Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Иначе говоря, существует элбмент ио ен М, такой, что р(х) аннулирует ( — то, 1) ~ У для любого х ее 8, т. е. такой, что Ю =. (х)., (2) для любого хан 8. "Предположим, что К = и. Пусть 0 — связная группа Ли с алгеброй Ли 8. Рассмотрим аналитический гомоморфизм ф группы 0 в аффинную группу А пространства М, соответствующий гомоморфизму х >-м(((х), о(х)) алгебры 9 в о((М). Предыдущие результаты можно переформулировать, сказав, что если 8 полупроста, то ф(0) обладает неподвижной точкой в М, В самом деле, пусть Н вЂ” множество злемеитов из бв(Н), относительно которых устойчивы линейные многообразия в АГ, параллельные М. Существует (6 1, п' 8, пример 2) канонический изоморфнзм ф группы А па Н. Пусть 2 — прямая, дополняющая М в Дг. Сказатгч что р(8) аннулирует л, — зто все равно что сказать, что (ф ф)(0) оставляет неподвижными все точки прямой х, т.
е. (если вспомнить определение ф) что ф(0) оставляет неподвижной проекцию на М точки пересечения Е и М Х (1). „ 3. Полупростые и нильпотентные элементы в полупростых алгебрах Ли Предложение 3. Пусть М вЂ” векторное пространство конечной размерности над К и 8 — полупростая подалгебра в 81 (М).
Тогда й содержит полупро етые и нильпотентные компоненты своик элементов. Пусть К, — расширение К. Тогда форма Киллинга алгебры 8( является расширением на 8к1 формы Киллинга 8 (5 3, и'8) то гл. ь ьлгевгы ли и поэтому невырожденна; следовательно, 9, , полупроста.
Достаточно доказать предложение 3 для случая алгебраическн замкнутого поля, что мы н будем предполагать далее. Для любого надпространства Ж пространства М пусть 9н — подалгебра в 91(М), состоящая из элементов, след ограничения которых на У равен нулю и относительно которых устойчиво У. Так как 9=Я9, то 9с:.9„„ если У устойчиво относительно 9. Пусть теперь 9" — пересечение нормализатора алгебры 9 в 9!(М) и алгебр 9„, где У пробегает множество подпространств в М, устойчивых относительно 9. Так как полупростая (соотв.
ннльяотентная) компонента з (соотв. и) элемента х ~ 91(М) является многочленом от х без свободного члена и так как ад з (соотв. ад п) является полупростой (соотв. нильпотентной) компонентой ад х (3 5, и' 4, лемма 2), то ясно, чуо х я 9* влечет за собой з еп 9* и и я 9". Достаточно убедиться, таким образом, в том, что 9"=9. Так как 9 — полу- простой идеал в 9*, то 9*=а Х 9 (и' 1, следствие 1 предложения 1). Пусть а ен г, и пусть Л~ — подпространство, минимальное среди подпространств в М, отличных от нуля н устойчивых относительно 9. Ограничение а на Л' скалярно вследствие теоремы Вернсайда, имеет след О по построению и, следовательно, равно нулю, поскольку характеристика К равна нулю. Так как, далее, М вЂ” прямая сумма подпространств вида Ф, то а = О, откуда 9 = 9.
Слндствин. Элемент х из 9 является полупростым (соотв. нильпотентным) эндоморфизмом пространства М тогда и только тогда, когда ад, х является полупростым (соотв. нильпотентным) эндоморфизмом 9. Пусть з (соотв. п) — полупростая (соотв. нильпотентная) компонента элемента х еп 9. Имеем з еп 9 и пя 9 (предложение 3). Тогда ад, з (соотв.
ад,п) — полупростая (соотв. нильпотентная) компонента эндоморфизма ад, х по лемме 2 нз 3 5, и' 4. Если х полупрост (соотв. нильпотентен), то таков же и ад, х, Если теперь эндоморфизм ад, х полупрост (соотв. нильпотентен), то он равен ад, з (соотв. ад, и), откуда х = з (соотз. х = п), так как присоединенное представление 9 точно. Опвидплннин 3. Пусть 9 — полупростая алгебра Ли. Ее элемент х называется полупрост м (соотв. нильпотентным), если для любого конечномерного над К 9-модуля М эндоморфизм хи полупрост (соотв. нильпотентен). Пгндложннин 4.
Пусть 9, 9' — полупростые алгебры Ли, 1 — гомоморфизм 9 в 9'. Если х еп 9 полупрост (соотв. нильпотентен), то и 1(х) таков же. Если )' сюрьективен, то любой полупростой (соотв. нильпотентный) элемент из 9' является обра- 4 % 6. полупРостые АЯГеБРИ ли 71 зом при отображении 1 некоторого полуиростого (соотв.
нильпотентного) элемента из 9. Если р — представление алгебры 9', то р о 1 — представление 9, откуда следует первое утверждение. Если 1 сюрьективен, то существует гомоморфизм д алгебры 9' в 9, такой, что Гоев тождественный гомоморфизм алгебры 9'(и' 1, следствие 2 предложения 1), так что второе утверждение следует из первого.
Теогемь 3. Пусть 9 — полупростая алгебра Ли. а) Пусть х ен 9. Если существует точное представление р алгебрГя 9, такое, что р(х) — полупростой (соотв. нильпотентный) эндоморфизм, то х полуирост (соотв. нильпотентен). б) Любой элемент из 9 может быть единственным образом записан в виде суммы коммутирующих полупростого и нильпотентного элементов. Пусть выполнены предположения утверждения а). Пусть, далее, о — представление 9, 6 — идеал, дополняющий ядро о, и а — проекция 9 на 9.
Тогда аб,х по следствию из предложения 3 полупрост (соотв. нильпотентен), откуда и абба(х) полупрост (соотв. нильпотентен). Так как о(х)=о(а(х)), то первое утверждение вытекает нз следствия предложения 3. Второе утверждение следует тогда нз предложения 3, примененного к какому-либо точному представлению. 4. Редуктивные алгебры Ли Опгеделение 4. Алгебра Ли называется редуктивной, если ее присоединенное представление полупросто. ПРедложение б. Пусть 9 — алгебра Ли, а т — ее радикал. Следующие условия эквивалентны: а) 9 редуктивна; б) й59 полуироста; в) 9 является произведением полуиростой и коммутативной алгебр; г) 9 обладает конечномерным представлением с невырожденной ассоциированной билинейной формой; д) 9 обладает точным конечномерным полупростым представлением; е) нильпотентный радикал алгебры 9 равен нулю; ж) т является центром 9.
а))ьб). Если присоединенное представление алгебры 9 полу- просто, то 9 является прямой суммой ненулевых минимальных идеалов а„ значит 9 нзомоРфна пРоизведению аь пРичем каждая из алгебр а, ие содержит других идеалов, кроме (О) и аь т. е. а, либо проста, либо коммутативна размерности 1. 72 ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ Следовательно, Ы» совпадает с произведением тех аь которые являются простыми, и, таким образом, полупроста. б) =,='> в). Если й)» полупроста, то » изоморфна произведению 1е)й и алгебры Ли $ (п'1, следствие 1 предложения 1)„ Ь изоморфна»/1Юй и, значит, коммутативна. в) Ф г).
Пусть й~ и»з — две алгебры Ли, р; — конечномерное представление йь б, — билинейная форма на йь ассоцнирос ванная с рс (1 = 1, 2). Можно рассматривать р, и рз как представления алгебры» =,1, Х»з, 'пусть р — их прямая сумма, Ясно, что билинейная форма, ассоциированная с р, является прямой суммой р, и ре, поэтому она невырожденна, если невырождснны (), и ~л Теперь для доказательства импликации в) =э г) достаточно рассмотреть два таких случая: 1) й полу- проста; тогда присоединенное представление имеет в качестве ассоциированной формы форму Киллинга, которая невырожденна; 2) 1 = К; тогда тождественное представление й в К имеет невырожденную ассоциированную билинейную форму.
г) ~ д). Пусть р — конечномерное представление алгебры » и р — ассоциированная билинейная форма. Согласно предложению 4 из $ 4, и' 3, существует полупростое конечномерное представление о алгебры й, такое, что ядро и этого представления ортогонально к » относительно 1). Если б невырожденна, то п = (О), т. е. о точно. д) Ф е). Это очевидно. е) ~ ж). Если нильпотентный радикал алгебры» равен нулю, Ы»Д с также равен нулю ($5, и' 3, теорема 1); так как 13, с) ~ с:1е)»ДГ, то с — центр алгебры».
ж) => а). Если с — центр », то присоединенное представление алгебры » совпадает с присоединенным представлением алгебры »7с, являющейся полупростой алгеброй Ли($5; и' 2, предложение 3); это представление, таким образом, полупросто (теорема 2). Замечание. Если алгебра Ли 3 обладает разложением в виде произведения а Х Ь коммутативной алгебры а и полупростой алгебры Ь„ то это разложение единственно. Более точно, центр й равен произведению центров а и Ь, т.
е. равен а, а .Уй = Ы1а Х Х м)Ь =Ь. Следствие. а) Всякое конечное произведение редуктивных алгебр Ли является редуктивной алгеброй. б) Если й — редуктивная алгебра Ли с центром с, то любой идеал в» является ее прямым сомножителем, равным произведению своих пересечений с с и 12)», и редуктивной алгеброй Ли. в) Факторалгебра редуктивной алгебры Ли редуктивна. Утверждение а) следует, например, из условия в) предложения б. $ а полупРОстые АлГеБРН ли 73 Предположим, что й редуктивна.
Пусть а — идеал в й, Так как присоединенное представление алгебры й полупросто, то а обладает дополнительным идеалом Ь и й равна а Х Ь. Для любого х ен й пусть р (х) — ограничение ай, х на и. Тогда р — полупростое представление й, обращающееся в нуль на $ и индуцирующее при факторизации присоединенное представление а. Таким образом, идеал а редуктивен. Аналогично алгебры й/а и Ь, изоморфные друг другу, редуктивны.
Наконец, пусть Ь, Ь' — центры а и Ь; имеем и = Ь К хс)х, Ь = ЯЬ К Ь', Ь к' Ь' = с, Яа К ЯЬ = ЫЬ, откуда а=(аПс)+(аДЯЬ), Предложение 6. Пусть й — алгебра Ли, т — ее радикал, а Ь вЂ” ее нильпотентный радикал. а) Ь=[й, т]=л)ЬПГ. ь б) б есть пересечение ортогональных дополнений к й относительно билинейных форм, ассоциированных с конечномерными представлениями алгебрьг й. Ясно, что [Ь, т] с: йУЬП т. По теореме 1 из В 5, п' 3, имеем ЫЬПт=б.
Пусть й'=й/[Ь, т] и / — канонический гомоморфнзм й на .й', тогда /(т) равен радикалу т' алгебры 3' (следствие 3 предложения 2, и' 2), откуда [)', т'] =[О) и, значит, т' — центр й'. Следовательно (предложение 5), й' обладает точным конечно- мерным полупростым представлением, откуда Ьс:[й, т]. Утверждение а) доказано. Пусть 1 — пересечение ортогональных дополнений к й относительно билинейных форм, ассоциированных с конечномерными представлениями й. Имеем Ь с: 1 (3 4, и' 3, предложение 4г)). С другой стороны, Ь/б обладает точным конечномерным полу- простым представлением, а потому (предложение 5) и конечно- мерным представлением р, ассоциированная билинейная форма которого невырожденна; рассматриваемое как представление алгебры й р обладает невырожденной ассоциированной билинейной формой 6 на й, причем ортогональное дополнение к й относительно р равно в, откуда 1с: Ь. Поэтому 1 = Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
