Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если е ~ Е и е' ~ Е', то пусть 0(е, е') ~У* — коэффициент, соответствующий р (Алг., гл. ЧШ, $13, и'3). Напомним, что 0(е, е')(х)=(р(х)е, е') и что для фиксированного е' отображение е» 0(е, е') является гомоморфнзмом У-модуля Е в У-модуль У" корегулярного представления алгебры У (там ске, предложение 1); значит, векторное подпространство в У', порожденное коэффициентами р (мы будем обозначать его в этом параграфе через С(р)), является .У-подмодулем в У'. Если (е',) — семейство элементов, поро- ~~У ждающих Е* иад К, то отображение е»(0(е, е,')) является инъективным У-гомоморфизмом Е в С (р)'.
В самом деле, если 0(е, е',)=О для любого 1, то (е, е,')=(р(1)е, е',)= =-0(е, е,')(1) =О для любого 1, откуда е =О. В частности, если У вЂ” универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли 0 и если р — представление 0 (отождествляемое с представлением У) в векторном пространстве Е размерности и, то 0-модуль Е нзоморфен 0-подмодулю в (С(р))". .л. Теорема о продолжении Пусть алгебра Ли 0=5+ 0' равна прямой сумме идеала 0' и подалгебры $, У вЂ” универсальная обертывающая алгебра для 0 и У'~= У вЂ” универсальная обертывающая алгебра для 0'.
Сузцествует, и притом только одна, структура 0-модуля на У', 2 $7. ТЕОРЕМА АДО ат такая, что: а) для любых хай' и иенУ' выполняется хо и= = — их; й) для любых хчн) и ияли' выполняется хо и хи — их (этот последний элемент лежит, конечно, в 0', так как 6' и, следовательно, У' устойчиво относительно внутреннего дифференцирования, определенного элементом х). В самом деле, условия а) и й) определяют единственным образом линейное отображение х хц алгебры 6 в .Ук(У'). Достаточно поэтому проверить, что [х, у]ц — — [хц, у„]; понятно, что можно ограничиться рассмотрением трех следующих случаев: 1) х ен 6', у гн 6', тогда [х, у]ц и= — и(ху — ух)=(хцуц — уцхц)и; 2) х~)), уен6', тогда [х, у]ц и = — и (ху — ух) = = х ( — иу) — ( — иу) х + (хи — их) у = (хц уц — уц.хц ) и; 3) х~(), у~(); тогда [х, у]ц и [хц„уц] — два дифференцирования У', ограничения которых на 6' совпадают с ограничениями аб,[х, у] и [айг х, ад,у]; значит, эти дифференцирования равны.' Мы рассмотрим также дуальное представление х ~-~ — 'хц' алгебры 6 в У'".
Для х ен 6' — хц является транспонированным (контрагредиентным) к правому умножению на х в У', соответствующее представление алгебры У' является, таким образом, ее корегулярным представлением. Опгеделение 1. Пусть 6 — алгебра Ли, 6' — ее подалгебра и р' — представление 6' в )т'. Представление р алгебры 6 в К называется продолжением представления р' на 6, если существует инъективный гомоморфизм 6'-модуля у' в 6'-модуль т'.
Говорят также, что 6-модуль т' является продолжением 6'-модуля У'. Если р' конечномерно и 6' — разрешимый идеал в 6, то для существования продолжения конечной размерности необходимо, чтобы идеал [6, 6'] содержался в наибольшем идеале нильпотентности представления р' 5 5, п' 3, теорема 1). Теогемл 1 (Цассенхауз). Пусть алгебра Ли 6 = 6'+ 1) является прямой суммой идеала 11' и подалгебры 1) и р' — конечномернов представление 6', наибольший идеал нильпотентности которого содержит [1), 6'[.
а) Существует конечномерное продолжение р представления р' на 6, наибольший идеал нильпотентности которого содержит наибольший идеал нильпотентности р'. б) Если для любого хан() ограничение на 6' преобразования адг х нильпотентно, то можно, кроме того, выбрать р так, чтобы его наибольший идеал нильпотентности содержал [). 88 Гл. ь Алгевгы ли Пусть !!' — универсальная обертывающая алгебра для Будем предполагать, что !/' и 0'" наделены структурами й-модулей, определенными в начале этого пункта. !/" Пусть ! с: (/' — ядро представления р' (отождествленного с представлением алгебры 1/'). Это двусторонний идеал 5 конечной коразмерности в 1/'. Подпространство С (р') () пространства 0" (см. и' 1) ортогонально к !. Пусть 5 С(р') есть й-подмодуль в 1/", порожденный С(р').
Покажем, что 5 конечномерна над К. Пусть Р' — пространство, в котором действует р', и Г' = Я :з У[:э ... :э Уз = = (О) — ряд Жордана — Гельдера й'-модуля Г. Пусть р,' — представление й' в Я 1/У[, индуцированное р' (1(~!(Ы). Пусть !' с: 1/' — пересечение ядер представлений р[ (отождествленных с представлениями алгебры (/'). Имеем !ы с ! с ! н 1' П й' — наибольший идеал нильпотентности представления р'.
Согласно $2, п' 6, следствие предложения 6, !'" — идеал конечной коразмерностн в 1!'. Если х ~ р, то дифференцирование и хи — их алгебры !/' отображает й' в [с, й) ~ !', а значит, (/' в !' и !ы в !'~. Кроме того, ясно, что !ы есть й'-подмодуль в (/'. Поэтому 1" является й-подмодулем в (/'. Подпространство, ортогональное к !'~ в (/'", будет конечномерным й-подмодулем, содержащим С(р'), а значит, и 5. Это доказывает, что 5 конечномерно над К. Для хе-=!'Пй' элемент х~, очевидно, содержится в аннуляторе й-модуля Г/!'з, а значит, и в аннуляторе й-модуля 5. Мы видели в и' 1, что й'-модуль Г' изоморфен й'-подмодулю произведения (С(р'))", Поэтому й-модуль 5" и дает конечно- мерное продолжение р представления р' на й.
Кроме того, эндоморфизм р(х) нильпотентен для любого х~ !'() й', так как !'Пй' — идеал в й (ибо содержится в [$, й'] по предположению), то понятно, что !'П й' содержится в наибольшем идеале нильпотентности представления р. Таким образом, а) доказано. Предположим, наконец, что для любого х ~ 6 ограничение на й преобразования а4,х нильпотентно. Так как элементы из (1 действуют на !/' дифференцированиями, то для любого иве!/' н любого хе-=() существует целое е, такое, что (хи)'.и=О; зндоморфизмьд индуцируемые хо в !!'/!ы н в 5 (являющихся конечномерными пространствами), нильпотентны. Итак, р (х) ннльпотентен для любого хек (). Выше мы видели, что то же самое верно для любого х ен !' П й'. Так как !' П й' — идеал в й', содержащий [1), й'[, то сумма Ч+ !'Д й' является также идеалом в й.
Утверждение б) теоремы 1 вытекает, таким образом, нз следующей леммы: 4 и теорамл ддо Лемма 1. Пусть алгебра Ли й равна прямой сумме идеала й' и подалгебры (). Пусть о — конечномерное представление й. Предположим, что эндоморфиэм а(х) нильпотентен для любого х~ й и любого х я ч. Тогда в(х) нильпогентен для любого х ен й, Факторизуя по ядру о, можно предполагать, что о точно. Тогда й' и (! нильпотентны, поэтому й (расширение (! при помощи а') разрешимо.
Поэтому р и й' содержатся в наибольшем идеале иильпотентности представления в (3 5, п' 3, следствие 6 теоремы 1). Одно усиление теоремы 1 см. н упреждении 4. 3. Теорема Адо Придложянив 1. Пусть й — алгебра Ли, и — наибольший нильпотентный идеал в а, а — нильпотентный идеал в й и р — конечномерное представление а, такое, что все элементы иэ р(а) нильпотентны.
Тогда р обладает конечномерным продолжением в на 9, таким, что все элементы из в(п) нильпотентны. Пусть а = ие с и, с ... с пр — — и — последовательность подалгебр в и, таких, что и,, — йдеал коразмерности 1 в и; для 1» 1(р (Э 4, и'1, предложение 1д)). Алгебра и; является, следовательно, прямой суммой и,, и подалгебры размерности 1. Так как эндоморфизм абнх нильпотеитен для любого хенн, то можно (теорема 1) шаг за .шагом построить конечномерные продолжения р„ рь ..., рр — — р' представления р на по пр... „ яр †п, такие, что все элементы из р'(и) нильпотентны. Пусть т — радикал й, и пусть и = т,с т, с: ...
с т„ =т — последовательность подалгебр из т, таких, что г!, — идеал коразмерности 1 в т для 1«'<в (3 5, п' 1, предложение 2г)). Алгебра т, является, таким образом, прямой суммой т;, и одномерной подалгебры. Так как 1х, т! с п, то можно (теорема 1) шаг за шагом построить продолжения конечной размерности р'„ р,', ..., р' = р" представления р' на то тм ..., т = т, такие, что все элементы из р"(и) нильпотентны.
Наконец, а — прямая сумма т и некоторой подалгебры 4 (3 6, п' 8, теорема 5). Так как [е,т)с: и, то можно построить конечномерное продолжение в представления р" иа й, такое, что любой элемент из в(п) нильпотентен, ТеОРемА 2. Каждая алгебра Ли обладает точным конечно- мерным представлением. Более точно, Теорвмд 3 (Адо).
Пусть й — алгебра Ли и и — ее наибольший нильпотентный идеал. Тогда существует точное конечномерноа ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ чо представление р 'алгебры а, такое, что все элементы из р(п) нильпотентньь Алгебра Ли К размерности 1 обладает точным конечномерным представлением т, таким, что все элементы из т(К) нильпотентны, например, представлением Легко отсюда вывести, что центр с алгебры й, являющийся произведением одномерных алгебр, обладает точным конечно- мерным представлением о, таким, что все элементы из а(с) нильпотентны. Пусть а, — конечномерное продолжение представления о на а, такое, что все элементы из а,(н) нильпотентны (предложение 1); пусть ( обозначает ядро аб тогда 1П е = (0), Кроме того, пусть ае — присоединенное представление алгебры а, ядром которого является с; любой элемент из оз(п) нильпотентен.
Прямая сумма р представлений о, и оз является конечно- мерной; любой элемент из р(п) нильпотентен и ядро р, содержащееся в 2 и с, равно нулю, так что р точно. УПРАЖНЕНИЯ 1) Пусть й — алгебра Ли, а и б — ее идеалы (соотв. характеристическиа идеалы). Тогда множество х щ й, таких, что (х, Ь! ~ а, — идеал (соотв характеристический идеал) в й, называемый аннулягором Ь ло модулю а. Показать, что <Ур4<й является аннулятором й по модулю й'рй.
2) Пусть й — алгебра Ли размерности и над полем К, такая, что размерность центра й ие менее л — 1. Тогда й коммутативна. 3) Пусть М вЂ” не обязательно ассоциативная алгебра над полем К, (е ) — базис векторного пространства М, с — структурные константы < <юу <<з в базисе (е ). Для того чтобы М была алгеброй Ли, необходимо н достаточно, чтобы е удовлетворили следующим соотношениям: а) с. = О; ыз б) с, = — с<„; в) ~ (е сл +слс,,+с,,е )=О для любых<,(,й,)' гю< из С 4) а) Предположим, что элемент 2 обратим в К. Пусть а — алгебра Ли изд К. На К-модуле а'=а Ха определим коммутатор формулой ((х< хз) (У! У2)! ( (х! У!! + (хз Уг! (х< Ул! + (хы У<! ) 1 1 Тогда а' есть К-алгебра Лн, а отображения х < — ь — (х, х), х <-ь — (х, — х) —.
2 ' ' 2 изоморфизмы а на идеалы Ь, с в а', прямой суммой которых является а'. (Рассмотреть квадратичное расширение К' кольца К с базисом 1 и й, таким, что й' 1. Построить а<к и а затем сузить до К кольцо скала ров. 1 1 Заметить после этого, что — (1+у), — (! — У) — идемпотеиты и К' н что. 2 ' 2 (1 + й) (1 — й) О.) б) Пусть а — алгебра Ли над полем вещественных чисел, й = а<с,. 1' 6 — вещественная алгебра Ли, которая получается из и сужением поля скат у ляров до й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
