Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 30
Текст из файла (страница 30)
и З и; нз всего этого получаем, что (и, Э пп) (с (х)) = с (х) — х Э и — и 9 х + е (х) . и З и. ГЛ. и. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ С другой стороны, с+ (п„(х)) = с (х) — х !Э и — и !Э х + в (х) . и З и, откуда и следует формула (4). Так как Е+ — прямое слагаемое в Е, то можно отождествить Е" ® Е+ с прямым слагаемым модуля Е Э Е.
При таком отождествлении и„ ® и„ является проектированием Е З Е на Е+ З Е+. Согласно формуле (4), с„+ отображает Е+ в Е+ й! Е+ и и„— морфизм коалгебры (Е, с) в коалгебру (Е+, с+). Пввдложение 3. Если коалгебра (Е, с) коассоциативна (соотв. кокоммутативна) (А!д., свар.
П1, р. 143 — 144), то такова же и коалгебра (Е+, с,+) Это вытекает из следующей леммы: Лемма 1. Лусть ги Е- Е' — сюрвективный морфием коалгебр. Если Е коассоциативна (соотв. кокоммутативна)„то такова же и Е'. Пусть  — ассоциативная К-алгебра; тогда отображение 1~-~ !оп является инъектнвным гомоморфизмом алгебры Нотк(Е', В) в алгебру Ноте(Е, В).
Достаточно поэтому применить предложение ! (соотв. предложение 2) из А!д., свар. П1, р. 143 (соотв. !44). 2. Примитивные элементы биалеебры Пусть Š— биалгебра (АЕу., сйар.„П1, р. 148), с — ее копроизведение, в — ее коединица, 1 — ее единичный элемент. Так как в(!) =1 и с(1)=1 Э 1, то можно применить результаты предыдущего пункта при и=!. Назовем просто примитивнььии (см.
А!д., свар. П1, р. 164) 1-нримитивные элементы из Е (и' 1, определение 1), т. е. элементы х модуля Е, такие, что с(х) = х Э ! + 1 ® х. Будем вместо п„|1„Р, (Е), с+ писать просто и, т!, Р(Е), с+. Пгедложение 4. Множество Р(Е) примитивных элементов в Е является подалгеброй Ли алгебры Е. Если х, у — элементы Р(Е), то с (ху) = с (х) с (у) = (х З 1 + 1 Э х) (у ® 1 + 1 З у) = =ху®1+! Зху+х®у4-у Эх, откуда с([х, у)) =[х, у] З 1+1 8 [х, у[. $1.
ОБЕРТЫБАЮЩАЯ БИАЛГЕБРА АЛГЕБРЫ ЛИ 127 Предложение 5. Пусть 1: Š— «Е' — морфием биалгебр. Если х — примитивный элемент в Е, то )(х) — примитивный элемент в Е' и ограничение )' на Р(Е) является гомоморфизмом алгебр н7и Р())1 Р (Е) -«Р (Е'). Пусть с (соотв. с') — копроизведение в Е (соотв. в Е'). Так как ) — морфизм коалгебр, то с'е) =() Э )) чс, откуда с' (~ (х)) = Д Э )) (с (х)) = () Э )) (х Э 1 + 1 Э х) = 1(х) Э 1 + 1 Э ) (х), если х примитивен. Поэтому 1 отображает Р(Е) в Р(Е') и 1(1» у])=11 (х) ) (у)1 так как ) — гомоморфизм алгебр. Замечания. 1) Пусть Р— простое число, такое, что р ° 1=0 в К.
Биномиальная формула и сравнения 1 1— = 0(п)обр) для ~) ) 1К1(р — 1 позволяют утверждать, что Р(Е) устойчиво относительно отображения х «хл. 2) По определению диаграмма + с+ 0 — «Р (Е) — «Е+ — Е+ Э Е+ является точной последовательностью. Если К' — коммутативное кольцо и р: К-« К' — гомоморфизм колец, то р'(Е) = Е Э„ К' есть К'-биалгебра и вложение Р(Е) -«Е определяет гомоморфизм К'-алгебр Ли а: Р(Е) Э»К'-«Р(Е Э»К'). Если К' плоско над К (Комм. алг., гл.!, 5 2, и' 3, определение 2), то это влечет за собой (см. там же), что диаграмма с+Э 1г 0 Р(Н)Е К' С+в К' 1Е+Е К')Е 1Н" Е К') является точной последовательностью, т. е. а — изоморфизм.
=иЕ., н ««о Е .Е„с=Е чв для пз~)0, п)0, с(Е„)с: 2 1гп(Е,ЭЕ)) для п-БО'). 1«)=л (б) ') Если А и  — поднодули в Е, то через гп) (А Э В) обозначается образ канонического отображения А ЭВ «Е ЭЕ. 8. Фильтрованные биалгебры Определение 2. Пусть Š— биалгебра с копроизведением с. Фильтрацией, совместимой со структурой биалгебрь1 Е, называется возрастаюи(ая последовательность (Ел)н>о подмодулей Е, такая, что гп. и. своводныя ллгяв ы ли 128 фильтрованной биалгеброй называется биалгебра, обладающая некоторой фильтрацией, совместимой со структурой биалгебры. Пример. Пусть Š— градуированйая биалгебра (А1д., с)1ар.
Ш, р. 148, бе11п111оп 3), (Е")„— ее градуировка. Положим Е„= ~~~, Е'. Последовательность (Е„) является фильтрацией, сор=р вместимой со структурой биалгебры на Е, Птядложяния 6. Пусть Š— фильтрованная биалгебра, (Е„)„»,— ее фильтрация. Для любого целого и' 0 пусть Е„'= Е„ДЕ+. Тогда Ер +— — (0) и с+(Е„+) с: ~1пз(Е~+ З Е„+~) при п »0. (7) Так как Е,=К.1, то Ер =О.
Если хеяЕ„, то п(х)=х— — е(х).1 (формула (1)), поэтому п(х) яп Е+ и п(Е„) с: Е~. Отсюда следует, что п®я отображает 1пт(Е~ ЭЕ~) в 1т(Е;+ ЗЕ~') для любых 1=-:О, 1~)0. Так как с+=(из п)ос в Е+ (п' 1, предложение 2), то, согласно (б), имеем П л-! с+(Е„+)с: ~ !гп(Е~+ З Е„+~)= 2 1т(Е~ ® Е„";). Следствия. Элементы из Е~~ примитивны. Если х чя Е~, то с+ (х) = 0 вследствие (7), откуда вытекает (5).
и. Обертывающая биалгебра алгебры Ли Напомним, что й обозначает алгебру Ли, У вЂ” ее универсальную обертываюшую алгебру, наделенную канонической фильтрацией (Уь)ь» р. Пвядложяния 7. Существует единственное копроиэведение с на алгебре У, превращающее ее в биалгебру, в которой элементы а (й) примитивны. Биалгебра (У, с) кокоммутативна; ее коединица является линейной формой з, такой, что постоянный член (гл. 1, 5 2, п'1) любого элемента х алгебры У равен е(х).1. Каноническая фильтрация (У„)„» алгебры У совместима с такой структурой биалгебры. а) Пусть х ея й; положим ср (х) = а (х) 8 1 + 1 чс а (х) ~ У 8 У.
Если х, У вЂ” элементы из й, то ср(х) ср(У) =(а(х) а(У)) Э 1+ $1. ОБЕРТЫВАЮШАЯ БНАЛГЕБРА АЛГЕБРЫ ЛН + 1 9 (о(х) о(у))+ о(х)Эо(у)+ о(у) Э о(х), откуда [со(х), со(у)[=со([х, у]). Согласно свойству универсальности алгебры У (гл. 1, $2, и' 2, предложение 1), существует гомоморфизм алгебр с единицей, и притом единственный, такой, что : У- УЭУ и с(о(х)) =о(х) Э 1+! Э о(х) для любого х~ й. Это доказывает утверждение о единственности в предложении 7. б) Покажем, что с коассоциативно.
В самом деле, линейные отображения с' и с" модуля У в У Э У Э У, определенные формулами с' (с Э 1би) л с и сн = (1ди Э с) л с, являются гомоморфизмами алгебр с единицей, совпадающими на о(й), ибо при а оно(а) имеем с' (а) = а Э 1 Э 1 + 1 Э а Э 1 + 1 Э 1 Э а = с" (а), откуда и следует требуемое. в) Покажем, что с кокоммутативно, Пусть т — автоморфизм У Э У, такой, что т(а Э Ь) =Ь Э а для а, Ь из У.
Отображения тлс н с модуля У в У Э У суть гомоморфизмы алгебр с единицей, совпадающие на о(й), откуда н следует кокоммутатнвность. г) Покажем, что е — коедини)(а для с. В самом деле, отображения (1бо Э е) лс и (е Э 1бо) лс модуля У в У являются гомоморфизмами алгебр с единицей, совпадающими с 1бс на о(й). д) Мы знаем, что Уо — — К.1, У„сУ„+„У= О Ул и УР.У ~ л>о с=УР+ (гл. 1, 5 2, и'6).
Пусть а„..„ал — элементы нз о(й). Имеем л л с (а, ... ал) = Ц с (а) = Ц (а, Э 1 + ! Э а)) = 1=1 1=1 л Х А (аа <1) ' ' ' аа 11)) Э (аа 11+1) . аа )л)) (8) )=О а~)Н) где ! (!) обозначает множество перестановок нз (1, и), возрастающих в каждом из интервалов (1, !) и (1'+1, л). Так как У„ есть К-модуль, порожденный произведениями не более чем н элементов нз о(й), формула (8) показывает, что фильтрация (Ул) является совместимой со структурой биалгебры на (У, с). Оп~еделение 3. Биалгебра (У, с) называется оберто)еающей биалгеброй алгебры )уи й.
5 Н. Бурблкл ГЛ. 11. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Пвадложвние 8. Пусть Š— биалгебра с копроизведением се, и пусть Ь вЂ” гомоморфизм алгебры Ли 8 в Р(Е) (и 2, предложение 4). Гомоморфизм алгебр с единицей ): У-»Е, такои, что 1(о(х)) =Ь(х) для любого «И 8, является морфизмом биалгебр.
Покажем, что () Э1) ° с=се~). Обе части этого равенства являются гомоморфизмами алгебр с единицей, причем отображают алгебру У в Е Э Е, и для каждого а чно(й) имеем (1 Э )) (с (а)) = ) (а) Э 1 + 1 Э ) (а) = се ('1 (а)), так как 1(а) еи Р(Е). Аналогично, если зв — коединица в Е, то зз»1 — гомоморфизм алгебр с единицей У-+ К, нулевой на в(8) (и'1, предложение 1) и, значит, совпадающий с з.
Из предложений 5 и 8 следует, что отображение 1»-»~»о Определяет взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами биалгебр У (8) — Е и гомоморфизмами алгебр Ли 8-» Р(Е). Следствие. Пусть й, (1'=1, 2) — алгебра Ли, У(81) — ее обертываютцая биалгебра, о,: й, -» У (81) — каноническое отображение. Для любого гомоморфизма алгебр Ли Ь: 8, — »йт гомоморфизм алгебр с единицей У(Ь): У(81)-»У(9,), такой, что У(Ь) а, =от Ь (гл. 1, 5 2, и' 1), является морфизмом биалгебр. б, Структура коалгебры У(8) в случае нулевой характеристики В этом пункте К вЂ” поле характеристики О.
Пусть 8(а) — симметрическая алгебра векторного пространства й, сз — ее копронзведение (А1д., с(1ар. 1П, р. 139, ехетпр1е 6), 1) — канойическнй нзоморфнзм векторного пространства 8(9) на векторное пространство У (гл. 1, 5 2, и' 7). Напомним, что если х„..., х„— элементы из 8, то 1 ч~ 8(х„..., х„)= — ~ о(х,1,1) ... о(х,1ю). Л В частности, для х ~ 8 и и ~ 0 имеем 11 (х") = о (х)".
(10) Заметим, что, согласно замечанию 3 из А1й., с)1ар. П1, р. 68, т) — единственное линейное отображение 8 (8) в У, удовлетворяющее условию (10). Пведложение 9. Для любого целого числа и )~ 0 пусть 43" — надпространство в У, порожденное (о (х))" для любых х ~ й. $ ь ОБеРТИВАющАя БиАлгеБРА АлгеБРы ли а) Ряд (У")„> является градуировкой векторного пространства У, совместимой со структуоьой коалгебры. Наделим У градуировкой (У ). б) Каноническое отображение тр 8(й)-РУ является изоморфизмом градуированных коалгебр. Пусть х~ 2 и пенХ. Тогда сз (х") = сз (х)" = (х Э 1 + 1 Э х)" = ~ ( .
) х' Э х" ', (11) ~-о так как сз — гомоморфизм алгебр. Аналогично, согласно (10), с(т!(х")) =с(в(х)") =с(о(х))"=(о(х) Э 1+ 1 9 о(х))"= я л Ф ( " ) о (х)' Э о (х)" = ~ ( . ) 11(х') Э т)(х"-'), (12) откуда (Ч Э т!) (сз (х")) = с (т) (х")). Так как х" прн хаий и п~ Р( порождают векторное пространство 8(й), то (т) Э т))осе=сот), т. е.,п — изоморфизм коалгебоь. Кроме того, формула (!0) показывает, что т!(8" (а))=У, что и завершает доказательство а) и б), если учесть, что градунровка алгебры 8(й) совместима со структурой коалгебры на ней. Градуировка (У")„> алгебры У называется канонической градуировкой.
Следствие. Каноническое отображение в определяет изоморфизм алгебры й на алгебру Ди Р(У) примитивных элементов в У. Так как с+ — гомоморфизм градуированных алгебр степени О, то Р(У) = Х (Р(У)() У"). в>! Достаточно доказать, что если и > 1 и а еи У" примитивен, то а=О. Элемент а записывается в виде ~ Л,а,", где Л,ыК, а, еи в (а). Согласно (12), член бистепени (1, и — 1) элемента с+ (а) равен п~,Л,а,Э а,".-'. Имеем поэтому 2;Л,а, Э а,"."' =О. Если рл У Э У-РУ вЂ” линейное отображение, определенное умножением в У, то а ~ Л,а"=!А Г~Л.а Э а" ') =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
