Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть х — элемент нз э, для которого 1 = ( ( (аб х) (2) ть (О). Пусть ц — объединение ядер (аб х)ь. Показать, что а оно являетси подалгеброй в Ч и что 9 равно примой сумме Т и и. По предположению индукции и равйо сумме йу и н ннльпотентной подалгебры 1). Наконец, $' и ~%" 9 н Т ~ 2> р.) з) Проверить, что следующая таблица умножения определяет (разрешимую) алгебру Лн размерности 5: («>, «21 = «з (х! «Э! «3, («! «4) = «ь (хз, «!) «б причем остальные (хг, «1) равны нулю.
Показать, что для этой алгебры Ли выполняется Ж Я Кх, + К«>+К«„но не существует никакой подалгебры, дополняющей $' й в О. Ч(13) Пусть 9 — алгебра Лн, Ь вЂ” централнзатор йг 9 в р. Если Ь Сй %' р, то 0 обладает ненулевым центром. (Записать О = Ог 0 + Г, где 1 — нильпотептная подалгебра 9 (упражнеиие 12). Пусть и! = Ь + й Пусть (! — нильпотентнаа подалгебоьа, такаа, что О! = Ж"й! + (). Показать, что 0 Ж й + 0 н что Жь'0!<=1()0> 9. Пусть-р — элемент нз ф не принадлежащий !з' й. Эрписать у х+х', где хщ)), х'>м2>' 00 имеем х>жй и х чь О, следова- ГЛ.
|. АЛГЕБРЫ ЛИ 110 тельно, Ь()Ь вЂ” ненулевой идеал в Ь; используя упражнения 3 а), вывести отсюда, что существует ненулевой элемент в О, перестановочный с $' 5 и Ь.) «[14) Пусть 9 — алгебра Лн, Ь вЂ” субнормальнзя подалгебра в 5, централнзатор й(Ь) которой в Ь равен О. а) Цент~ализатор 1(Ж Ь) подалгебры $'~Ь а « содержится в $'"Ь.(Если й($'"Ь)|~ %' Ь, то 5(%'ыЬ) Ф Ь по упражнению 13; $|~Ь вЂ” идеал в 5 ($1, пражнение !4); пусть с Ь + 5($ Ь): с — подалгебра, Ь субнормальнз в с; — идеал в Ь~ |- с, причем Ь Ф Ь,; пусть у лм Ь|, у 1й Ь: у х -1- х' с х лм 5($'л'Ь), х'шЬ; кмеем хлм й(%| Ь) ПЬл, хлж5; Ь Кх+ Ь вЂ” подалгебра.
%' Ь=%' Ь„так как с()4(%'~Ь) |=%' Ь, откуда $'"5 ~%|АЬ для любого й; 5(увлЬ)() Ь (Е $' Ь, так что центр Ь не равен 0 по упражнению 13; значит н 5(Ь) Ф (О), чего не может быть.) б) Вывести из з), что если обозначить через $| алгебру дифференцирований $' Ь, а через а — центр %' Ь, то б)ш 5 ~(б)ш Ал+ Йш а (рассмотреть действке О на $' Ь присоединенным представлением). 15) Пусть 1 — алгебра Ли с нулевым центром, Зл — алгебра Ли ее дифференцирований, $)з — алгебра Ли дифференцирований %)ь ° ° ..
Тогда 1 — идем в Юь Зл — идеал з $|з, н т.,д. ($1, упражнение 15з)). Пусть З вЂ” алгебра Ли дифференцирований $' 1, а и — центр У 1. а) Имеем 41шйл~(б)ш З+ бпла. (Использовать предыдущее упражнение и упражнение 15 нз $1.) б) Вывести из а), что для достаточно большого 1 все дифференцирования алгебры члл внутренние. 16) Пусть ул н пв — две К-алгебры Ли, а и| и и| — нх наибольшие нильпотентные идеалы.
Показать, что наибольший нильпотентный идеал в 5| ,'< Оз равен и| )ч и|. 1?) рассмотрим алгебру Ли «в (упражнения.9а) н ее базис (хь х, хз). а) Пусть У вЂ” векторное пространство К[Х[. Пусть .0 — оператор дифференцирования по Х в У, а М вЂ” оператор умножения на Х в У. Показать, что если К имеет характеристику О, то отображение ах, + [)ха+ уха|-ь а()+ ()М+ у является неприводимым бесконечномерным представлением р алгебры 5 в У. б) Если К вЂ” поле характеристики р > О, то идеал (Хр) пространства К [Х[ январиантен ртносительно р (3).
для факторпредставления 3 в К [Х[~7(ХР) нк одна нз прямых не является устойчивой. 48) Пусть 9 — семимерное векторное пространство иад К -с базисом (е ) . Определим знакоперемениое коммутнронание на О формулами л!<!<7 [е„е 1 аЛзл+? (1 <1(1~<7, 1+1<7), (1) причем все остальные коммутаторы [ер з?[ равны нулю. а) Для того чтобы выполнилось тождество Якоби, необходимо н достаточно, чтобы — авзаы + а|вам О, (2) аыавл — алла|в + а мам (3) б) Будем, далее, предполагат|ь что все аИ отличны от О.
Показать, что зщеалы Лузй, %?з«, $?лй, язй, $?вй обладают следующими базисами: (ез, е„ев, зв, е|), (зо зв, ев, е|), (е,, ев е,), (ев, е,), (е,). Показать, что базисом централнзатора () ндеала $'вй являетси (ез, ез, е„ев, ев, е|)- УПРАЖНЕНИЯ в) пусть (е,.)1 < 1 . т — другой базис в й, такой, что базисом е'зй является (е ), базисом чг й является (ез, ет), ..., а базисом й являетси (е„е, е, ез, е, ет). Поиазать, что г вт в I в ']ер е21 пПев, +[)зв )ь1+ уевь1 2+ ...
+Аег, где I в 1 1 /-1 — 1 -1 1114«25Н16 Н24 = Н14Н251216 1124 ° г) Вывести отсюда, что если К бесконечно, то существует бесконечное множество попарно нензоморфных нильпотентнык семнмерных алгебр Ли над К, и что существуют комплексные нильпотентные алгебры Ли, которые не получаются из вещественных алгебр Ли расширением поля скаляров )1 до С. 10) а) Пусть й — алгебра Ли, Й вЂ” ее алгебра Лн дифференцирований. Определим по индукции характеристические идеалы й~ алгебры й следуюрб щнм образом: й1 й и я1 — подпространство в й, порожденное злемен- 161 12т11 тами Ох [вв вн 3, х вн 01 1). Следующие условия вквивалентиы: 1) любое диф- 121 вреренцнрование алгебры й иильпотентио; 2) 01 1 = [0) для достаточно рй большого й; 3) голоморф й нильпотентен.
Если они выполнены, то алгебра й называетсз харакгерисгически нильлотентной. Такая алгебра обязательно нильпотентна. б) Проверить, что следующая таблица умножения задает восьмимервую нпльпотентиую алгебру Ли; [х1, хв! хв, [хь хв]=хв, [х1, хв[=хв, [х1 хв[ хв [Х1, ХВ! ХВ, [Х1, Хг! ХВ, [22, ХВ] = ХВ [Хв, Хв! ХВ [хв, хв]=хю [хм хв]=2хв [хв, хв] — хт+хв [хв, хв! -хв н [хв х)] 0 здя 1+]>8.
Показать, что з з з з йгвй Х Кх; 1увй= Х Кхр й'46 Х Кх, 4рвй= Х Кхн 1=2 1 4 4=5 / 6 йввй=К . 2212=[0], [йтвй, жвй]-К +К, з и что аннулятор вввй по модулю чгвй равен ~ Кх, Вывести отсюда, что в=2 л1обое дифференцирование У алгебры й определено формулами ))хв з ~ и х . Показать далее, что и . =0 для любого й если характеристика 11 поля К отлична от 2, так что й — характернстнчески нильпотентная ал- гебра Лн. в) Показать, что если характеристика К не равна 2, то алгебра Ли О.ие является производной алгеброй никакой алгебры Лн [Если й м)1), то по- казать сначала, что 1) ннльпотентна.
Заметить, что йнп й]Ый = 2, что вместе с упражнением 7 в) влечет за собой противоречие.) д[ 20) Пусть й — алгебра Ля, У вЂ” ее универсальнаи обертывающая алгебра. а) Пусть й' — идеал в й, У' 1= У вЂ” его универсальная обертывающая алгебра, х еи й и ав,..., а„ вЂ” злементы из У. Предположим, что ав = х для индексов /1,..., ] и и вн У' для остальных индексов [пусть Гвн ..., й — атн 112 ГЛ. !.
АЛГЕБРЫ ЛИ индексы, причем й, < й « ... й ). Тогда а,а ... а„— х а а„... а ч' 1я ' я,,''' а является суммой членов ница х' Ь. тле Ь на У' и р' < р. (Доказать иядукцней по р.) б) Будем предполагать далее, что О нильпотентна и что характеристика поля К равна О. Пусть й' — идеал коразмерности 1 в а, У' — его универсальная обертывающая алгебра, х — элемент из р, ие принадлежащий О', Уо (соотв. Уз) — подалгебра У (соотв. У'), аннулируемая множеством Ь дифференцирований й (продолжающихся до дифференцирований У), переводящих О в О'. Предположим, что У, содержится в центре У и что У, ф У'. I Показать, что существуют элементы а~ чм У, аз ее У», такие, что а, ~ 0 н а = ха, + аз ~ Уз.
(Пусть х~Ь», + хю Ьщ-1+ ... + Ьз чп Уз, где Ь»»,..., Ьз пРинадлежат У', ш ) О, Ьш чь О. Показать, использУЯ а), что длв любого дифференцирования У чм Ь алгебры О выполняется УЬ„, = О, ш (Рх) Ь,„+ +УЬ„,, О, откуда У(шхЬю+ уж-~) 0.) Показать, что У, содержится в » » алгебре К[а, а,, Уо], порожденной а, а~, Уз н поле частных Уо (которое можно построить по следствию 7 теоремы 1 из $2). Вывести отсюда, что поле I частных Уо является полем, порожденным а и Уо.
Показать, что а трансцендентно над К [УД. в) Пусть (О] у, с О, с... с ря = Π— последовательность идеалои в О, имеющих размерности О, 1,..., л. Пусть х. — элемент й, не принадлежа- 1 щнй р1 Г пусть ( < ] « ... ( — индексы (, такие, что в У! (универсальной обертынающей алгебре для О ) существует элемент центра У алгебры У, не принадлежащий У! '. Согласно б), существуют а(, еж У ДУ1 и а, щ У! ганне, что, а.
чь 0 и а =х.а +а,щУ ПУ. Индукцией по я показать, 1 1! ! / У что Уо с К ] а,, а, а, ~~,..., а( ~) и что поле частных алгебры Уо порождено алгебраически независимыми элементами а1,..., а( . В частностгЬ поле частных центра алгебры У является чисто трансцендентнмм расширением К. ч] 21) Пусть й — алгебра Лн, а а — ее аатоморфизм. а) Предположим сначала, что К алгебранчески замкнуто; для любого Л щ К пусть Лл — множество х щ Ч, аннулируемых некоторой степенью а — л1; й равно прямой сумме лх. (показать, что ]Ею ля] с лхя.) заметить, что (а — Лр(1(!х, у]) =](а — Л() х, ау]+(Лх, (а — р1) у]. б) Для произвольного поля К предположим, что ии одно из собственных значений а (в алгебраическом замыкании К) не является корнем из единицы.
Показать, что О ннльпотентиа. (Свестн к случаю алгебраически замкнутого поля. Если ЛР ..., Л„, — различные собственные значения а, то ЛгЛР Л Л, Л~Л1,... не все янляются собственными значениями, поэтому эндоморфизм адах ннльпотентен при х щ ЛА . Сделать отсюда нужный вывод при помощи упражнения 11, примененного к множеству ад х, где х пробегает объединение 1.л ) в) При произвольном поле К предположим, что аз=1, где д — простое число, и что никакое собственное значение а не равно !.
Показать, что й нильпотеитна. (Тем же методом, что и в б), замечая, что если я М (0), то у не равно характеристике К, и что для любой пары Л„ Л собственных значений а существует целое число Ь, такое, что Л,Л1 — — 1.) з УПРАЖНЕНИЯ 22) а) Пусть и, е — два эндоморфизма конечномерного векторного про- странства Е над алгебраически замкнутым полем К. Для любого собствен- ного значения Л зндоморфнзма и пусть ЕА — подпространство в Е, состоя- щее из векторов, аннулируемых некоторой степенью эндомарфизма и — ЛЛ Показать, что если (ад и) о=О, то подпространства ЕА устойчивы относи- тельно е. б) Вывести из е), что если 9 — алгебра Ли ннльпотентных эндоморфиз- мов Е, то Š— прямая сумма подпространств р (1(((ш), устойчивых относительно 9 н таких, что ограничение любого элемента и гж 9 на каж- дое Р записывается в виде Л (и)г+ир где Л (и)щК н и нильпотеитен. в) Пусть К вЂ” поле характеристики 2, Е= К' и й — нильпотентнан ал- гебра 91(2, К); показать, что «г= 1 и что для двух элементов и, о из 9 может быть Л(и+ и) ~ Л(и) + Л(о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
