Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Предположим, что У и В перестановочны, а) Показать, что (Е, У"1 лВУ" ~ (доказывать индукцней по л). б) Пусть [ — непрерывно дифференцируемая функция вещественной переменной. Вывести нз а), что [Е, [(У)! = В['(У). в) Вывести из б), что В О. (Показатзь что если В ~ О, то [ можно выбрать таким образом, что )1[(у)11 ~~1 и 1[В[у (у)11 сколь угодно велико.) г) Пусть й — алгебра Ли непрерывных операторов Т на 9, таких, что Т'= — Т. Вывестн из в), что условия У ей, Е»ий, ЦЕ, У[, У[ О влекут за собой [Е, У[ О. 1д) а) Пусть Š— ассоциативная алгебра над К.
Для заданных й элементов хп ..., х алгебры Е положим [„(»р ..., «,)- ~ «об1 ... «о<»г им а» В алгебре Ь ® К(ТР ..., Т») где Т вЂ” переменные, [»(«Р ..., х») — коэффициент при Т, ... Т» а (х,Т, + ... -1-х»Т»)», а значит, и коэффициент прв Т~...Т»в »-! ч~~,(х,т,+...+х»,~» .) х т,(хт,+...+«»,т» ) 1 о УПРАЖНЕНИЯ 95 для заданных двух элементов х, у алгебры Ь определим у (х, у) как коэффициент при т,тз в (хт! +утз) . показать, что для него вы- 1 а-1 ь полняется П (й - 1)! У,, 1(», У) - 1, (1, ..., Г ) где зз х для й ( ! и ГА = у Для Л ) ! -+ 1, б) Если Л рассматривается как алгебра над К„ то в ср (ц (зб х)» ~~! ( )»- ( ) 19 — 1 где 1.» (соотв.
Йх) — умножение у ь-в ху (соотв. у 1-> ух) Вывести отсюда, что если К вЂ” поле характеристики р (р простое), то (ай х) Р. у = (ай хг) . у, (1) р-1 (аб х)Р .у= ~ х ухР (2) 1 З Вывести из (2), что )р-1(збх„.. „аб хр,),у (р(хп ..., хр н у) у „, (а!1х, абу).у (р — 1) 21 р 1(х, у). Заключить отсюда, что для двух произвольных элементов х, у из й выполняется соотношевие (х+у) х +ур+ Лр(х, у). (3) где р-! йр(х, у) ~ (р — 1) 1у, 1(адх, абу).у 1=1 принадлежит подалгебре Ли алгебры Т., порожденной х и у (формулы Лжекобсона).
20) Пусть 9 — алгебра Ли над кольцом К характеристики р)0 (р простое). Говорят, что отображение хэ-р»1р! алгебры 9 в себн является р-отображением, если выполняются следующие соотношения: аб х(Р1 = (аб х) Р, Р,х))Ш АР»1Р) (х+ у)(р) =»1р1+ у(р)+ йр (х, у) (ср. с упражнением 19б)) для х, у из 9 н Хеи К. Будем называть р-алгеброй Ли над К множество, наделенное структурой, определенной заданием структуры алгебры Лн над К и р-отображением. Любая ассоциативная алгебра над К являетси р-алгеброй Ли относительно [х, у) ху — ух и хйй хз (упражнение 19).
Говорят, что отображение и р-алгебры Ли 9 в р.алгебру Лн 9' является р-гомоморфизмом, если и — гомоморфнзм алгебр Ли и если и(х1р)) (и(х))(р). Показать, что в любой р-алгебре Ли 9 любое р-отображение имеет вид хь-з хР +1(х), где ) — отображение алгебры 9 в ее центр, являющееся 99 полулннейным относительно эндоморфизма Хь-ьд поля К. Более общо, если и — гомоморфизм 9 на р-алгебру Ли 9', то и(х(р)) — (и(х))(р) принадлежит центру алгебры 9'. ГЛ. !. АЛГЕБРЫ ЛМ 21) а) Пусть К вЂ” поле характернстнкн р ) О, Ь вЂ” не обязательно.ассоциативная алгебра над К.
Показать, 'что дифференцирования алгебры Е абра. зуют р-алгебру Ля относнтельно р.отображения 0г — ь 0Р б) Пусть Š— алгебра К [Х)!(ХР), а Шесть р-алгебра ее днфферецццр й Обозначим через 0; (О(1~ (р — 1) днфференинрованне Е, такое, что 0, (Х) = Хг Показать, что Ог образуют базис ш над К н что [О;, 01) =О 1)0. если 1+)(р [0г 01] = О есин 1+1) к н 0г О. за исключением 1=1, когда 0и 0Р в) Показать, что если р ) 3, то алгебРа Ш не обладает ндеаламн, отлцчнымн от (О) н ш.
(Используя таблнцу умножения 0г, показать, что любой ненулевой идеал в [п содержит кратное 0р ь отлнчное от нуля.) г) Пусть [гь — векторное подпространство в Ш с базисом нз элементов 0г, таких, что 1~)й. Показать, что если р)~5, то [га совпадает с мнб. жестаом 2 ш ш, центРализатоР котоРого нмеет РазмеРпость >д -1-1. Вы. вести отсюаа, что если р)5, то группа антоморфнзмов алгебры Ю разрешнма.
22) Пусть й.— произвольная р-алгебра Лн над кольцом К характеристики р (р простое). Обозначим через кь — Рхи ее р-отображение. Для любого под. множества Е алгебры й обозначим через Ер иодлодуль в 5, порожденный хр при х ш Е. Говорят, что идеал ос я является р-идеилом, если пас а. з) для того чтобы идеал а с 5 быт р-идеалом, необходимо н достаточно, чтобы он был ядром некоторого р-гомоморфнэма (упражнение 2О).
б) Сумма двух р-идеалов является р-ндеалом. Сумма р-ндеалз н р-под. алгебры является р-подалгеброй. в) Пусть » — подалгебра Лн алгебры Р. Наименьшая р-подачгебра, содержащая», есть»+»и+» + ... = »; если положить»~ = »+»Р+»и'+ ... ... ф»Р, то»г — идеал в» н»/» коммутатнвна. Если» вЂ” идеал в й, то идеалами являются н»ь н», причем этот последний является наименьшим р-идеалам, содержащим». г) Нормалнзатор н централизатор пронзвольного подмодуля в й являются р-подалгебрамн в й. 2З) Пусть й — конечвомерная коммутатнвная р-алгебра Лн над совершенным полем К характеристики р ) О. а) Показать, что й едннствевным способом представляется в виде пря. мой суммы двух р-подалгебр», 1, таких, что в» р-отображение биектнвно, а,в 1 нильпотентно (рассмотреть степени р-отображення в й; ср. с Алг„ гл.
Ч[П, б 2, и 2, лемма 2, н гл. И1, $5, упражнение 20а)). Говорят, что » есть р-сердцевина алгебры й. б) Предположим, что К алгебранческн замкнуто. Показать, что существует базис (г~) подалгебры», такой, что еэ г, для любого 1 (рассмотреть р-падалгебру в», порожденную одним элементом, н показать, что она содержнт элемент х, такой, что хи хчьб; вестн после этого доказательство нндукцней по размерности»). Вывестн отсюда, чта имеется лншь конечное число р-подалгебр алгебры» н что онн находятся во взаимно однозначном соответствин с водпространствамн векторного пространства, порожденаого злеиентамн ег над простым подполем Ер. в) Показать, что суигествует такой базнс ([О) подалгебры 1 (1~1~(й, 1(1(зг для любого 1), где последовательность з убывающая, что [Р =О для 1()(зг [иг1=[1, для 2(1(й, 1()(г (тем же способом, что н в Алг., гл.
ЧП, $5, упражнение 20б)). $ 24) Пусть К вЂ” поле произвольной хзрактернстнкн р, а Хг, уг, 21 суть Зи Разлнчнык пеРеменных; системы (Х1)~ ( г („, (У~)1( г (л, (Хг)~ ( г (и УПРАЖНЕНИЯ обозначим для краткостн символами х, у, з соответственно. Пусть А к, у. з алгебра формальных степенных рядов от Зп переменных Хь уь Хг с коэф. фицнентамн в поле К; будем обозкачать через Ак у (соотв. А„) подалгебру в А, состоящую из формальных рядов, не содержащих х (соотв. у, х). Элемент на А „(соотв. А „. А„) будет обозначаться через и(х, у, з) (соотв.
и(х, у), и(х)); система (иг (х, у, з)), < ~ ~„из п элементов А„ будет обозначаться через и (х, у, х); аналогвчны обозначения для фор. мальных рядов, не содержащих одну нли две из систем х, у, з, яслн и(х, у, х)ем А„у к н если 1=()г), й (йг), п=(Ь,) — трнснстемынзпэлементов алгебры А„„являющихся рядами без постоянного члена, то через и(1(х, у, х), й (х, у, х), й(х, у, г)) обозначается формальный ряд, полу. чающнйся подстановкой гг вместо Хг, йг вместо уь Ь! вместо Хе (1е (~п) в ряд и. Для любой системы а = (а,,..., а„) п натуральных чнсел через хв обозначим одиочлен Х1 ... Хп; точно так же определим у и з .
Через зг ве пп а а обозначнм систему а, в которой а) =О, если /чь1, аг =1. Через е обозначим систему (О, ..., О) нз п элементов алгебры Ах у а) Назовем формальным групповым жкопол над К (илн, допуская вольность речи, формальной группой над К) размерности п систему 6=1(х, у) нз и элементов алгебры А„ю обладающую следующими свойствамн: 1'1(х, 1(у, х)) =1(1(х, у), з); 2'1(е, у) = у, 1(х, е) х. Показать, что тогда обязательно (;(х, у) =Хг+ уг+йг(х, у), где й~ содержнт только одночлены степени не менее 2, каждый из которых содержнт не менее одного ХГ н одного УР Показать, что существует, н прнтом только одна, система и (х) кз и элементов алгебры А„, таких, что 1(х, п(х)) =1(Ь(х), х) = е (Алг., гл.
1Ч, й 5, п'9, предложенне 10). Говорят, что 6 коииугагизпа, если 1(х, у) =1(у, х). б) Для любого и ем А„через (уи обозначим элемент и(1(у, х)) алгебры А„. Любое дкфферепцнрование 0 алгебры А„продолжается каноинческв до днфференцнровання А„„(также обозначаемого через О), если положнть 0(уг) =О для любого 1 (Алг., гл. !)г, в 5, и'8, предложение 6). Говорят, что 0 лзвоипвприантно в рассматриваемой формальной группе 6, если Р 0=01„.
Обозначим через 0' линейное отображение А„„в А„, опре(е) у деленное формулой Рйй(и) =(Ри) (е, у); оно отображает А„в К н определено своим ограничением на А„, Показать, что 0 левоннварнантно тогда н только тогда, когда для любого в ем А, имеем 0м1(й о) =(Ро)у. Пусть 0; — дифференцирование д/дХг алгебры А„(1 (1(п); существует левоянварнантвое днфференцнрованке Ть н притом только одно, такое, что Т(Ы=ВМ1. Показать, что Т~ линейно независимы над К в что любое левоннвариантное дифференцирование является линейной комбннацней Тг с коэффициентами нз К, Вывести отсюда, что коммутатор [Р, Р') я р-отображение Ве-БАРР (в случае, когда р > О) превращают множество й всех левоннварнантных дифференцирований в алгебру Ли (р-алгебру Ли, если р ~ О), называемую алгеброй Ли формальной группы 6. в) Показать, что для любого формального ряда и~ А выполняется и(1(х, у)) =и(О) + ~, У~Три+ о,(х, у), 1 ! й Н, Бурбаки 98 ГЛ.
1. АЛГЕБРЫ ЛИ где в ряде о! степени всех одночленов ~2 по переменным У/. Вывести отсюда, что ь и(1 (х, 1(у, я))) =и(0) + ~ (У!+Х!) Тр! -1- 1=! + ~ У!Х/((Т!Т/)(и)) + о (х, у, з), (2) 1,! где в ряде оь степени всех одиочленов ~З по переменным У! и Я!. Вывести отсюда, что «(1(х, У)) — и (1(У, х)) ~ (Х!1/ — Х/Т!)((Т„Т )(ь! (и)) + оз(х, У), (3) ! <! т где все члены оз имеют суммарную степень > 3. Показать, что если группа 6 иоммутатывиа, то и алгебра 9 коммутативиа. г) Пусть 6' — вторая формальная группа размерности иь с групповым ааконом 1'. Формальным гомоморфиэмом 6 в 6' называется система Р=* (р/(х))1</<,„элементов на А„, такая, что 1'(Р (х), Р (у)) Р (1(х, у)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
