Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Даже в случае Ь Ф (0) могут существовать инвариантные симметрические билинейные формы, иевырожденные на 8 (упражнение 18 в)), Такие формы, конечно, не ассоциированы ни с каким представлением 8. Следствие. Пусть й, й' — алгебры Ли, Ь (соотв. Ь') — нильпотентный радикал й (соотв. й ) и / — гомоморфизм й на й . а) Ь'=/(Ь). .5) й' редуктивна тогда и только тогда, когда ядро / содержит б. В самом деле, если т, т' — радикалы й, ()', то б'=[6', г']= =[/(й), 7(т)]=/([й, т])=1(б).
Утверждение б) является непосредственным следствием а). ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ б. Применение: один критерий полупростоты представлений Теовема 4. Пусть 9 — алгебра Ли, т — ее радикал, р — конечно- мерное представление 9, 9'=р(9) и т'=р(т). Тогда следующие условия эквивалентны: а) р полупросто; б) 9' редуктивна и ее центр состоит из полупростых эндоморфизмов; в) т' состоит из полупростых эндоморфизмов; г) ограничение р на т полупросто.
а) =,='> б). Если р полупросто, то 9' редуктнвна (предложение 5); ассоциативная алгебра, порожденная 1 и 9', полупроста (Алг., гл. ЧП1, $ 5, и' 1, предложение 3), поэтому и ее центр полупрост (там же, $5, и' 9, предложение 12), значит элементы центра полупросты (там жс, 3 9, и' 1, предложение 2). б) =)» в).
Если 9' редуктивна, то ее центр равен ее радикалу, т. е. т', откуда и следует импликация б) Ф в). в) ==',> г). Предположим, что т' состоит из полупростых эндоморфизмов. Так как 13', г') состоит из нильпотентных эндоморфизмов (п' 4, предложение 6), то 19', т'1 =(0). Теперь импликацня в) Ф г) следует из Алг., гл. ЧП1, $9, и'2, теорема 1. г) ~ а). Пусть 6 — ннльпотентный радикал 9 и р' — ограничение р на т. Элементы из р (6) нильпотентны, следовательно, 6 содержится в наибольшем идеале нильпотентности представления р'. Так как р' полупросто, то р'(6) = (0) и 11' редуктивна (следствие предложения 5), так что 9' = а' К Г', где а' полупроста (предложение 5).
Пусть А' (соотв. Я') — ассоциативная алгебра, порожденная 1 и а' (соотв. т'). Она полупроста (Алг., гл. ЧП1, $5, и' 1, предложение 3), откуда А' Зк )г' полупроста (там же, $7, и' б, следствие 4 теоремы 3). Поэтому ассоциативная алгебра, порожденная 1 и 6' и являющаяся факторалгеброй алгебры А'ЗкЯ', полупроста, что и доказывает полупростоту представления р. Следствие !. Пусть 3 — алгебра Ли, а р и р' — ее полупростае представления конечной размерности. Тогда тензорное произведение представлений р и р' полупросто. Пусть т — радикал 3.
Для х ен Г элементы р(х) н р'(х) полу- просты (теорема 4), откуда р (х) 8 1 + 1 (9 р' (х) полупрост (Алг., гл. ЧП1, $ 9, следствие теоремы 1), вследствие чего тензорное произведение р и р' полупросто (теорема 4). Следствие 2. Пусть 9 — алгебра Ли, р — полупростое представление 9 в конечномерном векторном пространстве т', Т й 3 — тензоРнап и симметРическаЯ алгебРы пРостРанства У, ат и оэ — канонически связанные с Р пРедставлениа 9 в Т и 5 6 з 6, полтпиостые АлГЯБРы ли 75 Тогда ог и вв полупросты и, более точно, равны прямГям суммам конечномернГях неприводимых представлений. Пусть Т" — однородная компонента Т, состбящая из тензоров степени и.
Это подпространство устойчиво относительно в„ и представление, определенное ат в Т", полупросто (следствие 1). Отсюда и следует утверждение о от и, значит, о в, являющемся факторпредставлением представления аг. Следствие 3, Пусть й — алгебра Ли, а р и р' — два полупростГях конечномерных представления « в пространствах М и М'. Тогда представление й в 2'„(Л4, М'), канонически инду- 6(ируемое представлениями р и р, полупросто.
В самом деле, й-модуль 2'х(М, М'), канонически отождествляется с «-модулем М*®кМ' (5 3, и'3, предложение 4), так что следствие 3 вытекает из следствия 1. Следствие 4. Пусть « — алгебра Ли, « — идеал в й и р — полу- простое представление й. а) Ограничение р' представления р на « полупросго. б) Если р просто, то р' является суммой попарно изоморфных простых представлений. Факторизуя по ядру представления р, можно предполагать, что р точно. Тогда й редуктивна. Пусть «=-«, Х й„где,),— центр й и «, полупроста. Имеем «=«, Х «,, где «, ~ йо «, ~ и «, — центр «. Элементы из р(й,) и, в частности, элементы из р(«,) полупросты (теорема 4), т. е.
представление р' полупросто (теорема 4). Утверждение а) доказано. Утверждение б) следует из а), если воспользоваться 5 3, и' 1, следствие предложения 1. б. Редуктивные подалгебры алгебры Ли Опиеделение 5. Пусть й — алгебра Ли, )) — подалгебра Ли в й. Говорят, что 1) редуктивна в «, если представление х ад6 х алгебры () полупросто. Подпредставлением этого представления является присоединенное представление 1). Следовательно, если )) редуктивна в й, то () редуктивна. С другой стороны, 1) редуктивна сама в себе тогда и только тогда, когда она просто редуктивна. ПРедложение 7.
Пусть й — алгебра Ли, 1) — ее редуктивная подалгебра, р — представление «в векторном пространстве и )ч — сумма конечномерных подпространств в У, являющихся простсчми ()-модулями. Тогда (Р' устойчиво относительно р (й). Пусть «76 — конечномерный простой ()-подмодуль в (Г. Покажем, что для любого хенй выполняется р(х)(йть)~ Чт. ГЛ, Ь АЛГЕБРЫ ЛИ Обозначим через М векторное пространство й, рассматриваемое как !) модуль, задаваемый представлением х аб, х подалгебры 5 в й. Тогда М Эк йть — полупростой !)-модуль (следствие 1 теоремы 4). Пусть 0 есть К-линейное отображение М Эк 1(уь в (т, определенное правилом 0 (х Э гв) = р (х) гв. Это гомоморфизм !)-модулей, ибо если у ~ !), то 0 ((у, х! Э гв + х Э р (у) в) = р ( (у, х! ) Гв + р (х) р (у) гв = =р(у)р(х)гв=р(у)0(х Э 1в).
Поэтому 0 (М Э к )Р'ь) — конечномерный полупростой !)-модуль. Значит, 0 (М Э к (Рь) с !Р, т. е. р (х) ((Ц с йУ для любого х я 8. Следствии 1. Пусть й — алгебра Ли, (! — редуктивная подалгебра в й и р — конечномерное полупростое представление й. Тогда ограничение р на () полупросто. В самом деле, достаточно изучить случай простого р. Примем обозначения !т, 'БУ предложения 4.
Пусть %'1 — подпространство в )т, минимальное среди ненулевых подпространств, устойчивых относительно р((!). Имеем Ф'1 с: йт, откуда $'Ф(0) и, следовательно, %1 = т'. Следствии 2. Пусть й — алгебра Ли, !) — редуктивная подалгебра в 8 и 1 — редуктивная подалгебра в (1. Тогда 1 — редуктивная подалгебра в й. В самом деле, представление х1-» аб1 х алгебры (! в 8 полу- просто, следовательно, его ограничение на 1 полупросто (следствие 1). 7.
Примеры полупростых алгебр Ли Пиедложвние 8. Пусть !т — конечномерное векторное пространство'. Тогда алгебра Ли 8!(У) редуктивна, ее центр равен множеству гомотетий пространства )т, а производная алгебра равна 61()т), причем зта последняя алгебра полупроста. Тождественное представление алгебры й! (Г') неприводимо, поэтому она редуктивна н, значит, равна примой сумме своего центра и своей производной алгебры. Центр с является множеством гомотетий (Алг., гл, П, 5 2, и'5, следствие 1 пред.ложения 5). Ясно, что !Е)(й!()т)) с ь1()т). Так как Б1()т) П с =(О), ' то !2)(й!(!т)) =ь!(Ъ).
Поэтому В!(Г) полупроста. Пример. Отождествим ь!(Кз) с алгеброй матриц порядка 2 со следом нуль. Положим 7 $6. полупРостые АлГЯБРы ли Тогда Х, У, Н образуют базис Б1(К7), причем [Н, Х)=2Х, [Н, У)= — 2У, [Х, У[=Н. Так как алгебра размерности 1 или 2 является полупростой (п' 1, замечание 1), то 41(КЕ) проста.
Фактически 61()7) проста, лишь только б(ш)7~2, как мы увидим позднее (см. также упражнения 21 и 24). Пнвдложение 9. Пусть У есть п-мерное векторное пространство над К, р — симметрическая (соотв. энакопеременная) не- вырожденная билинейная форма на 1'. Пусть й — алгебра .Ти, состоящая иэ х~й(()7), таких, что [о(хт, т')+р(т, хт')=0 для любых т, т' иэ $'. 7огда й редуктивна; она полупроста; эа исключением случая, когда (1 — симметрическая форма и п=2. Для любого и~ 91(У) обозначим через и" элемент, сопряженный к нему относительно р; имеем Тг(и) =Тг(и*), согласно предложению 7 из Алг., гл. 1Х, 5 1, п'8. Условие р(ит, т')+ + р(т,-ит') =0 для любых т, т' из 17 означает, что и+ и"=О. В частности, если о ы 91 ()7), то (в — в")" = в' — в, т.
е. э — в' ен й. Пусть теперь и — элемент из й, ортогональный к й относительно билинейной формы ~р, ассоциированной с тождественным представлением й. Для любого о~91(У) имеем Тги(о — о")=О, откуда Тг(иэ) =Тг(ив") =Тг(ив"1'= Тг(ви') = — Тг(ви) = — Тг(ио), поэтому Тг(ив)=0. Отсюда следует, что и=-О, так что р невырожденна. Поэтому й редуктивна (предложение бр Осталось показать, что центр й равен нулю (за исключением случая, когда р симметрическая и п=2). Расширяя поле скаляров, можно предполагать, что К алгебраически замкнуто.
а) Если р — симметрическая фоопма, то ее можно отождествить с билинейной формой на К с матрицей 1„ в каноническом базисе (Алг., гл. 1Х, 5 б, следствие 1 теоремы 1). В этом случае й отождествляется с алгеброй Ли кососимметрических матриц (5 3, п' 4, пример 1). Пусть 1) =(ин)он й, и предположим, что 13 коммутирует с матрицей (эн)ен й, в которой все элементы нулевые, за исключением вьп и опп (го Ф 16), равных соответственно 1 и — 1.
Находим и;„= ии7 = ин, = ин,= 0 для 1Ф 16, 16 и) чь 1ы 16. Если и ) 2, то для любых не равных индексов 16 и 1 сУществУют Различные индексы 1 и 76, такие, что ю' Ф (о 1о Ф 1, 1о Ф 16', отсюда иьь= О. Это доказывает; что произвольный элемент центра алгебры й равен нулю. б) Если р — знакопеременная форма и п=2т, то можно отождествить () с билинейной формой на К' с матрицей ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ тз ( ') о ~ в каноническом базисе (Алг., гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
