Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При а(~0 имеем цг (6)=(0), и у нас не остается иного выхода, кроме как положить д,= О. (В) Так как д„ инъективен для любого вещественного а, то д инъективен. Покажем, что д — гомоморфнзм алгебр Ли. Так как пг,(6) = (О) при а (О, то достаточно доказать формулу ра+з((а~ Ь)) =(ра(а), рг (Ь)), (27) где а>0, р>0, аеиО и Ь~Оз, которая, однако, следует из (26). б. Целочисленные центральные фильтрации Напомним (и'1, замечание), что фильтрация (О,) группы 6 называется целочисленной, если 6„= 0„ для любого целого л и любого а ен )л — 1, л). Задание целочисленной центральной фильтрации на группе 6 эквивалентно заданию ряда (6„)„>, подгрупп группы 6, удовлетворяющих условиям о,=о, (1) О„~ 6, для любого л > 1, (И) (6,0„)с=О„,+„для т в1 и п>!.
(ш) ГЛ. 11. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 188 Для любого целого п > 1 подгруппа О„нормальна в 6 и фактор- группа йг„(6)=ЩО„+1 коммутативна. Отображение (х, у) (х, у)=х-'у 'ху из 6 ХО„Б 6 +„позволяет посредством факторизацни определить на нг(6) = Е яг„(6) структуру граа>1 дуированной алгебры Ли типа (ч' над кольцом Х. Напомним (А!д., сЬар.
1, р. 68, йе)!ЛН!оп 5), что нижним центральнь1м рядом группы 6 называется последовательность подгрупп, определенная формулами С 0 =6, С" 6 =(6, С"6) для любого п~>1. (28) Соответствующая ему фильтрация называется нижней центральной фильтрацией группы О. Пведложенив 4. (1) Нижняя центральная фильтрация О является целочисленной центральной фильтрацией на 6. (!!) Если (6„)„и. — целочисленная центральная фильтрация на 6, то С"О с: О„при любом целом и ен й)*. Утверждение (!) доказано в кн. А!у., сЬар. 1, р. 68, )отти!е(7).
Утверждение (й) доказывается индукцией по и; С'6 = 6 = 6,; при и> 1 имеем С"6=(0, С" 0)с:(6, 6„1)с:. 6„, ПРедложение 5. Пусть Π— группа, и пусть пг(6) — градуированная Х-алгебра Ли, ассоциированная с нижней центральной фильтрацией О. Тогда алгебра яг (6) порождается множеством дг1 (6) = О/(О, 6). Пусть Š— подалгебра Ли алгебры яг(6), порожденная нг1 (О); индукцией по и докажем включение Е:з дг„(6), причем утверждение тривиально при п=!.
Предположим, что и> 1 и Е ~ ~нг„1(6). Так как С"0=(0, С" 10), то процесс построения умножения в алгебре Ли на яг(6) показывает, что иг„(6)= = 18Г1 (6), дг„, (6)1 ~ 1-. Только что приведенное доказательство показывает, что нижний центральный ряд алгебры Ли нг(6) 5 2, и'7) задается формулой Ж" (яг(6)) = ~, йг„(6). Замечание. Пусть й — кольцо, и — целое число >О, А — множество матриц с и столбцамн и и строками с элементами из й, являющихся нижними треугольными. Для любого р> О пусть А — множество (хн) ~А, таких, что х,! — — О при ! — ! < р. Тогда Аь= А и АРА„~ А+ .
Пусть ГР= 1+ А . Тогда Г1 — подгруппа в 61. (и, и), называемая группой унитреугольных матриц по- $ О. АЛГЕБРЫ МАГНУСА вя..'ка п над Ь. Согласно предложению 2 из п'5, (Гр) — целочисленная фильтрация на ГР Так как Г„=(1), то Г, — нальпотентная группа (А15., опар. 1, р. 60, ае~тИоп 6). в 5.
Алгебры ййагиуса В етом параграфе Х вЂ” множество, Г" (Х) — свободная группа над Х (А15., сйар. 1, р. 84, и'5) и А(Х) — свободная ассоциативная алгебра над Х, наделенная моноградуировкой (Ал(Х))„> (А15., сйар. 111, р. 31, екетпр1е 3). Множество Х отождествлчется со своими образами в Г" (Х) и А(Х).
1, Алгебры Магнуса Пусть А(Х) — произведение модулей ЦАО(Х). Определим л~О в А(Х) умножение правилом (аЬ)л= ~ а,Ь„„ где а=(ал) и Ь =(Ьл) — элементы из А(Х). Известно, что А(Х) является ассоциативной алгеброй и что А(Х) отождествляется с подалгеброй в А (Х), состоящей из последовательностей, в которых равны нулю все члены, за исключением конечного их числа (Комм. алг., гл. П1, $ 2, и' 12, пример 1). Наделим А (Х) топологией произведения дискретных топологических пространств А"(Х); эта топология превращает А (Х) в полную отделимую топологическую алгебру, причем К наделено дискретной топологией и А(Х) плотно в А (Х). Пусть а=(ал)~А(Х); семейство (ал) суммируемо и а= л~' ал. л л>О л.лО Для любого целого т)0 обозначим через А (Х) идеал, состоящий из рядов вида а= ~ ал, таких, что а„~А" (Х), л>м где и — любое целое ~ )и. Эта последовательность идеалов является фундаментальной системой окрестностей 0 в А (Х) и целочисленной фильтрацией на А (Х).
Функция порядка, ассоциированная с этой фильтрацией, обозначается через в; имеем тогда в(0)=+со и в(а)=т, если а= 5' ал, где а енАО(Х) л )гв для любого п))лт и а ФО (Э 4, и'1 и 2). Говорят, что А(Х) — алгебра Магнуса множества Х с коэффициентами в К. Если есть неясность в употреблении К, то можно также писать Ах(Х). ГЛ. и. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ !70 Предложение 1.
Пусть  — ассоциативная алгебра с единицей. наделенная вещественной фильтрацией (В ) а, относительно которой В отделима и полна ') ($4, и' 1 и 2), 17 усть )' — отображение множества Х е В, такое, что существует )с) О, для которого 1(Х) ~ ВА. Тогда ! продолжается единственным образом до непрерывного гомоморфизма алгебр с единицей 1 алгебры А (Х) е В. Пусть !' — единственный гомоморфизм алгебр с единицей алгебры А(Х) в В, продолжающий ! (А!у., СЬар.
И1, р. 22, ргороз!!!оп 7). Покажем, что !' непрерывен: в самом деле, !'(А" (Х)) с= ~ В„„, так что !'(А„(Х) () А(Х)) с= Выи Поэтому г' продолжается единственным способом по непрерывности до гомоморфизма 1: А(Х)-РВ. Сохраним предположения и обозначения предыдущего предложения 1; пусть и ~ А(Х), Элемент 1(и) обозначается через и(Д(х))„х) и называется результатом подстановки ! (х) вместо х е и. В частности, и((х)„х)=и.
Пусть теперь и=(ив) т— семейство элементов из А,(Х) и вен А(Х). Сказанное выше позволяет определить элемент о((ив)„т) ~ А(Х). Обозначим его ЧЕРЕЗ сии. ТаК КаК иа((1(Х)))~ВА, тО МОЖНО ПОдСтаВИтЬ ЭЛЕ- менты ивЯ(х))) вместо у в о. Отображения о э(ови) И7(х))) и ог-ьо((ив(()(х))))) — это непрерывные гомоморфнзмы алгебр с единицей А (У) -ь В, принимающие одинаковые значения ив (()'(х))) на элементах уев'г'. Следовательно (предложение 1), (о в и) ((1 (х))) = о ((ие ((! (х))))) для любого о еи А (у).
2. Группа Магнуса Если а=(а„)„> — произвольный элемент из А(Х), то элемент ао нз К мы будем называть свободным членом а и обозначать через е(а). Формула (1) показывает, что в — гомоморфизм алгебры А(Х) в К. Лемма 1. Элемент а из А(Х) обратим тогда и только тогда, когда его свободный член обратим е К. Если а обратим в А(Х), то в(а) обратим в К. Обратно, если в(а) обратим в К, то существует иеиА,(Х), такой, что а=в(а)(1 — и); положим Ь=( ~ и")в(а) . ТогдааЬ=Ьа=1, и, значит, а обратим. ') Как топологкческая алгебра. — Прим. левее. $5. АЛГЕБРЫ МАГНУСА Множество элементов в А(Х) со свободным членом, равным 1, образует, таким образом, подгруппу мультипликативного моноида А(Х), называемую группой Магнуса над Х (относительно К).
В этой главе мы будем обозначать ее через Г(Х) или просто Г. Для любого целого п~! обозначим через Г„ множество а ~ Г, таких, что в(а — 1))п. Согласно предложению 2 из $4, и'5, последовательность (Г„)„), является целочисленной центральной фильтрацией на Г. 3. Труппа Магнуса и свободная группа теогемА 1. Пусть г — отображение множества Х в А (Х), такое, что Го(Г(х)) ~ )2 для любого х еи Х. Единственный гомоморфиэм д свободной группьо г'(Х) в группу Магнуса Г(Х), для которогв а(х) = 1+ х+ Г(х) при любом х ~Х, инъективен. Докажем сначала три леммы.
Лемма 2. Пусть и — целое рациональное число, не равное нулю В кольце формальных степенных рядов КИ1Ц положим (1+ 1)"= = ~~'„сь л1!. Тогда существует целое ! л л 1, такое, что сь „Ф О. Г>о Если и ) О, то по формуле бинома с„,„ = 1. Пусть и < О, и положим Гп= — и. Если бы сп„— — О при любом 1) 1, то (1+ 1)" = 1, т. е. (1+ 1) = 1, что противоречит формуле с„, =!.
Лемма 3. Пусть х„..., х, — элементы, из Х, такие, что э л! и к~~хГЫ при 1~(1(э — 1; пусть и, ..., и, — ненулевые целые рациональные числа. Тогда элемент Ц (1 + х;)"' алгебры А (Х) 1 1 отличен от единицы. Пусть ж — максимальный идеал в К и Ь вЂ” поле К/ж; пусть р: Ах(Х)-ьАА(Х) — единственный гомоморфизм алгебр с единицей, такой, что р(х) =х для любого х ев Х (и' 1, предложение 1). Достаточно доказать, что рЦ(1+к;)"'Ф1, и поэтому можно считать, что К вЂ” поле.
В обозначениях леммы 2 ь, ьл Ц(1+х,)"~= ~, сьтл, сь„ля! ° ° хл'. 1 ! ь,>о По лемме 2 суГцествуют целые аГ) О, такие, что с...МО (1~~1(э). Согласно предложению б из А1д., с)!ар. 1, р. 84, ни один из одночленов х',~ ... „," с Ь, ) О и (Ь„ ... Ь,) чь гл. и. своводные клгивгы ли 172 ~(аь ..., а,) не может равняться х,'... х,'. Отсюда следует, ь что коэффициент при х" ,... х,' в П(1+х,)"~ равен с, 1 ! ! "1 ...
с, „~0, что и влечет за собой утверждение леммы. Лемма 4. Пусть о — непрерывный зндоморфизм А(Х), такой, что о(х)=х+г(х) для любого хеиХ (и'1, предложение 1). Тогда о — автоморфизм и о(А (Х)) = А (Х) для любого тп ~ Х. Имеем о(х)~хспойАт(Х) для любого х~Х, откуда при п -! и х„..., х„из Х выполняется о(х,) ... о(х„) — х, ... х„спой Аь ы (Х). отсюда по линейности следует, что о(а) = — а по модулю А„,, (Х) длЯ любого а сн А" (Х) и, в частности, о(А" (Х)) с- А„(Х) От сюда легко выводим, что о'(А (Х)) с: А„(Х) при пг)~п, так что о(А„(Х)) с: А„(Х). Иначе говоря, о совместим с фильтрацией (А (Х)) алгебры А(Х) и его ограничение на ассоциированную градуированную алгебру тождественно.
Следовательно, о биек- тивен (Ком. алг., гл. 1, $ 2, и' 8, следствие 3 теоремы !). Докажем теперь теорему 1. Пусть ж — элемент из Р(Х). По предложению 7 из А1д., сйар. 1, р. 84, существуют х„..., х, из Х и целые рациональные пи ..., и„не равные нулю, такие, что з>1, х, Ф хн, (1~(1~(з — 1) и св=х'...х,, ь л ! В обозначениях леммы 4 имеем й (св) = П(1+ о(х,))"с = о(П(1+ х;)"~), откуда д(се) Ф 1 по леммам 3 и 4. 4. Нижний центральный ряд свободной груням Мы собираемся доказать следующие две теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
