Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1Х, 5 5, следя1 ствие 1 теоремы 1). В этом случае й отождествляется с алге- ТА В1 брой Ли матриц вида 13=~ ~, где 1л= — 'А, В и С (,С Пу симметрические (А, В, С, П из М (К)) (5 3, п'4, пример 1). ТХ ОХ Допустим вначале, что 11 коммутирует с матрицей ( где Хан М (К). Выполняются равенства АХ=ХА, СХ= — 'ХС, ХВ= — В 'Х; так как эти равенства должны выполняться для любого Х, то,выводим отсюда, что А — скалярная матрица 2„1 ТО Ух Пусть теперь 13 коммутирует с матрицей ~О ), где У вЂ” симметрическая матрица из М (К). Имеем АУ = УС = СУ = О. Это доказывает, прежде всего, что А=О. Кроме того, для любого Х ян М (К) матрица Х+ Х симметрическая, откуда должно получиться ХС= — ХС.
Вместе с равенством СХ= — — 'ХС, полученным выше, это показывает, что С коммутирует с любым элементом из М„(К), вследствие чего С вЂ” скалярная матрица, а значит, нулевая, так как УС=О. Показано, таким образом, что В=О. Когда Р— симметрическая форма и о=2, алгебра я имеет размерность ! и, аиачит, коммутатиаиа. для других случаен см. уярамнеиия 25 и 26. В. Теорема Леви — Мальцева Пусть Š— полное нормированное пространство над 11 и и — его непрерывный эндоморфизм. Мы видели (Теор, функц. ио действ. Ларем., гл. 1Ч, 5 2, п' б), что последовательность — , суммируема в к (Е), и положили чч и и и е =ехри = ау Л в1' я=о Пусть теперь Š— векторное пространство над полем К и чч и" и — нильнотентный эндоморфизм Е.
Ряд ~ — имеет лишь ко- 2.г я1 о=ч нечное число ненулевых членов, что позволяет положить и ал е =ехри= у Л. я=а и 4 6 полупРостые АлГеБРИ ли 79' Это определение согласуется с предыдущим, если К =-м н Š— полное нормированное пространство. Если о — другой нильпотентный эндоморфизм Е, перестановочиый с и, то '-(Е4(Е-")- Š—:"'= =~ — ( ~ (е)и"ос1=~~ — (и+о)4=еь+ . (3) 4 О ~4+4=4 / В частности, е"е " =е "е" = ед = 1, откуда е" — всегда автоморфизм Е.
Если, кроме того, Š— алгебра (не обязательно ассоциативная) и и — дифференцирование (нильпотентное) алгебры Е, то" е' — автоморфизм алгебры Е. В самом деле, если х, у ен Е, тд ис(ху) = ~ ( Р) и'(х) и*(у) д+9 Р для любого целого р~)0 (формула Лейбница), Из нее следует, что е" (ху) = ) —,ис(ху)=~~ 4~О Р)0 4+4 Р (У) =е'(х) е" (у), 4, Ю О что и требовалось доказать. Пусть теперь й — алгебра Ли. Если х принадлежит нильпотентному радикалу ц, то дифференцирование абдх алгебры а нильпотентно.
Поэтому можно ввести следующее Опгеделение 6. Специальным 'автоморфизмом алгебрьд й называется автоморфизм вида едл', где х принадлежит нильпотентному радикалу алгебры й. Ясно, что любой идеал в й устойчив относительно специального автоморфизма. Опгеделение 7. Пусть й — алгебра Ли, т — ее радикал. Подалгеброй Леви алгебры и называется любая подалгебра в а, дополнлюсцол в ней радикал т. Подалгебра Леви изоморфна фт, вследствие чего полупроста. Так как любая полупростая подалгебра пересекается с радикалом по (О), то если (~ полупроста и йГ х+(д„то 5 — подалгебра Леви; значит, образ подалгебры Леви при сюръективном гомоморфизме является подалгеброй Леви.
ао ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ ТеоРемА 5 (Леви — Мальцев). Любая алгебра Ли 9 обладает подалгеброй Леви р. Любая подалгебра Леви алгебры 9 переводится в р специальным автоморфизмом этой алгебры. Пусть г — радикал алгебры 9. Рассмотрим сначала два частных случая. а) [9, т) =(О). Согласно предложению 5, 9 является тогда произведением своего центра т и подалгебры х)9, являющейся полупростой, Поэтому Ы9 — подалгебра Леви, Более того, если в' — полу- простая подалгебра, то р'=м)р' (теорема 1), поэтому В'~ Ы9, т, е. 509 — единственная подалгебра Леви алгебры 9.
б) [9, т[ чь (О) и имеется лишь два идеала 9, содержащихся втсхи(0). Тогда [9, т) =т, [т, т) =(0) и центр 9 равен нулю. Пусть М (соотв. Ф) — подпространство Б,У(9), состоящее из линейных отображений 9 в и ограничение которых на т является гомотетией (соотв. нулевым отображением); й! имеет коразмерность 1 в М. Если т БАМ, то через Х(гп) обозначим коэффициент гомотетии, индуцируемой тп в т. Пусть а — представление 9 в Ы(9), канонически индуцируемое присоединенным представлением; напомним, что о(х).
и =[ад„х, и[ для любого х ен 9 и и ее.У(9). Ясно, что о(х)М с: й! для любого хин 9. Более того, если хенг, уяй„ияМ, то (а(х).и)(у)=[х, и(у)[ — и([х, у])= — Х(и)[х, у) (4) 0 У так как [т, т[=(0); (4) можно переписать в виде Р () а(х). и = — аб(Х(и).х). (5) Так как центр 9 равен нулю, то отображение х ад,х определяет биекцию ~г радикала г на подпростраиство Р пространства .У(9).
Это надпространство устойчиво относительно а(9) и содержится в !у, так как т — коммутативный идеал, а (5) показывает, что а(х)(М) с: Р для любого х ен т. Представление 9 в М/Р=У, индуцируемое представлением а, является, таким образом, нулевым на т и определяет представление о' полу- простой алгебры 9/т в У, Для любого у еп 9/г пространство о'(у)(У) содержится в Ч/Р, имеющем коразмерность 1 в У. Следовательно (и'2, лемма 3), существует элемент ирен М такой, что Х(ир) = — 1 и о(х). ир с=Р для любого хе= 9. Отображение х ~р-'(о(х).ир) является линейным отображением 9 в т. Согласно (5), его ограничение на т является тождественным отображением т. Поэтому его ядро есть подпространство 9, дополняющее т в 9.
Так как р — это множество х еи 9, таких, $ в полупРОстые Алгевгы ли 61 что о(х).иа —— О, то 6 — подалгебра в й и, следовательно, подалгебра Леви алгебры й. Пусть Ь' — вторая подалгебра Леви. Для любого х ен 6' пусть Ь(х) — единственный элемент из т, такой, что х+ Ь(х) ы Ь. Так как Ь вЂ” подалгебра в й и х — коммутативный идеал, то для любых х, у из 6' имеем [х+ Ь(х), у+ Ь(у)] =[х, у]+ [х, Ь(у)]+ [Ь(х), у] ень, откуда Ь([х, у])=(абх).Ь(у) — (абу).Ь(х). По замечанию 2 из и'2 существует элемент аенх, такой, что Ь (х) = — [х, а] для любого х ен 6'.
Тогда х+Ь(х)=х+ [а, х]=(1+ ай а).х. (6) Так как идеал х коммутативный, то (ай а)а=О, т, е. 1+ лба =е'"'. Поскольку х= [6, т], автоморфизм е'а' является специальным. Согласно (6), этот автоморфизм переводит Ь' в Ь, в) Общий случай. Будем вести доказательство индукцней по размерности радикала л. В случае и=О доказывать нечего и потому предполагаем, что теорема верна для алгебр Лн, размерность радикала которых ( б(тт. Согласно а), можно также рассматривать лишь случай [й, т] Ф(0). Так как алгебра [й, т] нильпотентна (и'4, предложение 6), ее центр с отличен от (О]. Пусть ж— минимальный ненулевой идеал в й, содержащийся в с.
Если ж=т, то мы пришли к случаю б). Пусть тогда ж~х, и пусть [ — каноническое отображение 6 на й'=6/ж. Радикал й' есть т'=т/м. По предположению индукции й' обладает подалгеброй Леви 1)'. В этом случае ()=[ '(()') является подалгеброй в й, содержашей ж и такой, что 5/т = ()' полупроста и, следовательно, ж — ее радикал. По предположению индукции 1) = ж + Ь, где Ь вЂ” полупростая алгебра. Теперь равенство й' = = т'+ ()' влечет за собой й = т+ $ = т+ щ+ Ь = т+ 6, вследствие чего 6 — подалгебра Леви в й. Пусть 6' — вторая подалгебра Леви в й.
Тогда [(Ь) и [(Ь')— две подалгебры Леви в й' и по предположению индукции сушествует элемент а'ен[6', т], такой, что е'а"'([(6))=[(6). Если а ~[6, т] таково, что [(а) =а', то отсюда следует, что Ь, =е'з'(Ь') ~ ж+ Ь=() Итак, 6, и 6 — две подалгебры Леви в 5, и существует по предположению индукции ьенж, такой, что е'еь(ь,)=6. Поэтому Ь=е'з'.е'е'(6'). Наконец, так как 1а лежит в центре [й, т], то е'зь.е'е'=е'ам+и и Ь+ а ен [6, т], что и требовалось дока- вать. ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ Ли 82 Следствии 1. Пусть 6 — подалгебра Леви и й и 1) — полупростая подалгебра в й. а) Существует специальный автоморфизм й, переводящий 11 в некоторую подалгебру в 6. б) 11 содержится в подалгебре Леви алгебры й.
Пусть à — радикал й и а=1)+à — подалгебра в й. Тогда «/т полупроста и т разрешима, т. е. à — радикал а и $ — подалгебра Леви в а, С другой стороны, «1)6=1)' — подалгебра, дополняющая т в а, т. е. являющаяся подалгеброй Леви в а, В этом случае существует (теорема 5) элемент а Бн '1«, т), такой, что е'~"' переводит 1) в р'. Имеем а~ 16, т); е ~ переводит 1) в некоторую подалгебру алгебры Ь и е ' ь'(6) — подалгебра Леви в й, содержащая 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
