Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(Сравнить размерности Йш(Урх) = ЙшУр, Йгп(Уру) =д!шУр и д!шУр+а. Вывести отсюда, что УрхП ПУру Ф (О] для достаточно больших р.) б) Показать, что У обладает левым телом частных (Алг., гл. 1, 3 9 упражнение 8), которое является в яо же время и правым телом частных. 53 1) Пусть 3 — алгебра Ли, р — представление 3 в К-модуле М, о — ассо- циированное с ним представление 3 в тензорной алгебре модуля М.
Пока- зать, что подмодуль симметрических тензоров и подмодуль антисимметрн- ческих тензоров являются устойчивыми относительно о. 2) Пусть 3 — алгебра Ли, р — представление 8 в К-модуле М, о — ассо- циированное с ним представление 8 в г',1 =ж(М, М; М). Для того чтобы элемент ]зм Я был ннвариантным относительно о, необходимо и достаточно, чтобы р(х) были днфференцированинми модуля М, наделенного умножениеы при помощи !. 3) Пусть У вЂ” кояечномерное векторное пространство над совершенныы полем К. а) Тождественное отображение алгебры 81(У) определяет каноническим ч образом представление алгебры 31(У) в ® У и ]3 У', а значит, и предста- вление из —:ь ир алгебры 31(У) в Ур= Щ У) ® ~® У*). Показать, что эндоморфизм ия полупрост, если полупрост и.
(Расширяя поле скаляров свести доказательство к случаю, когда К алгебраически замкнуто.) Показать. что иР нильпотентен, если нильпотентен и. Вывести отсюда, что если а и л — полупростая и нильпотентная компоненты и, то зр и лр — полупростаэ ч и нильпотентная компоненты эндоморфнзма ир. б) Вывести из а), что если элемент из УР аннулируется эндоморфизч мом ир, то он аннулируется зр и ир. ч в) Вывести из б) и упражнения 2, что если У наделено структурой ие обязательно ассоциативной алгебры и если и — дифференцирование У, то а и и — дифференцирования У, $4) Предположим, что К вЂ” поле.
Пусть и есть К-алгебра Ли. а) Пусть М и Ж вЂ” два й-модуля, причем А! конечномерен над К. Пусть (]1)1~.< — базис А! над К. Если элементы еь ..., е„модуля М, ие все ! ~)~а УПРАЖНЕНИЯ (ОЗ равные О, таковы. что элемент ~ егчр) инварвантен в МЯУ АГ. то подпро! ! страиство М, модуля М, порожденное еу..., е„, устойчиво относительно х если, кроме того, Аг — простой модуль, то представление д в М, дуальйо представлению д в Аг. б) Пусть Мь Мт, АГ, АГ' суть д-модули, коиечиомериые над К. Предположим, что модули М, и М, простые и что представления д в Ф и А(' дуальиы.
Для того чтобы д-модуль М, был изоморфен д-подмодулю в М,®)у, необходимо и достаточно, чтобы Мэ был изоморфен д-подмодулю в М,®А('. (Использовать предложение 4; рассмотреть представление д в М~фМ фй( и применить а) к представлению, дуальиому к этому последнему.) 1) 5) Предположим, что К - поле характеристики О.
Пусть )г — коиечномерное векторное пространство иад К, д = 61()г), 0 - универсальная обертывающая алгебра для д, ()в — множество элементов с фильтрацией (~л в ((, оа — множество образов в () однородных симметрических теизоров степени и иад д, (аь..., а„) — базис векторного пространства д. Пусть ()г = ® )т. Тождественное представление д определяет ее представление в йт„которое продолжается до гомоморфиэма нз алгебры (Г в алгебру Ма Я (й'а). а) Пусть М,— подпростраиство в М, порождеииое элемеитамн вида р,йр() Ор ... Ор(),, где () ~Я((г) и (), 1 по крайней мере для одного 1.
Пусть к — злемеит из ((, х = т а ~ аг ... ат — его ком- !~ГР ..., Г ~Ю понента в Ут, где п) г симметРнчиы относительно пеРестановок индексов. !"' г Показать, что н,(к)=з( Е пг,...г,нг,йй ". Зн, (щобМ,). ~ ~ й, .... г,<ю б) Вывести из а), что для любого гам(т существует конечномерное представление н алгебры ст, такое, что н(з) ть О.
(Одно из следствий из этого упражнения см. в й 7, упражнение 3.) 6) Предположим, что К вЂ” поле. Пусть д есть К-алгебра Ли, к т-м х м конечномерное представление д, (ер ..., е„) — базис в М и (е, ..., а„)— дуальиый базис. г а) Пусть 1 — линейная форма на ® М; тогда 1(е, 9 ... ®е, )(е; ф ... За, ). 1<юг ..., ~„<а б) Пусть д — невырожденная билинейная форма на М, инварнантнаи I / относительно д. Пусть (аи .... в„) — базис в М, такой, что 11(е, е ) Ьг. г Пусть ( — ннварнаитная линейная форма иа ® М. Вывести нз а), что 1(ег чр... Зе, )(е, 9...
9 вг ) à — инвариантный элемент в ®М, ие зависящий от выбора базиса (е ). в) Пусть () — универсальная обертывающаи алгебра для д, (г' — пространство, дуальное к пространству ((. Присоединенное представлеане д 104 ГЛ. 1. АЛГЕБРЫ ЛМ продолз<ается до представления х ~-Р хи алгебры 9 в У, определяемого фор- мулой х и хи — их для любого и ~ У. Поэтому У' наделено структурой и <)-модуля. Для того чтобы элемент ) пространства У' был ннварнантным, необходимо н достаточно, чтобы ) (иэ) = с(ои) для любых и, о нз У. г) Пусть () — коыечномерный идеал алгебры ч, у — нпварнаытная били- нейная форма на р, ограничение которой на 1> невырожденно.
Пусть (ус), (у'), — два базиса )), такие, что у(уп у<) =б<Г Пусть г — целое число Ъ1. Пусть < — линейная форма на У, такая, что )(ио) С(эи) для любых и, о из У. Вывести из б) и в), что ( ~~ сг сг) с< сс — элемент центра У, не зависящий от выбора базиса (у ). Отыскать, в част- ности, заново элемент Казимира. д) Пусть 0 — перестановка индексов [1, ..., г).
Рассуждая аналогичным образом, показать, что I г ~(усе «у'е< > ' усе< >)ус<ус 1<С,..., С <н . В<0 Е<с> ' Е<г> < "' г — элемент центра У, ые зависящий от выбора базиса (у.). с 7) ПУств 0 — комплексыаа алгебРа Ли, 0 — ее фоРма Киплинга, Уев алгебра Лн, получающаяся из й сужением поля скаляров до )1.
Показать, что фоРма Киплинга алгебРы уэ Равна Удвоенной вещественной часты фоРмы.й. 8) Пусть й — алгебра Ли. Полилинейная форма (хь ..., х„) -э Тг(адх, адхг ... адх„) на йэ инвариантна. 9) Пусть я есть К-алгебра Ли, р н р' — полупростые представления у в К-модулях р и )г', а ф — гомоморфизм й-модуля >г на й-модуль г'. По- казать, что при отображении ф образ множества инвариаытных элементов в )г' является множеством инвариантыых элементов в )г' (использовать пред- ложение 6). 1О) Предположим, что К вЂ” поле.
Пусть й — произвольная К-алгебра Ли, М, и М, — два простых неизоморфных у-модуля, конечномерных над К. Если К, — сепарабельное расширение К, то показать, что не существует 0 -модуля, являющегося простым и изаморфного одновременью подмодулю <Дй Р -модулЯ М><К> н поДмодУлю У<К,>-моДУлЯ М <К>. (Использовать предло- жение 4 н заметить, что существование ненулевого инвариантного элемента в М, ><9х М, <х влечет существование ненулевого инвариантного эле- мента в М,<8>кМз (Ахг., гл. П, з 5, и 3, теорема 1)), 11) Пусть ю есгь р-алгебра Лн, определенная в упражнении 21, В 1.
Показать что ее форма Киплинга является нулевой. $12) Предположим, что К вЂ” поле. Пусть Л вЂ” некоторая К-алгебра Лн, а М вЂ” произвольный 0-модуль. Обозначим через СР(й, М) пространство зпака- перемеыных полилинейыых отображений йя в М. Положим С'(й, М)=М н СР(я, М) = (О) при Р ( О. Пусть С*(й, М) — прямая сумма СР(й, М). Эле- менты из С'(Ф, М) называются нинелями й со значениями в М; те из ннх, которые принадлежат СР(у, М), называются Р-мернымн коцепями. Для любого уж 0 через <(у) обозначим эндаморфизм С" (й, М), который ото- бражает каждое надпространство сР(й, м) в ся '(й, м) и для каждого УПРАЖНЕНИЯ р > О задается формулой (1(у)1)(«ь ..., «р-г) 1(у, «н..., хр — ~).
(1) Имеем 1(у)' О. а) Присоединенное представление 3 н представление 0 в М определяют представленне 0 в пространстве полилннейных отображений 3Р в М. Показать, что СР(0, М) устойчиво относнтельно этого представлення. Пусть 0 — представленне й в С'(3, М), такнм образом определенное. Показать, что 0(х) 1(у) — 1(у) 0(х) =! ( (х, у) ) (2) для любых х, у нз 3. б) Показать, что существует единственный эндоморфнзм Ф модуля С" (0, М), отображающнй Ср(й, М) а Ср+' (3, М), такой, что б1(у)+1(у) б-0(у) (3) для любого 'угн ». (Рассуждать нндукцней по размерности коцепей.) Покааать, что для любого 1гыСР(3, М) с()(«1, х...„х +,) ~ ~( — 1)г+1)((хр х.1, «, ..., йр ..., йр..., х ) + +~ (-1) +'(х) 1(хр ..., йр ..., х +) г (где значок " нэд буквой означает, что ее следует опустить). в) Показать, что для дюбого у~м 0 ЛО(у) =0(у) б.
(4) (Показать сначала, используя (2) н (3), что г(0(у) — 0(у) Ы перестановочно с любым 1(х). Затем доказывать нндукцней по раэмерностн коцепей.) г) Показать, что нч О. (Показать сначала, используя (3) н (4), что Вэ перестановочно с любым 1(х). Затем доказывать нндукцней по размерности коцепей.) д) Ограничение Ы на СР(3, М) имеет ядро ХР(й, М), элементы которого называются р-мернымн копи«лали со эначениямн в М. Ограннченне л на Ср '(3, М) имеет образ Вр(0, М), элементы которого называются «огра»икали размерностн р со значениями в М.
Имеем Вр(3, М) ~ 2»(», М), Факторпространство Хр(3, М)!Вр(3, М)=НР(3, М) называется пространством р-мерных кого«олог»О алгебры 3 со эиаченнамн в М, с1ерез Н" (3, М) будем обозначать прямую сумму пространств Нр(3, М) Покавать, что Н'(О, М) совпадает с множеством инвариантных элементов модуля М, Пусть н — гомоморфязм 0-модуля М в й-модуль Н для любого 1гиСР(3, М) имеем фл)~СР(а, Н), так что ю продолжается до К.лннейного отображения ф'. С'(3, М)-ь С" (3, Ф). Показать, что р'лб=блф'. Вывести отсюда, что определяет гомоморфнзм ф: Н*(3, М) ь Н*(», Ф), который называется ассоцинроаанным с 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
