Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда: 1) 8 открыто в 0 Х О и пв аналитична; 2) хенО влечет за собой (О, х)~6, (х, 0) ЕЕО и пв(0, х)= = пв(х, 0) = х; 3) х ~ О влечет за собой — х ег О, (х, — х) ен й, ( — х, х) ен й и лв(х, — х) =и( — х, х) =0; 4) пусть х, у, г — элементы О, такие, что (х, у) ее 6, (и (х, у), г) е 6, (у, г) я 6 и (х, пв (у, г)) ее 9. Тогда пв (пв (х, у), г) = = ов(х, лв(у, г)).
"Иначе говоря (гл. Ш, $1), если положить — х= о(х), то четверка' (О, О, а, пв) является групускулой Ли над К. и 192 гл. и. своводиые ьлгвв ы ли б, Эиспоненциильное отображение в полных нормированных ассоциативных алгебрах В этом пункте А — полная нормированная ассоциативная алгебра с единицей (Оби(. топ., гл. 1Х, $3, п' 7). Поэтому (!ху!!~(11хИ у !1 для любых х, у из А, Пусть ! — конечное множество и РЯ; А) — векторное пространство формальных степенных рядов с непрерывными членами на А' со значениями в А (Мн, Св. рез., приложение, и'5), наделенное структурой алгебры по правилу /, д = т ~ (/, й) для любых /, й из Р(А', А), где пн А к', А-ьА обозначает умножение в А. Рассуждая как в и'1 и используя предложение 1 из п' 1 $5, можно определить непрерывный гомоморфизм алгебр с единицей и ~й из А(У) в Р(А', А), отображая переменную с индексом 1 на ргб этот гомоморфизм продолжает гомоморфизм алгебры Ли Е (1) в Р (А', А), определенный в и' 1.
Если и = ~ и„, где и, я А" (/) для любого ч еи )Ц', то й = ~ й, где й, — полиномнальное отображение Щ, ~ — ь и„((1 )). Пусть и = (и!) — конечное семейство элементов А(/), о ~ А (Х) и в = о о и (9 5, п' 1). Тогда (сои) =оси. (18) Это следует, из продолжения по непрерывности формулы (2) из $5, и' 1, и кн. Мн. Св.
рез., приложение, п'6. Положим, в частности, /=(У), отождествим А и А и рас!а! смотрим образы е и 1 рядов е(0) = Х У"/и! и 1(У) л~! = ~ ( — 1)" У"/па Р(А; А). Имеем 1!б"!!~(1, так как 11х,...х„!!~ ю~! (~!!х, 11... 11х„!! для любых хь ..., х„из А. Следовательно, радиус абсолютной сходимости ряда е (соотв. 1) бесконечен (соотв. ) 1).
Обозначим через ед (соотв. 1г) аналитическое отображение А в А (соотв. В в А, где  — открытый единичный шар в А), определенное сходящимся радоме (соотв.1), и положим ехрл(х) = 1 + ел (х) (для любого х еи А) и 1опл (х) = 1„(х — 1) (для любого х еи А, !!х — 1!!(1). Тогда ехРлх= ~Х~ — (х ~ А), (19) и~0 ~- ~ (х — 1)" 1одлх = ~~> ( — 1)" (х.ен А, !1х — 1!1(1). (20) ю~! У $8. УЛЬТРАМЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 1ВЗ Так как (ео 1)Щ =(1че)(0) =11 (см, $6, и'1), то, согласно (18), еч1 =1 че=!6А.
Следовательно (Мн. Се. рез., 3.1.9), ехрл(1опл(х)) =х (х~ А, !!х — ! !! < 1), (2!) 1опл(ехрл(х)) =х (хан А, !!х!1< 1оп2), (22) ибо если !! х !! < 1оп 2, то !! ехрл (х) — 1 !! ~ (ехр !! х !! — 1 < 1. Рассмотрим, наконец, алгебру А как полную нормированную алгебру Ли. Имеем !![х, у1!1=!!ху — ух!!~(2!!х!!!!у!!. Согласно предложению 1 из и'2, область абсолютной сходимости формального ряда Й содержит множество 11 = ( (х, у) ~ А Х А Ю х !! + !! у !! < — !оп 2 ~. Следовательно, Й определяет аналитическую функцию Ь; 11 -~ А.
Тогда Ь(х, у) = ~, Н,,(х, у) (см. 3 3, п'1, замечание 4). си~О ™ ПРедложение 3. Если !!х!!+!!у!! < — 1оп2, то 1 ехрлх.ехрлу=ехрАЬ(х, у). (23) В самом деле, из (18) и соотношения еиет=ен1и У' следует, что тно(1+с, 1+с)=(1+с)чЙ в Р(А ХА; А), Поэтому из Мн. Св. рез., 3,1.9, можно вывести, что (23) верно для (х, у), достаточно близких к (О, О); в свою очередь, отсюда требуемый результат получается с помощью аналитического продолжения (Мн.
Св. рез., 3.2.5). 5 8. Сходнмость рида Хаусдорфа (ультраметрнческий случай) В этом параграфе мы будем предполагать, что К вЂ” полное нормированное недискретное поле характеристики нуль, наделенное ультраметрическим абсолютным значением. Пусть р — характеристика поля вычетов К (Комм. алг., 5 3, и' 2). Если р Ф О, то положим а = ! р !! известно, что О < а < 1 (Комм.
алг., гл. 6, 5 3, и' 2) и что существует нормирование о поля К со значениями в К, притом единственное, такое, что его ограничение на А1 является р-адическим нормированием РР и 1х!=а'"1 для любого хенК. Положим, с другой стороны, 0 = —. 1 (1) р — 1' Если р = О, то обозначим через а вещественное число, такое, что О < а < 1, и через о — нормирование К со значениями в К, Н. ВУРЬаКА гл. и, своводныв хлгввры ли !94 такое, что [х[=а" эо при любом хенК (см.
там же). Тогда о(х) =0 для любого х~(л*. С другой стороны, положим 0=0. (2) 1. р-адическая оценка рядов ехр, 1оя и Н Будем предполагать в этом пункте, что рчьО. Лемма 1. Пусть п — целое число ~)0 и п=пь+п,р+ ... ... +п„рь, где 0(п4~(р — 1, есть р-адическое разложение и. Пусть 3 (п) = пь + п! + ... + пь. Тогда и — 8 (п! л В самом деле, о (п!)= Х ор(!), а число целых 4, содержа! ! щихся между 1 и и, для которых ор(!))/, равно целой части [п/р'] числа и/р'. Поэтому ор(п!) = 3' /([и/р!] — [и/р!+!]) = Х [п/р4]. !~о 4>! Так как [п/р!] = 2 и!р!-4, то отсюда следует утверждение леммы.
Ш Лемма 2. о(п)(о(п!)~((п — 1)0 и о(п)(~(!оип)/(!оар) для любых целых «) 1. В самом деле, о(п!) =о (и!) =(и — Б(п)) О а (и — 1)О вследствие леммы 1. С другой стороны, и-:вр" !">, откуда о(п) (~(1одп)/(1оя р). Пусть 1=(У, У) — множество, состоящее из двух элементов, и пусть Н= 2' Н,,(У, У)ен/.о(1) г, р~ь — ряд Хаусдорфа ($6, и'4, определение 1). Пусть 2~! > — локализация кольца Е по простому идеалу (р) и (еь) з — базис Ех! !(1) над Е!р! ($2, и' 11, теорема 1). Он является также базисом Еа(1) над 44.
Првдложвнив 1. Пусть т и з — целые числа ~ )О. Если Н,, = ~ Льеь, где ььенЯ вЂ” разложение Н,, по базису (еь)ь з, то ьвз ор(дь) ) — (г+ з — 1) О для любого Ь ен В. (4) $ К УЛЬТРАМЕТРИЧЕСКИИ СЛУЧАИ 195 Кольцо Азиз (1) совпадает с Х>р>-подмодулем Аа (1), порожденным словами п>симь(1).
Так как Ех! >(1) — прямое слагаемое в Ах„,(1), то 1х„>(1) = А,„>(1) П 1-а (1). (6) Пусть 1 — целое число, такое, что 1- (т+ з — 1) О < 1+ 1. Соотношение (4) эквивалентно о (Аь)~) — 1 для любого Ьеи В, т. е. соотношению Н.,е ен р >1.х! > (1). Последнее же, согласно (5), >Р> эквивалентно включению Н,, еи р >Ах! > (1). Согласно формулам (11) из и' 4 $6, достаточно доказать, что для любого целого >п~)1 и любых целых г„..., г, з„...
з, таких, что г,+ ... +г =г, з,+ ... +з (6) т>+ з!) 1 при 1«(1«(п>, выполняется неравенство ор(>п г>1 ° ° г е!з>1 ° з 1) «(~, (7) Однако по лемме 2 ор(О! з,!)«((О+ э, — 1) О и оР(>п) (ог(т!) (» «((и> — 1)О, поэтому левая часть в (7) мажорируется выражее( — е.> ь >,.е.,— е>) =е>, е- — ц; * >+! однако, целое число, то оно «(1, что и завершает доказательство. 2. Нормированные алгебры Ли Опвидвлвнив 1. Нормированной алгеброй Ли над полем К называется алгебра Ли, наделенная нормой Ц Ц, такой, что Цх+уЦ»(зпр(ЦхЦ, ЦуЦ), (8) Ц (х, у! Ц («Ц х Ц Ц у Ц (О) для л>обьсх х, у из О. В остальной части этого параграфа Π— полная нормированная алгебра Ли.
Для любого конечного множества 1 определим, как и в и' ! $7, непрерывный гомоморфизм и> — эй алгебры Ли 1.(1) в р(О', О). Как и в 5 7, можно убедиться в том, что если и = Хи„, где и,я 1.~(1) для любого ч еиХ~, то й= ~ й„где й,— полиномиальнае отображение (1!)! ! > — ~ и, ((1!)), определенное в $2, и' 4. Остается справедливой и формула композиции (2) из 5 7; п' 1. гл, и.
своводныв ьлгавгы ли 3. Групна, онределенная полной нормированной алгеброй Лн Пусть Н = ~, Но ген Х((У, У)) — ряд Хаусдорфа ($6, и' 4, г>ь определение 1). Покажем, что формальный ряд с непрерывными членами Й = Х ЙоьенР(8Хв 3) , г>0 (10) (12) |!вь!1~~1, если Ьен В. Действительно, установим, далее, более общий факт: для любого коммутатора Ь степени и от двух переменных У и т' 5 2, и'6)Ь имеет норму, не превосходящую 1.
Используем индукцию по а. Если и = 1, то Ь вЂ” проекция й К а на а, поэтому его норма < 1; если и > 1, то сушествуют два коммутатора Ь1 и Ьь степеней < и, такие, что Ь=[Ьь Ьт!. Так как билинейное отображение т: (х,у)~-~. ~(х, у! множества а Х й-+й имеет норму ~(1, то (Мн. Св. рез., приложение, и' 4) !!Ь|1=||у (Ьо Ь,)||~!|Ь,|! ||Ьь|!=1. (13) 'Теперь из соотношений (11) и (12) извлекаем утверждение леммы. Пгвдложвиив 2. Формальный ряд Й является сходящимся (Мн.
Св. рез., 4.1.1). Если 6 — шар (х~ 6 |||х|! < аь), то область ,абсолютной сходимости ряда Й (Мн. Св. рез., 4.1.3) содержит а ХУ. В самом деле, если и и о — вещественные числа > О, такие, что и < аь и и < аь, то (лемма 3) !1Йпь||и'о'~~аз(иа е)'(оа е)' является сходящимся (Мн. Св. рез., 4.1.1). Пусть г~О, з>0 таковы, что с+ з ~ О, и пусть ||Й,,|!— норма непрерывного многочлена Йоь (Мн. Св. рез., приложение, и'2). Л 3.
||й„,!!.=а-о+ -пь. Пусть  — семейство Холла над! и Н„,= ~ яьеь — разлоь з жение Н,, по базису, соответствующему этому семейству в алгебре Е((У, Ц). Тогда !ль!- 'а "'"' пь (11) В самом деле, это тривиально при р=О, ибо тогда Аьы1;), и следует из предложения 1 п'1, если р Ф О. Более того, г $ а тльтеьметеическнп слтчап 197 и 11 Й,,11и"о' стремится к нулю, когда с+ з стремится к бесконечности. Обозначим через Ь: ОХΠ— «й аналитическую функцию (Мн.
Св. рез., 4.2.4), определенную при помощи Й, т. е. формулой Ь(х, у)= Х, Й„,(х, у)= г, г~ь ,')'., Н,,(х, у) для любых (х, у)еяОХО. (15) г, в>0 Эта функция называется функиией Хаусдорфа алгебры а. Пусть (х, у)енОХО. Тогда 11 Й... (х, у) 11 < <зяр ( 11 х 11, 11 у 11), (16) 11 Ь(х, у) 11 - зпр ( 11 х 11, 11 у 11 ). (и) Действительно, (17) тривиально следует из (!6), а (!6) очевидно при т = з = 0; если т») 1, то 11 Н... (х, у) 11 < 1[ Н„, 1111 х 11г 11 у 1М <11х11Я (Чз) к,; ~~11 х 11; аналогично рассуждаем при з» )1.
В частности, 11Ь(х, у)11<аз для любых (х, у) еяОХО. Пеедложение 3. Пусть 6 — шар (х~ 8111х11 < аь). Аналитическое отображение Ь: 6 Х 6-«6 превращает 6 в группу, в которой 0 является единичным элементом, а — х обратным к х для любого х.ее О. Кроме того, если )с — вещественное число, такое, что О < Я < аз, то шар (хее 9111х11 <Л) (соотв. (х~й111х11ч Ю)) является открытой (соотв. замкнутой) подгруппой в О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
