняется Н' (П, М) = [0); (!т) если 9 действует на К тривиально, то Н'(р. К) (О). (имплнкации (й) =]> (!) н (!П) =р (!т) очевидны, а (!) =ф (и!) следует из упражнения 7. Для того чтобы доказать, что (!т) =]г (П), достаточро показать, что г [1, г], см. упражнение 5; если зто не так, выбрать гиперплоскость [) идеала г, содержащую [1, т], н заметить. что расширение т/9-ь 1/9-ь 1/т = 9 существенно (не расщепляется).) $9) Пусть 9 = ® йа — градунрованнаи алгебра Лв.
Показать, что если л>! — градуированная подалгебра в 9, такая, что р 9+[9, 9], то 9 9. оказать, что если (х!) — семейство однородных элементов нз 9, то (х!)— семейство, порождающее 9, тогда н только тогда, когда образы х! в 9/[9, 9) порождают 9/[9, 9] Показать, что если К вЂ” поле, на котором 9 действует трввнально, и если Н'(9, К) (0), то семейство (х!) является семейством свободных образующих тогда и только тогда, когда образы х! в 9/[9, 9] составляют базис этого векторного пространства. (Использовать упражнение 8.) ') 10) Пусть 1 — свобоцная алгебра Ли над множеством нз и элементов и и — ее сюрьективный эвдоморфизм.
Показать, что и — нзоморфизм. (Положить !) Если алгебра й не градуированная, то неизвестно, влечет ли за собой условие Нг(9. М) (0) дла шобого 9-модуля М" свойство алгебры Ли 9 быть свободной. гл. и. своводные ддгевры ли йт" (1) $'"1/Жз+'! и обозначить через йт" (и) эндоморфнзм бг" (Ц, индуцируемый эндоморфизмом и; заметить, что йгя(и) сюръективен, так как иг" (1) — свободный К-модуль конечного ранга, и вывести отсюда, что игл(и) биективен, а затем, что ядро и содержится в П э" 1, равном нулю.) л Показать. что если (уь ..., ут) — система образующих алгебры 1, то т ) л, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда (у,, у ) — система свободных образующих.
$ 11) Пусть У и 2 — два непересекающихся множества (причем У совершенно упорядоченно), Х= У0Х и1 1. (Х). Пусть а, — подмодуль в 1, порожденный Х и «1, 1«; он ивляется двусторонним идеалом алгебры Ли 1. Построим в явном виде систему свободных образующих для а . Пусть М вЂ” множество функций на У с конечным носителем н иатуральнымн значениями. Если темМ, то через От обоаиачим эидоморфвзм алгебры 1, задаваемой формулой Е - П(а"у)"!"! причем произведение берется в заданном на множестве У порядке. Обозна. чим через Ж подмножество в У ХМ, состоящее из пар (и. т), таких, что существует у ш У, яди которого у>и и т(у) >!.
Показать, что элементы От(и) при (и, т) за 6 и От(я) при (г, т) ем Я ХМ образуют систему свободных образующих алгебры Ли а . (Свести задачу к случаю конечного У и рассужцать индукцней по Сага(У). Использовать следствие предложения !О, примененное к наибольшему злементу у множества У, и применить предположение индукции к У вЂ” (у).) !2) Пусть Х «х, у) — двуэлементиое множество. Показать, что производная алгебра алгебры В(Х) свободна, причем системой ее свободныхобрааующих является система элементов вида ((абу) (адх) )(у) для р >1, а)О.
(Использовать упражнение П.) 1«13) (В этом упражкении предполагается, что любой проективный модуль над К свободен; это, например, верно, когда К вЂ” кольцо главных ндеалов,) ОР Пусть 1= ~ 1„— градуированная свободнаи алгебра Ли, обладающая эдм системой свободных образующих, состоящей из однородных элементов, и р — градуированная подалгебра в 1, являющаяся прямым слагаемым 1 как модуля. а) Для любого ! ~ О пусть 1!'! — градуироваиная подалгебра в 1, такая, что 11~ ! 1)р есин 1~ й 1!!1= 1р если 1>д Индукцией по и доказать существование системы свободных образующих ВЫ! подалгебпы 1!Г1, состоящей из однородных элементов н такой, что элементы из ВЦ ! и из Вц! степеней С1 — 1 совпадают. (Предположим, что В" ~! построена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
