Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если же л кратно р и л > 2, то показать, что 61(и, К)/Ь проста (темн же методами). б) Показать, что если л кратно р и л > 2, то 61(л, К)[Ь имеет нулевой радикал, но обладает абелевой факторалгеброй 61 (л, К)161(л, К). Ч[ 26) Пусть К вЂ” поле произвольной характеристики р.
Обозначим через йр (2л, К) алгебру Ли формальной снмплектической группы от 2л переменных над К (и 1, упражнение 26 н)). Показать, что эта алгебра Ли- ГЛ. !. АЛГЕБРЫ ЛИ 122 мвляющаяся подалгеброй в 91(2и, К), обладает базисом Н! Ец — Е»» и (1~»~и), Р» — — Ец — Е +„!.„„(! ( », ! ~ и, »-ь!), Сц Е» »+и+ Е!»+„, О»! Е»+„+ Е!+„(1 <, ! < (~и), Е»,»+и " Е»ею! (1ач»(и).
а) Показатгь что есля рФ2, и) 1, то алгебра йр(2и, К) простая (при ю 1 йр(2К) =61(2, К)). (Метод тот же, что и в упражнении 24.) б) Если р=2 и и~3, то показать, что Нр Р»», О,.! и О»! порождают мдеал а размерности и(2и — 1); его элементы вида Е '»~»+ Х .црц+ Х Ь»»~»»+ Е у»»'ц »=! »чь! »<! »<! с ~ Л» 0 образуют идеал Ь ~а размерности и(2и — 1)-1, кратные Я !!» »=1 »=! юорождают идеал с — центр йр(2и, К); Ь и с — единственные идеалы в а, причем Ь=м!(Бр(2и, К)) и Ь(с простая (тот же метод). Что собой представляют идеалы йр (4, К), если К вЂ” поле характеристики 27 1( 26) Пусть К вЂ” поле характеристики Ф 2, Ф вЂ” бялинейиая симметрическая иевырожденная форма на и-мерном пространстве иад К.
а) Показать, что если и зб, то алгебра Ли о(Ф) проста. (Расширяя, если нужно, поле скаляров, рассмотреть ля»пь случай, когда индекс Ф равен л! =(и/2), Если, например, и =2ш четио, то в качестве базиса о (Ф) можно маять Н =Е»» — Е»+и»+, Р»! — — Ец — Е!+и »+,„(1(», !(т, !'ть!), г Юц — — Е» »+и — Е! »+и и О»! — — Е»+ ! — Е»т ! (1<,!'()(ш)! рассуждаем теперь так же, как н в упражнениях 24 и 25. Действовать аналогичиым образом. когда и 2ш+ 1 нечетно.) б) Пусть а — дискрнмннант Ф в некотором базисе.
Предположим, что и)4. Показать, что если а ие является квадратом в К, то о(Ф) проста. .Если й — квадрат, то о (Ф) — прямая сумма двух изоморфных трехмерных ллгебр Лв. (Использовать строение С (Ф), описанное в Алг., гл. 1Х, $9, упражнение !6.) Вывести отсюда пример простой алгебры Ли, которая сталовитсн непростой прн расширении поля скаляров. 27) а) Показать, что в конечяомерной р-алгебре Ли радикал являетсл р-идеалом. (Использовать упражнение 22 в) нз $1.) б) Для того чтобы радикал р-алгебры Ли й был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в й не содержалось ненулевых коммутативных р-идеалов. (Использовать упражнение 22 в) нз $1.) Соглашения $7, если не оговорено противное, остаются в силе.
1) а) Для того чтобы К-алгебра Ли была ннльпотентной. необходимо и достаточно, чтобы оиа была изоморфна подалгебре алгебры п(и, К). б) Предположим, что К алгебранчески замкнуто. Для того чтобы К-алаебра Лн была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы она была изоморфва подалгебре алгебры 1(и, К). 2) .усть й — алгебра Ли, и — ее наибольший инльпотеитиый идеал. Существует конечномерное векторное пространство (» и нзоморфизм 6 на УПРАЖНЕНИЯ подалгебру в 51(Р), отображающий любой элемент нз и в ннльпотеитный эндоморфизм Р/(Использовать теорему Адо и упражнение 5 нз 5 1.) 3) Пусть й — алгебра Лн, У вЂ” ее универсальнан обертывающая алгебра а) Показать, что для любога и гм У (и Ф 0) существует конечномерное представление и алгебры У.
такое, что и (и) Ф О. (Использовать предыдущее упражнение и упражнение 55) из й 3.) б) Вывестн из а), что если 5 полупроста, то существует бесконечное число попарно неэквивалептнык конечномерных представлений (Пусть р!, ..., р„— неприводимые представления й конечной размерности л йг!, ..., А!и — аннулнторы соответствующих У-модулей, АГ П АГ!. Пока- ! 1 зать, что А/ имеет конечную коразмерность в У. Пусть и зм Аг, и Ф О.
Применить а) к и.) 1] 4) пусть й — алгебра лн, о — ее субнормальиая подалгебра, с(а)— радикал алгебры а и р — представление конечной размерности алгебры а Для того чтобм р допускало конечномерное продолжение на й необходимо и достаточно, чтобы 2)йПг(а) содержало наибольший идеаж ннльпотентности р. (Для доказательства достаточности действовать следую. шим обРазом: пУсть 5 = 5 ш 5! ~ ... ~ йв = е — ноРмальиый Рвд Ри обладающий свойствами из упражнения 11 5), э 6. Показать по индукции существование продолжении р! представления р на йп наибольший идеал нильпотентности которого содержит !йй Пт(й!). В обозначениих упражнении 11 б]ь из $ 6 переход от р!+, к р! следует из теоремы 1 в случае, когда 1) прости.
нлн () одномеРна и ЫОПт(йге!)=.й)йПт(9!), Если 505Пт(й 4!)ФЮ5Пг(й!)„ можно пРедполагать. что !)! ш й)5 П т (5!). Имеем тогда т (5!) = т (5) П йк (5 5, упражнение 10) и можно еще раз применить теорему 1.) $5) Пусть К вЂ” поле характеристики р > О, 5 — алгебра Ли конечной размерности и над К, У вЂ” универсальная обертывающая алгебра длн 5. а) Назовем р-ииоаочлеиои от одной переменной (иад К) любой миогочлен из К[Х], в котором ненулевые члены имеют степень, равную степени числа р.
Показатгь чта для любого многочлена /(Х)ФО из К[Х] существует" й(Х) щК]Х], такой, что /(Х) й(Х) является р-многочленом (рассмотреть а остатки от делении по алгоритму Евклида мнагочленов ХР на /(Х)). б) Показать, что для любого элемента зги 5 существует ненулевой мно-. гочлеп /(Х) щ К [Х], такой, что / (и) принадлежит центру С алгебры У.
(Рассмотреть минимальный многочлен эидоморфиама аб з и применить. а) к этому многочлену. используя формулу (Ц из упражнения !9, 5 1.) в) Пусть (е!)!< <„— базис 9. Для любого 1 пусть /! Ф 0 — многочлен из К[Х], такой, что /! (е!) ш С; пусть г!! — его степень, и пусть 5 — двусторонний идеал У, порожденный элементами у! =/! (е,). Показать, что классьв а, а гпоб5 злементов е! ... е„", где О~ц! < !(!, образуют базис У/Ь.
г) Показать, что й обладает точным конечномериым представлен неш (выбрать /! так, что !/! > 1 для любога !). д) Показать, что если й Ф (О], то существует линейное конечномерноепредставление 5,'не ивляющееся вполне приводимым. (Предполагая. что степени !Г многочленов / больше 1, заменить / на Г'. в определении Ь и заме! тить, что тогда в центре У/Ь имеются ненулевые нильпотентные злементы т. е.
У/Ь не полупроста.) ГЛАВА П СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ В этой главе') буква К обозначает ненулевое коммутативное кольцо. Для единичного элемента в К используется символ 1. Если не оговорено противное, все коалгебры, алгебры и биалгебры, все модули и все тензорные произведения рассматриваются над К. Начиная с 5 6, предполагается, что К вЂ” поле характеристики нуль. $1. Обертывающая биалгебра алгебры Ли В этом параграфе. 6 — алгебра Ли над К, У (й), или просто У,— ее универсальная обертывающая алгебра (гл. 1, 5 2, и' 1), ив каноническое отображение й в У(й) (там же) и (У„)„- каноническая фильтрация алгебры У (там же, и'6). 1. Примитивные элементы коалгебрьа В этом пункте мы рассмотрим коалгебру Е (А1л., 3' еб., с)тар.
1Н, р. 138 т)) с копроизведением с: Š— ЕЭЕ, обладающую коединицей е (там же, р. 146). Напомним, что в является линейной формой на К-модуле Е, для которой (после канонического отождествления Е ® К и К ® Е с Е) имеет место 1 г)е = (в (8) 1 г)г) о с = (1 бе З в) о с. ') Результаты глав П и 1П зависят от гл.
1, а также от первых шести книг (Теория множеств. Алгебра, Общая топология, Теория функций действительного переменного, Топологические векторные пространства, Интегрирование), книг Коммутатнвиая алгебра, Многообразия (Сводка результатов); п' 9 из 5 б гл. П1, зависит, кроме того, от книги Спектральная теория, гл. 1. ') Для удобства читателя, не имеющего под рукой нового французского издания Алгебры, при переводе в конце втой книги помещено приложение, содержащее необходимые терминологические разъяснения. Многочисленные более мелкие ссылки на французский оригинал, сохраненные без изменений, большей частью понятны из контекста н никак не комментируются.
†Пр. лед. 1 $ ь овеРтывающАя БиАлГББРА АлГеБРы ли 125 Обозначим через Е ядро е и зафиксируем элемент и из Е, такой, что с(и)=и Э и и е(и)=1. К-модуль Е является прямой суммой Е+ и подмодуля К. и, свободного с базисом и; обозначим через и„; Е~Е+ и ~)„: Е-+К.и проектирования, определенные этим разложением, Имеем пп(х)=х — е(х).и, ~1,(х)=е(х).и. Опавделение 1. Говорят, что элемент х модуля Е и-примитивен, если с(х)=х З и+ и Эх. (2) Ъ Все и-примитивные элементы из Е образуют подмодуль модуля Е„обозначаемый через Р,(Е).
ПРедложение 1. Любой и-примитивный элемент из Е принадлежит Е+. В самом деле, из (2) следует, что х=е(х).и+в(и).х= =е(х). и+х, откуда е(х) =О. Замечание. Если х~Е и если с(х) =х'З и+ и Эх", где х', х" принадлежат Е+, то х = е(х') . и+ е (и) . х" = х; аналогично х=х', т. е. х и-примитивен, Для любого х ее Е положим с+ (х) = с (х) — х З и — и З х, (3) Пэедложеиие 2. Справедливо следующее соотношение: (и Э я )ос=с+Оп В самом деле, пусть х принадлежит Е; тогда (ЛР З л„) (с (х)) = ((1 — ~)„) З (1 — и,)) (с (х)) = = с (х) — (1 9 11,) (с(х)) — (т1, Э !) (с (х)) + (т1„Э т1„) (с (х)). Так как е — коединица в Е, то (1 Э ~)„) (с (х)) = х Э и, (Ч„З 1) (с (х)) = и Э х, откуда (и, Э и„) (с (х)) = (Ч„Э 1) ((1 З т1„) (с (х))) = е (х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
