Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 27
Текст из файла (страница 27)
а) Если  — дифференцирование А, то показать, что существует дифференцирование 1)' алгебры я', н притом единственное, такое, что й'(х3а) = =хзВа для хшй, ашЛ. б) Пусть р — простое число, б — цикляческая группа порядка р, з — образующая 6. Пусть К вЂ” поле характеристики р, н будем считать далее, что А — групповая алгебра группы 6 над К. Показатгч что существует единственное дифференцирование 0 алгебры А, такое, что ))(з ) = йа для любого » си Е.
Показать, что К-лннейные комбинации »т»-1 элементов х9(з — 1)» (»=1, 2, ..., р-1, хси 6) образуют разрешимый идеад т алгебры 6' н что 6'!т нзоморфна 6. в) Пусть 6 проста (см. 5 6, п' 2, определение 2). Тогда т — радикал О', но не характеристический идеал. (Заметитгь что х! (х(9 (з — 1)) хз !.) 17) Пусть 6 — алгебра Ли. Предполэжии, что в любом непрнводииои 6-модуле М конечной размерности над К эндоморфнзиы х попарно перестановочны. Показать, что О разрешима, (Заметитгь что производная алгебра Е!О содержится в ннльпотентном радикале н, следовательно, разрешима.) Соглашения 6 6 остаются в силе, если не оговорено противное.
1( 1) Пусть Π— полупростая алгебра Ли, р — конечномерное представление ч в М. а) Если р — простое н ненулевое представление, то Нг (6, М) = (О) для любого р. (Испольэовать предложение 1 н упражнение 12 к) из 6 3.) б) Для любого р имеем Н'(О, М) = [О). (Если р просто и не является нулевым, то применить а). Если р нулевое, то испольэовать равенство О=Е!6. В общем случае доказывать ннкукцией по размерности р: если Н вЂ” некоторый й-подмодуль М, отличный от (О) н М, то использовать ночную последовательность: Н'(О, Н)- Н'(6, М)- Н'(О, М)Н), построенную в упражнении 12 е) из й 3).
Получить новое доказательство аамечания 2 из и' 2. в) Вывести из б) доказательство теоремы 2. (Использовать упражнение !2 ж) из з 3.) Вывестн также нз б), что любое дифференцирование О является внутренним. (Использовать упражнение 12 з) нз з 3.) г) Для любого р имеем Н' (6, М) = (О). (Рассуждать, как и в б), причем достаточно рассмотреть случай, когда р =О. Пусть с~ Нг (О, М).
Рассмот- УПРАЖНЕНИЯ реть в соответствии с упражнением 12 и) из 5 3 центральное расширение (1 алгебры 8 прв помощи М, определенное с. Присоединенное представление )) определяет представление 8 в )). Согласно теореме 2, М обладает в )) дополнением, устойчивым относительно 8, т. е. Расшврение является тривналькым. Поэтому с =0 согласно упражнению 12 в) из $3.) д) Вывести из б) и г) дохазательство теоремы 5. (Как и в основном тексте, ограни гнться случаем коммутатнвного радикала.) 2) Пусть 9 — алгебра Ли, т — ее радикал, (а„аь ...) — последовательность идеалов в 8, определеннан следующим образомм1) а, = (0); 2) аг+,/а,— максимальный коммутативный идеал в 9/аь Пусть р — наименьшее целое число, для которого ая — — ар+, =.... Показать, что т=ар.
(Показатгь что. 9/ар полупроста). 3) Для того чтобы алгебра Ли 9 была полупростой, необходимо н достаточно, чтобы она была реиуктивной в любой алгебре Ли, содержащей 8 в качестве подалгебры. (Если 5 удовлетворяет этому условию, то пусть М вЂ” произвольный 9-модуль конечной размерности иад К.
Рассматривая М как коммутатнвную алгебру, построить полупрямое произведение 8 н М, в котором 9 редуктнвна. Вывести отсюда, что М полупроста.) 4) Пусть 9 — полупростая алгебра Ли, р — непрнводнмое ненулевое представление 9 в конечномерном пространстве М. Пусть )) — соответствующее полупрямое произведение.Показать, что )) = м))), что центр 8 равен нулю н что (1 не является произведением полупростой и разрешимой алгебры.
5) Пусть а — алгебра Ли и т — ее радикал. Если т обладает убывающей последовательностью характеристических идеалов т = тз:и, ~ ... ~ т„ (О), таких что 41ш т /т+, =! для 0 ~1 < л то 8 равна произведению полуйростой и разрешимой алгебр. (Пусть Ю вЂ” подалгебра Леви в 8. Для любого х ш й пусть р (х) — ограничение аб х на ь Тогда р — прямая сумма представлений размерности 1, которые являются нулевыми, так как 6 = м1гк) 8) Пусть 8 — алгебра Лн, п1 9 — пересечение м>дй (р=1, 2, ...). Показать, что 8/м1 9 разрешима и что м>(м1 8) = Ю 9. Для того чтобы 8 была нзоморфна произведению полупростой н разрешимой алгебр, необходимо н достаточно, чтобы 31 8 была полупростой. 7) а) Пусть 8 — алгебра Лн. () — полупростой идеал в 8, а — централззатор (1 в 9, так что 8 совпадает с ()Ха.
Показать, что для любого идеала 1 алгебры 8 имеем 1=(1П8) Х (1Па). (Пусть 1, — каноническая проекция 1 на (1; это идеал в )), поэтому Ю1, 15 вывести отсюда, что 1, с 5) б) Пусть () — инварпантная билинейная форма иа 9. Показать, что (1 н а ортогональны относительно 5 (использовать равенство 0 = .0>0) н что 8 = Ц~ + ()м где 5~ (соотв. 5з) — билинейная инвариантиая форма, ограничение которой на а (соотв. на 9) равно нулю. в) Вывестн из а), что в 9 существует наибольший пзлупростой идеал.
(Рассмотреть максимальный полупростой идеал 9.) 8) Пусть 9 — алгебра Лн. Идеал (1 алгебры 8 называется минимальным, если ~ ~ (0) и если любой идеал в 8, содержащийся в )), равен либо (О), либо а) Любой простой идеал в 9 минимален. б) Пусть )) — минимальный идеал в 8 и т — радикал 8. Либо )) <=т, н в этом случае й абелев, либо «()т <= (0), и в этом случае (1 прост. (Использовать тот факт, что производная алгебра алгебры Ли и простые компоненты полупростой алгебры Ли характеристичиы.) 9) Для того чтобы алгебра Ли 8 была редуктивной, необходимо и достаточно, чтобы ее центр с совпадал с наибольшим нильпотентным 118' ГЛ. Е АЛГЕБРЫ ЛИ ждеалом.
(Если это условна выполнено, то пусть г — радикал 8; мзг содержится в центре г, поэтому г нильпотентно н г= с.) 10) Пусть 8 — алгебра Лн, такая, что условия хай, убей, Цх, У], У]=0 .влекут эа собой [х, у[=0. Показать, что й редуктнвяа. (Показать, что радикал г алгебры 8 коммутатнвен, я применить упражнение 3 нз $5. По- казать затем, что [8, г] 0.) $ 11) а) Пусть 8 — алгебра Лн, г — ее радикал, й — ее подалгебра Леви ж щ — идеал в 8.
содержащий г. Существует ндеал 0 подалгебры 6, допол- жяющнй а в й, такой, что [ш, 0] б) Пусть 8 — алгебра Лн, а — субнормальная подалгебра в П. Тогда ЮУЩЕСтВУЕт КОМПОЗИЦИОННЫЙ РЯД й=йе~ 81 ~ ... ~ ба=а, таКОй, ЧтО чт, — прямая сумма йее1 и подалгебры 21, которая либо одномерна и содер- жнтся в радикале г(8 ) алгебры 8, либо проста и такова, что [1)1, й,т,1г„-, <=г(81+1). (Свестн к случаю, когда а — идеал в 8. Пусть 8' 8/а н г'— радикал 8'. Алгебра 8'/г' является произведением своих простых ндеа- жов а1, а„..., аг. В качестве нормального ряда П' выбрать нормальный ряд раднкала г', факторы которого одномерны, н полтые прообразы ндеалов аь аг Хо~ "° а~ Хаз Х ° Хаю Затем рассмотреть полный прообраз в 8 этого композиционного ряда.) 12) Пусть й — алгебра Лн, г — ее радннал н /) — днфференцврованне 8.
а) Если /1(г) (0], то Р— внутреннее дифференцирование. (Пусть с — централнзатор г в 8. Прясоедяненное представление й индуцирует пред- ставленне х' ь — ь р (х*) алгебры 0* 8/г в с. С другой стороны, [/)(8), г] ~ ~ /)([8 г]) + [8 Р (г)] = (О), откуда /1 (я) с с, так что /1 определяет линей- .мое отображение/)'. 8*-ьс. Показать, что /г*([х', У*1)=р (х ) 11 У вЂ” р (У ) /З х ,для любых х", у* нз 8'. Вывести отсюда, что существует элемент а гп с, такой, что 11'х'=р(х')а для любого х'щй' (ср.
с п'2, замечание 2), откуда 11х= [х, а] для любого х гм 8.) б) Если /1 на радикале г совпадает с некоторым внутренннм днфферен- .цнрованнем 8, то оно — внутреннее дифференцирование. (Прнменнть а).) 13) Пусть й — алгебра Лн над алгебранческн замкнутым полем, г — ее радикал, а р — вепрнводнмое конечномерное представленне. Тогда р (з) ска- „аярен для любого хщ г. (Свестн к случаю, когда 0 редуктнвна.
В этом слу- чае т — центр 8.) 14) Пусть Х вЂ” ннльпотентиая матраца нз 81 (и, К). Показать, что в 81(п, К) найдутся две другне матрнцы У, Н, такие, что [Н, Х] = Х, ,[Н, у[ = — у, [Х, у] = Н. (Доказывать яндукцяей по и, используя жорда- л1ову форму Х; свести доказательство к случаю, когда Х = Еы + Е,з + ...
...+Ея ц „,. выбрать в качестве У некоторую лянейную комбинацию Е» а .а в качестве Н вЂ” некоторую лянейную комбннацню Е//.) Я 15) а) Пусть Х, У вЂ” две матрицы нз 81(п, К). Показать, что если ~., '[=, Х, У[ =Х, то Х ннльпотентна. (Для любого / щ К [Г] заметить, что /(х), у] = х/'(х).) б) Пусть й — алгебра Лн, Ь, х — два элемента из й, такие, что [Ь, х] х, прнчем существует хай, для которого [х, г]=Ь. Показать, что суще- ствует Угп 8, такое, что [х, у] = Ь н [й, у] = — У.
(Показать сначала, что [х, й]+з прянадлежнт централнзатору и элемента х в й. Показать затем. что п устойчнв относительно зад н что ограннчеяне на п эндоморфнзма 1 — адй бнективно; для доказательства этого заметить, что, согласно а), .вздоморфнзм айх ннльпотентен, н доказать, что если 8 — образ й пря (ад х), то 1 — аб й нндуцнрует прн факторнзацнн бяекцню яа (п П 0,)/(и П 81); жспользовать соотношенне [абз. (абх) 1= — й(адх) ~адй+ — 1).) а ь1Г й — 1 2 УПРАЖНЕНИЯ в) Пусть 6 — подалгебра в 61 (п, К); предположим, что для любо» нильпотеитиой матрицы Х гп я существуют две другие матрицы Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
