Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 28
Текст из файла (страница 28)
У в 6. такие, что [Н, Х] = Х, [Н, У] = — У, [Х. г] = Н. Пусть й — подалгебра в 6 такая, что существует дополнительное подпространство пг к й в й, для которого [[), ш] ~ щ. Показатгь что () обладает тем же свойством, что и Р по отношению к своим ннльпотентиым матрицам (использовать 6)). 16) Пусть 6 — подалгебра 61(а, К), такая, что тождественное представление 6 полупросто. Показать, что любая нильпотеитная матрица Х ~в 6.
содержится в простой трехмерной подалгебре й. (Показатгь что 6 редуктивна в 61(я, К); использовать затем упражнения 14 н 16 в).) 17) Показать, что алгебра, получающаяся нз простой вещественной- алгебры Ли расширением поля скалиров й до С, не всегда проста. (Пусть 6 — простая вещественная алгебра Ли. Если й' = у,с> — простая алгебра то пусть () — вещественная алгебра Ли, получающаяся нз 6' сужением.
на [1 поля скаляров. Известно, что 1) проста. Тогда й,сг согласно упражнению 4 из в 1, является произведением двух злгебр, изоморфных 6'. Ср. также, с упражнением 26 б).) !8 а) Пусть 6 — простая алгебра Ли. Любая билинейная инвариантна» на 6 форма либо равна нулю, либо невырожденча. Если К алгебранческм. замкнуто, то любая билинейная ннварнаитная форма [) на й пропорциональна форме Кнллннга [) . (Рассмотреть эндоморфнзм и векторного пространства 6,, определенный формулой 6(х, у) = йз(пх, у), н показать, что и пеуестановочеи с ад х дли любого х, а значит, скалярен.) Показать, что этот результат может не иметь места, если К не алгебраическн замкнуто. (Использовать упражнение 17 и тот факт, что размерность пространства билинейных нивариантиых форм ие изменяется при расширении поля скаляров.) б) Пусть 6 — полупростая алгебра Лн нзд алгебранчески замкнутым полем. Вывестн из а) н упражнения 7 б), что размерность пространства бнлинейныж ннварнантных форм на 6 равна числу простых компонент 6 и что все этм формы являются симметрическими.
в) Пусть 6 — простая алгебра Ли, М вЂ” пространство, дуальное к векторному пространству я. наделенному структурой модуля присоединенного представления 6, [) — полупрямое произведение Я и М, определенное к г-ь х . Дл» любых у, я нз й и у', а' нз М положим [3(у+ у', я+ з') =(у, в) +(я, у')- Показать, что [] является симметрической иизариаитной билинейной формой иа 1), ие ассоциированной нн с каким представлением 7). (Заметить, что радикал н нильпотентиый радикал алгебры 6 равны М.) 19) Пусть й — редуктивная алгебра Лн, У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра, Х вЂ” центр У и У вЂ” подпрострапство в У, порожденное влементами вида ио — ои (и щ У, в се У).
э) У раж~о прнмой сумме 2 и ]г. (Применить предложение 6 нз э З. к представзению х ь-ь ад х алгебры 6 в У, замечая, что в разложению У = ~ У" из 5 2, п' 7, следствие 4 теоремы !, подпространства У" устойз чнвы относительно этого представления.) б) Пусть и ь-ь иь — проектирование У на Х параллельно У.
Показать что (ив)" = (еи)Е, (ли)Ь = яи» для любых а щ У, е ев У, з я Х. в) Пусть 17 — двусторонний идеал в У. Показатгь что 11=(зт'ПХ)+(11П )')- (Доказательство того факта, что компонента в У элемента г нэ 1Г прниазлежит К, свестн к случаю, когда К алгебранческн замкнуто; заметнтть что )2 устойчив относительно представления р алгебры У в У, продолжающег<ь ли ъаб х, разложить г относительно У"; применить, наконец, к ограннче-. и нню р на У" следствие 2 теоремы 1 нз Алг., гл. УП1, 6 4, п'2.) 420 гл, г.
длгннры ли г) Пусть В' — идеал э Х, в )[, — двусторонний идеал в (г, порожденный К, Показать, что 4[,(]2 )с'. (Использовать б).) 20) Предположим, что К алгебранчески замкнуто, Пусть й — алгебра Ли а с — ее центр. а) Если й обладает точным конечномерным неприводимым представлением, то й редуктизиа н гИш с~1. б) Обратно, если й редуктивпа н б!ш с ~ 1, то й обладает трчным неприводниым конечномерным представлением, (Если й — простая, то использовать пРнсоединениое пРедставление.
Показать, что если 9 =9~ Х йз н йь йз обладают точными иеприводимыми конечиомернымн представлениями рь р, в пространствах Мь Мэ то (хь х,) ь-ьр~(х~) 3! +! 3 рз (хз) — полупростое представление р алгебры й н ценгрализатор й-модуля М, ® М, состоит из одних скаляроэ, так что р на саиои деле просто. Н случае когда й, н йз полупросты илн й, полупроста, а йз коммутативна, показать, что р точно, рассматривая ядро р, являющееся идеалом в й~ Х йь) 21) Пусть У вЂ” векторное пространство над К конечной размерности .л > 1.
Показать, что й!(У) проста. (Свести к случаю, когда К алгебранчесхн замкнуто. Предположим, что й!(У) =аХ Ь, причем д)ша = а>0, д!ш0 = =Ь > О. Пусть А (соотв. В) — ассоциативная алгебра, порожденная 1 и а (соотв. Ь). Тогда У можно рассматрнаать как простой (А ® В)-модуль. Следовательно, существуют А-модуль Р конечной размерности р иад К и В-модуль Г) конечной размерности д над й, такие, что У будет (А ®К В)-изоморфным Р3 Я (Алг., гл. УП1, 5 1, и'У, предложение 8, и п'4, теорема 2); Р и Г) точны, следовательно, а~р'. Ь~йз. С другой стороны, .а+Ь=п' — 1, ро=п, откуда (р' — !) (4з — !) ~2 и тем самым получается противоречие.) 22) а) Пусть й — нильпотентиая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем К произвольной характеристики.
Пусть Ь вЂ” ее центр, р — коиечномериое представление й, й — ассоциированная билинейная форма, Показать, что Ь[) 219 ортогонально к й относительно [). (Снести, используя последомтельность Жордана — Гельдера, к случаю, когда р непрнводнмо. Заметить в этом случае, что для любого ящй[)Яй р(г) — скалярная матрица с нулевым следом. Иснользоватгь далее, упражнение 22 б) из з 4.) Вывестн отсюда, что если й неэырожденна, то й коммутатиана. (Использовать упражненение За) из $4.) б) Предположим, что К вЂ” поле характеристики 2.
Показать, что для разрешимой алгебры Лн 91 (2, К) = 9 билинейная форма, ассоциированная с тождественным представлением, невырожденна, а центр й содержится э Яй и отличен от (О). э) Пусть й — шестимерная алгебра Ли над К, обладающая базисом (а, Ь, с, г1, е, ]) с таблицей умножения [а, Ь]= — [Ь, а] Н, [а, с] — [с, а] =е, [Ь, с] = — [с, Ь] =( (остальные коммутаторы равны нулю). Пусть [1 — билинейная форма на 9, такая, что [)(с, д) =[1(г1, с) 1, [)(а, ])=5(], а) 1, 0(Ь. е) [)(е. Ь) — 1, причем остальные значения [) на парах элементов нз рассматриваемого базиса равны нулю.
Показать, что [) инвариантна, й нильпотентна, й= Яй ~ (О) и [) незыро>кденна. 23) Пусть й — некоммутативная трехмерная алгебра Лн над полем К произвольной характеристики. а) Если й обладает ненулевым центром ЬФ[0], то д!ш Ь = 1 ($1, упражнение 2) и й[ш Е!9 = 1. Если й чьмзй, то 0 в прямая сумма Ь и иекоммутагнаной двумерной алгебры, Если й = Е!й, то й — некоммутатиэная ннльпотентная алгебра (э 4, упражнение 9а)).
б) Если Ь=(0), но в 9 имеется двумерная коммутативная подалгебра, -то эта подалгебра единственна и равна Яй! для любого я зь Ый ограннче- 121 пнрлжнпння ние и эндоморфнзма аб х на Юб является биекцией этого векторного пространства, определенной с точностью до постоянного множителя. Обратно, любой автоморфнзм и двумерного векторного пространства Ка+ КЬ апре. деляет структуру алгебры Ли на К=Ка+КЬ+Кс при помощи условий [а, Ь]=О, [с. а] и(а), [с, Ь] и(Ь). Дяя того чтобы две алгебры Ля, иределенные таким образом, были изоморфны, необходимо н достаточно, чтобы матрицы задающих нх автоморфизмов отличалясь лишь скалярным множителем.
в) Предположим, что в 6 нет более чем одномерной коммутативной подалгебры. Показать, что тогда существует элемент ащФ такой, что аф ~(або)(у) (предполагая, что некоторый элемент к не обладает этим свойством, показать, используя тождество Якоби, что некоторый другой элемент обладает желаемым свойством). Существует тогда базис (а, Ь, с) алгебры а, в котором [а, Ь]=с, [а, с] 6Ь, [Ь, с]=та, причем ()ФО и учьО, а 6 простая. Пусть ~р — канонический изоморфизм й иа виешяюю степень з Д 6* пространства, дуального к й, определенный с точностью до обратимой константы (Алг., гл.
Ш, в 8, и'6); пусть и — линейное отображение й в 6', определенное условием ([х, у], и(г)) (х Л у, <р(з)); билинейная форма Ф(х, у) =(х, и(у)) иа йХ6 симметрична и невырождеина и 2Ф вЂ” форма Кнллиига я с точностью до ненулевого множнтечя. Для того чтобы дае простые алгебры размерности 3 иад К были нзоморфны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие нм билинейные формы были эквивалентны с точностью до постоянного множителя, отличного от нуля. г) Если характернстяка К не равна 2, то врастая алгебра Ли э, определенная в в), изоморфиа алгебре Ли о(Ф) формальной ортогональной группы О(Ф) (э 1, упражнение 26 а)).
Для того чтобы в й были векторы х, такие, что эидоморфизм ай к обладает собственными векторами, не пропорциональнымн х, необходимо н достаточно, чтобы Ф была формой ненулевого индекса: й обладает таким базисом (а, Ь, г), что [а, Ь]=-Ь, [а, г]= — с, [Ь, с] =а. д) Показать, что если К вЂ” поле характеристики 2, то в я не существует 2-отображения н, следовательно, и не является алгеброй Ли никакой формальной группы.
Показать, что 6 обладает дифференцированиями, не явлвющнмися внутренними. $ 24) Пусть К вЂ” воле произвольной характеристики р. Примем также определение'1. а) Показать, что, за исключением р л = 2, единственными нетривнальг ными идеаламЯ в 61(л, К) ЯвлЯютсЯ центР Ь РазмеРности 1 с базисом )~Ен г ! и алгебра Ли Ь1(л, К), состоящая из матриц со следом О. (Заметим, что, зэ исключением отмеченного случая, если идеал и содержит матрицу ЕН, то ои обязательно содержит 61 (л, К). Если а содержит элемент, не принадлежащий центру Ь, то, умножая этот элемент не более чем на четыре подходящим образом выбранных элемента Еиб можно получить венулевое кратное одного из Еор) Показать, что если л не кратно р, то 61(л, К) явлнется прямой суммой 61(л, К) и Ь, причем 61(л, К) проста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
