Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Из (25) следует существование гомоморфизма ] алгебры 9 в (1, такого, что 1(~Р, (з )) = (з„О) и 1(фт(зз)) = (О, зэ) длЯ лю- бых з, ни 5, и зтен5,, Отсюда немедленно выводится соотно- шение 1*(ф1 (а )+ Рт(ат)) =(ав ат) (26) для любого а, еи Ь(5,) и любого аз ни 1,(5э). Соотношение (26) показывает, что ф1 и зрт инъективны и что« а, Па,=(0]. Наше предложение следует тогда из формул (23) и (24). Првдложвнив 10 (теорема об исключении). Пусть Х вЂ” мно- жество, 5 — подмножество в Х и Т вЂ” множество последователь- ностей (зь „з„, х), где п~)0, з„..., з„— элементы из 5, а х — элемент из Х вЂ” 5').
а) Модуль Ь(Х) является прямой суммой подалгебры 1. (5) алгебры Е(Х) и идеала а алгебры 1,(Х), порожденного множе- ством Х вЂ” 5. б) Существует изоморфное отображение ~р алгебры гуи Ь(Т) на и, переводящее (з„..., з„, х) в (ада, е ... е адз„)(х). Пусть й — алгебра Ли, построенная так же, как и в пред- ложении 9, причем 5,=5, 5,=Т, й(з, 1)=(з, з„..., з„, х)~ Тс=(,(Т) для любого 1=(з„..., з„, х) из Т и зев 5«Отождествнм 1.
(5) и Е(Т) с их каноническими образами в 8 (предложение 9, а)). Пусть ф — отображение(з„..., з„, х) «(адз,е... еадз„)(х) множества Т в 1. (Х). Очевидно„что зр(д(з, 1)) =]з, чр(1)] для любых зан5, 1я Т, так что существует гомоморфизм а: 9-«1. (Х), ограничение которого на 5 тождественно, а на Т равно зр.
Имеем Х вЂ” 5с: Т, откуда следует существование гомомор- физма 8: 1.(Х) -« 9, ограничение которого на Х = 5 Ц (Х вЂ” 5) тождественно. Покажем, что а — изоморфизм и что р — обратный к нему. Так как ф(х)=х для любого х из Х вЂ” 5, то понятно, что а е 6 совпадает с тождественным отображением на Х, откуда а«8=1дс1х1. Имеем, кроме того, (з, 1] =й(з, 1) в й для з ~ 5, ') Прн о=о получаем элементы нз Х-3, откуда Х вЂ” 3~ Т. ГЛ. Н. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 148 г~ Т по построению; выводим отсюда, что 1 (з„...„з„, к» равно в й элементу (айз,я ... ьайз„)(х), откуда 1 (1(а(1)).
Так как (1(а(з))=з для любого зенЗ и так как Э() Т порождает й, то ()оа=!йм Так как а — изоморфизм алгебры й на Е(Х), то предложение 9 показывает, что ограничение а на Е (Т) — нзоморфизм Ф алгебры Е(Т) на идеал 6 алгебры Е(Х), такой, что модуль Е(Х» равен прямой сумме Е(5) и Ф. Ясно также, что <р(зн ..., з„, х)=(айз,о ... лайз„)(х) для любых (з„..., з„, х) из Т. Таким образом, ~р(Т)са, откуда Ьса, так как у(Т) порождает подалгебру Ь алгебры Е(Х). Однако Ь вЂ” идеал и Х вЂ” Зс с~р(Т)с Ь, откуда ас 6. Слядствия.
Пусть у ея Х. Свободная алгебра Ли Е (Х) является прямой суммой свободного подмодуля К. у и подалгебры Ли, системой свободных образующих которой являетея семейство элементов ((ай у)". г), где п~)0 и г ея Х вЂ” (у). Достаточно положить 5=(у) в предложении 10. 10, Семейства Холла в свободном группоиде Пусть Х вЂ” множество, М(Х) — свободный группоид над Х и М"(Х) для любого и ея Ь(' — множество элементов из М (Х) длины п(п'1). Если шея М (Х) и 1(ш)~)2, то через а(ш) и б(ю) обозначим элементы из М (Х), определенные равенством и = =а(а»(1(гс); имеем 1(а(ш)) <1(ш), 1(р(ю)) <1(гс). Наконец, обозначим через и о элемент, определенный по индукции для любого целого т.э 0 равенствами иго = о и и "с = и (и о), и, с ~ М (Х).
Опгедяляния 2. Семейством Холла над множеством Х назовем любое подмножество Н группоида М (Х), наделенное некоторым отношением совершенного порядка, удовлетворяющее следующим условиям: (А) Если и~Н, с~Н и 1(и)<1(с), то и<с. (Б) Хс: Н и НДМг(Х) состоит из произведений ху, где х, у — элементы Х и х < у. (В) Элемент в группоида М(Х) длины в 3 принадлежит Н тогда и только тогда, когда он имеет вид а(Ьс), где а, Ь, с — элементы из Н, Ьс ~ Н, Ь<а < Ьс и Ь <с. ПРядложяния 11.
Семейство Холла над Х существует. Будем индукцией по целому п.-в1 строить множества Н„с: с= М (Х) и отношение совершенного порядка на каждом из этих множеств. % в сзоводныв ллгввгы ли и !49 а) Положим Н, =Х и наделим его любым отношением совершенного порядка.
б) Множество Н, состоит из произведений ху, где х, у из Х и х < у. Наделим его структурой совершенного порядка. в) Пусть и в 3, так что совершенно упорядоченные множества Н„..., Н„, уже определены. Тогда иа Н„'-ь =Н~()... () Н„ имеется отношение совершенного порядка, совпадающее на Н„... ..., Н, с заданными на них порядками и такое, что св < св', если 1(св) <1(в'). Определим Н„как множество произведений а(Ьс) ~ М" (Х), где а, Ь, с — элементы из Н'„и удовлетворяющие условиям Ьса=Н'„ц Ь(а <Ьс, Ь <с, и зададим на Н„ структуру совершенного порядка. Положим Н = (! Н„; зададим на Н структуру совершенного.
порядка следующим образом: положим св(и' тогда н только" тогда, когда либо 1(э) <1(ю'), либо 1(и) =1(и') =и и ю(и~ в множестве Н„. Очевидно, что Н вЂ” семейство Холла над Х. Для каждого подмножества Б множества Х отождествнм свободный группоид М(Я) с его каноническим образом в М(Х). Пгвдложвнив 12. Пусть Н вЂ” семейство Холла над Х и х, у — элементы из Х. а) Н П М ((х)) = (х), б) Пусть х < у и де — еомоморфизм М(Х) в К, такой, что д„(у) = 1 и д„(г) =О длл любых г еи Х, г Ф у. Множество элементов шеи Н()М((х, у)), таких, что де(ш) =1, состоит иэ элементов х"у, где п — целое число )О.
Согласно определению 2(Б), имеем хенН и Н() Мз((х))=0. Если се си НЯМ((х)), причем п=1(ю)~)3, то элементы а(ы) и р(ю) также принадлежат Н Д М ((х)), согласно определению 2(В). Отсюда индукцней по и немедленно получаем, что Н() М" ((х)) =. 8 при любом и~~2, что и доказывает а). Докажем теперь б).
Согласно определению 2(Б), у~ Н и ху~Н. Покажем индукцней по и, что х"учиН для любого целого п)2. Имеем х"у х(х(х" ~у)) и по предположению индукции х" зуев Н. Далее, 1(х) <1(х" 'у) при и > 2 и х < у, откуда х < х' зу во всех случаях; условие (В) определения 2 показывает поэтому, что х"у ~ Н. Кроме того, понятно, что д„(х у) = 1. Обратно, пусть св ~ Н () М ((х, у)), причем де(в)=1.
Если 1(св) = 1, то в = у; если 1(и) = 2, то ш = ху по определению 2 (Б). Если 1(ю) ~ )3, то ю = а(Ьс), где а, Ь, с, Ьс — элементы из Н() М((х, у)) (определение 2(В)). Невозможно, чтобы де(Ьс) ° О, так как тогда Ьс ~ М ((х)), чего нв может быть. в силу а). Поэтому де(Ьс) 1 и й (а)=О, откуда а=х, 150 ГЛ. Н. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН согласно а). Отсюда индукцией по и =1(в) немедленно получаем, что в=х" 'у, а это и доказывает б). Следствие. Если СагбХ)2; то НЯМ" (Х) чь Я при любом .целом п)~ !. Пведложеиие !3.
пусть Х вЂ” конечное множество, состоящее не менее чем из двух элементов. Обозначим через Н семейство Холла над Х. Тогда существует строго возрастающая биекция р в множества (Ч на Н и последовательность (Рр) „подмножеств в Н со следующими свойствами: а) Рь=-Х. б) Для любого целого р)0 имеет место включение вр еп Р . в) Для любого целого и)! существует целое число р(п), такое, что любой элемент из Рр имеет длину ) и, как только р) р(п).
г) Для любого целого р )0 множество Рр+, состоит из элементов вида в,',в, где в ~ Р, 1~ ~0 и в ~ вр. Так как Х конечно, то конечно и каждое из множеств М" (Х). Положим Н„= НПМ" (Х) при любом п)~1. Следствие предложения 12 показывает, что множество Н„не пусто, Пусть .и„— число элементов в Н„; положим оь = 0 и о„= и, +... + и„ прн и) 1. Так как ̈́— конечное совершенно упорядоченное множество, существует строго возрастающая биекция р вр интервала (о„„о„— !) множества Р( на Н„.
Отсюда сразу же следует, что р « вр — строго возрастающая биекция Р( на Н. Положим Рь = Х, н для любого целого р) 1 пусть Р, — множество элементов в из Н, таких, что в)вр и либо в~Х, либо а(в) <вр (заметим, что если в — элемент длины»2, то из того, что вен Н, следует, что а(в)ВЕН по условию (В) определения 2). Имеем в барр, это очевидно, если вреиХ, н следует из неравенства 1(а(вр)) < 1(в ) и условия (А) определения 2 в случае, когда !е Ф Х. Условия а) и б), таким образом, выполняются. Пусть п — целое число -в 1,' и пусть р)~о„. Для любого тееиР, имеет место неравенство 1(в))1(вр) > и по самому определению отображения р «в. Это доказывает в). Покажем, что любой элемент вида и = врв при !»О, вен Рр и в Ф вр принадлежит Рр+Р Если 1 чь О, то 1(и) ) 1(вр), откуда и> вр и и)вр+,, имеем и~Х и а(и) = в, < вр+„так что иеиРР+,.
Если 1=0, то иенрр и и Фв; поэтому и> вр, откУда и) вр+б если и не пРинадлежит Х, то а(в) < вр, так что а(в) < вр+,, снова и еи Рр+о з а своводныв ялгввры ли Н, в,=х Нг вз = (ху) Нз в,=(х(ху)) Н„вь = (х (х (ху))) Н в =(х(х(х(ху)))) вм — — (у (у (у (ху)))) вг У вз = (у (ху)) в, = (у (х (ху))) вз = (у (у (ху))) И10 (У (Х (Х (Ху)))) И (У (У (Х (Ху)))) в~3 = ((Ху) (Х (Ху))) Им = ((Ху)(у (Ху))) (Элементы из Н занумерованы в соответствии с отношением совершенной упорядоченности в каждом Н .) П. Базис Холла свободной алгебры Ли Сохраним обозначения предыдущего пункта.
Творима 1. Пусть Н вЂ” семейство Холла над Х и Ч'-каноническое отображение М(Х) в свободную алгебру Ли Л (Х). Ограничение Ч' на Н является базисом модуля Е(Х). Для любого элемента в из Н положим в =Ч'(в). Обратно, пусть и ен Ррьн Будем различать два случая: а) Не существует элемента о из М(Х), такого, что и = вро. По определению Ррр, имеем и> в,. Более того, если ифХ, то а(и) Ф вр по сделанному предположению, и а(и) < вре, так как ия Рр+,, поэтому а(и) < вр. Следовательно, иен Рр и и Фвр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
