Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Любое ее неприводимое представление имеет размерность»»2. Любой идеал алгебры й является членом убывающей цепочки идеалов (81)о««о, такой, что йо — — й, й =(О), д(п1 81,/81 ( 2 (1 » (1' » (1п). Это доказывается так же, как и следствия 2 и 3, причем нужно иметь в виду, что любое алгебраическое расширение поля 1с имеет степень » »2. Слндствин 5. Для тога чтобы алгебра Ли й была разреши. мой, необходимо и достаточно, чтобы 1г)й была нильпотентной. В силу следствия ! это условие является необходимым. Оно достаточно, так как й/м)й коммутативна. З Ь. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Следствие 6.
Пусть р — конечномерное представление алгебры Ли ~1. Пусть т — радикал й. Любой элемент хе=с, такой, что эндоморфизм р (х) нильпотентен, принадлежит наибольшему идеалу нильпотентности и представления р. Пусть т' — пространство представления р и (У,) , , — ряд Жордана — Гельдера т-модуля Ъ', и пусть р, — представление т в пространстве УДЪ',, (1(1~(Г). Если р(х) иильпотентен, то таковы же и р;(х), и так как для любого( алгебра, порожденная р~(т), является полем, р,(х) =О.
Обратно, если р,(х) =0 для любого ь', то р(х) нильпотентен. Это доказывает, что множество а тех хеит, для которых р(х) нильпотентны, является идеалом в д С другой стороны, [9, а) с:Яй[)т~ п[)тс:а, по-' этому а — идеал в й. Это доказывает, что а с=.п. Следствие 7. Пусть й — алгебра Ли, т — ее радикал, Следующие четыре множества совпадают: а) наибольший нильпотентный идеал в й; б) наибольший нильпотентный идеал в Г; в) множество хем т, таких, что эндоморфизм ай,х нильпотентен; г) множество х~т, таких, что аб,х нильпотентен. Обозначим через а, Ъ, с, с эти четыре множества. Включения а с Ь ~ с с с ясны.
Включение с с а имеет место, согласно следствию 6, примененному к присоединенному представлению алгебры й. 4. Критерий разрешимости Лемма 2. Пусть х — эндоморфизм конечномерного векторного пространства Ъ", з (соотв. и) — его полупростая (соотв. нильпотентная) компонента (см. Алг., гл. 71П, 5 9, п' 4, определение 4). Пусть абх, ай э, айп — образы х, з, и соответственно в присоединенном представлении алгебры 91(1/). Тогда ай г (соотв. ай и) является полупростой (соотв. нильпотентной) компонентной ай х и многочленом от айх с коэффициентами из К беэ свободного члена.
Имеем ай х = ай э + ай и, [ай з, ай п) = 0 и ай и нильпоте нтен ($4, лемма 1). Покажем, что эндоморфнзм айз полупрост. Это достаточно сделать для случая алгебраически замкнутого поля К (см. Алг., гл. И11, 5 9, и'2, предложение 3). Итак, пусть (е,),<,<„— базис в Ъ', такой, что э(е,)=Л,е, (Х,ЕЕК). Пусть (Еи) — канонический базис в М„(К) = 91 (Ъ'). По формулам (5) $1 (ас$ э) .
Еп — — () с — Х~) Еи, поэтому ай з полупрост. Последнее утверждение леммы следует из Алг., гл. ч'1П, $9, и'4, предложение 8. б2 ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ Ли Лемма 3. Пусть М вЂ” конечномерное векторное пространство, А и  — два подпространства в й!(М), В с А, и Т вЂ” множество !еп й((М), таких, что [1, А] с: В. Если ген Т и Тг(ги) =О для любого и еи Т, то г — нильпотентный эндоморфизм. Достаточно провести доказательство для случая алгебраически замкнутого поля К, что мы и будем впредь предполагать. Пусть з и и — полупростая и нильпотентная компоненты г и (е,) — базис в М, такой, что з(е;) =Л,е, (Л,ЕЕК).
Пусть )тсК— векторное подпространство над(г, порожденное Л,. Будем доказывать, что У =(О). Пусть ) есть чг-линейная форма на У, и пусть т — эндоморфизм на М, такой, что !е, =)(Л;)еь Если (Ен)— канонический базис в й((М), определенный правилом Еиеь = Ь,„е„ то (ад з) Ен — — (Л, — Л~) Еп, (аб Г) Ен — — (! (Л,) — ! (Л~)) Ен. Существует многочлен Р без свободного члена с коэффициентами из поля К, такой, что Р(Л~ — Лу)=[(Л~) — [(Л~) для любых с, ! (ибо если Л, — Л~ — — ˄— Лы то [(Л~) — !(ЛД= !(Ль)— — [(ЛА), и если Л; — Л~ —— О, то [(Л~) — [(Л~)=0). Итак, ай ! =Р(ай и).
С другой стороны, аде — миогочлен от адг без свободного члена. Однако (адг)(А) с:.В, откуда также (ад т) (А) сВ. В силу предположения имеем 0 = ТГ (г!) = ~ Лн (Л~), откуда 0=)(ТГ(гт))= ~ [(Л,)з. Так как [(Л~) — рациональные числа, то ) =О, что и требовалось доказать, Теогемь 2 (критерий Картана). Пусть й — алгебра Ли, М— конечномерное векторное пространство, р — представление й в М и р — билинейная форма, ассоциированная с р.
Алгебра р(й) разреиима тогда и только тогда, когда йбу ортогональна к й относительно р. Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда й — подалгебра Ли в й((М) и р — тождественное отображение. Если й разрешима, то Яй содержится в наибольшем идеале нильпотентности тождественного представления алгебры й (теорема !) и, следовательно, ортогональна к й относительно р (э 4, предложение 4г)). Предположим, что,йй ортогональиа к й относительно () и докажем, что й разрешима.
Пусть Т вЂ” множество !Еи й((М), таких, что [(, й]сйй. Если 1 ~ Т и если х, у принадлежат й, то [(, х] ы Яй, откуда ТГ(![х, у]) =р([1, х], у) =О и по линейности ТГ(!и) 0 для любого иеиЯй. Кроме того, ясно, что Жй с= Т, Следовательно (лемма 3), любой элемент нз Яй % а РАБРешимые АлГеБРы ли Бз нильпотентен.
Отсюда вытекает, что алгебра Ый ннльпотентна ($4, следствие 3 теоремы !) и, таким образом, 6 разрешима (и' 3, следствие 5 теоремы 1). Ю. Новые свойства радикала ПРедложение 5. Пусть й — алгебра Ли, г — ее радикал. а) Если р — конечномерное представление й и 6 — ассос(иированная билинейная форма, то т и Ый ортогональны относительно 5, б) т является ортогональным дополнением к 65,.~ относительно формы Киллинга. Пусть х, у взяты из 5, геех. Имеем [у, г[~ЫйДГ, откуда () ( [х, у), г) = 5(х, [у, г[) =О (теорема 1). Значит, а) доказано.
Пусть т' — ортогональное дополнение к Яй относительно формы Киллинга. Это идеал в й ($ 3, и' 6, предложение 7а)), содержащий т вследствие только что доказанного. С другой стороны, образ ь идеала т' в присоединенном представлении й разрешим (теорема 2), поэтому идеал х' разрешим как центральмое расширение б. Значит, т'~ х. Следствие 1. Алгебра Ли й розресиима тогда и только тогда, когда Ый является ортогональным дополнением к 6 относительно формы Киллинга. Это непосредственное следствие предложения 5б). Следствие 2. Радикал алгебрьсЛи а является характеристическим идгалом. В самом деле, Яй — характеристический идеал, а форма Киллинга вполне инвариантна ($ 3, и' 6, предложение 10).
Следовательно, ортогональное дополнение к мсй относительно формы Киллинга является характеристическим идеалом ($ 3, и' 6, предложение 7б)). Следствие 3. Лусть 5 — алгебра Ли, т — ее радикал, а — идеал в й. Тогда радикал идеала а равен хс) а.
В самом деле, т Д а — разрешимый идеал в а и, следовательно, содержится в радикале х' алгебры а. Обратно, т' — идеал в й(следствие 2 и $1, и' 4, предложение 2), откуда т'с= с. Следствие 2 может быть уточнено следующим образом. Пс едложение 6. Лусть й — алгебра Ли, т — ее радикал, и — наиболыиий нильпотентный идеал. Любое дифференцирование алгебры й переводит т в и. ГЛ. 1. АЛГЕБРЫ ЛИ 64 Пусть Π— дифференцирование алгебры а. Пусть -1- Кхь — алгебРа Ли, в котоРой 8 ЯвлЯетсЯ идеалом коРазмеР- ности 1, таким, что Ох=-[«ь, х[ для любого хен й (3 1, и' 8, пример 1). В силу следствия 3 предложения 5 Г содержится в радикале 1' алгебры 8'.
Имеем О (Г) = [ха Г] с: [й', й'[ () Г' = Б'. Для любого х ~ з' эндоморфизм аб, х нильпотентен (теорема 1). Поэтому для любого х ен <<'П 8 нильпотентен эндоморфизм а<(„х. Значит, О(Г) содержится в ннльпотентном идеале 6' П а алгебры й. Следствие. Наибольший нильпотентнь<й идеал алгебры Ли характеристичен. Замечание. Для того чтобы подытожить некоторые из предыдущих результатов, заметим, что если обозначить через Г, п, з, 1 соответственно радикал алгебры а, ее наибольший нильпотентный идеал, ее нильпотентный радикал и ортогональное дополнение к 8 относительно формы Киллинга, то получим Г:»1:» П:» Ь.
Включение Г:»1 следует из предложения 5б). Включение 1:» и следует из $ 4, и' 4, предложение бб). Включение и:» ь было отмечено в замечании 2 п' 3. б. Расширение поля скаляров Пусть 8 есть К-алгебра Ли и К, — расширение К. Ясно, что 3<ко разрешима тогда и только тогда, когда й разрешима, так как Ы'(9<к,1) =М"8)<к,г Пусть à — радиКал а. Тогда «<к,< — Радикал й<«,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
