Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Показать, что (<< изоморфна а, где а — алгебра, введенная <ш' в и. а). (Рассмотреть « С ®„ С как векторное пространство над С согласно формуле (г9г')г =г®г'г". Заметить, что У вЂ” комплексификация вещественного надпространства в У, порожденного 1<(й! н 1<3) <, и что это надпространство совладает с квадратичным расширением й с базисом 1 и й, причем й< = 1.) 5) Пусть Г и йг — векторные пространства размерностей и+! и п над полем К. Показать, что й! (йг) ивоморфна некоторой подалгебре в М(У), (Можно предполагать, что йг — гнперплоскость в У. Пусть е <и У, е ф В', Для х <ий!(йг) пусть у(х) — элемент из й!(У), продолжающий х и такой, что У(е) = — Тг(х) .е.
Показать, что отображение х ь-'.ьу(х) являетси изо. морфнзмом й<(<У) на подалгебру алгебры й1(У).) ГЛ. З. АЛГЕБРЫ ЛИ О) Для того чтобы алгебра Лн я была ассоциативной, необходимо н достаточно, чтобы м>Я содержалась в цеатре Я. ч[ У) пусть А — кольцо (возможно, без единицы), такое, что соотношение 2а = 0 в А влечет за собой а = О. Пусть 0 — подкольцо в А, являющееся идеалом 2-алгебры Ли, ассоциярованной с А. а) Если х, у принадлежат О, то (ху — ух) А с 0 (записать (ху — ух) з = =х(уз) — (уз) х — у(хз — зх)) и А(ху — ух) А с 0 (записать г(ху — ух) з= (ху — ух) за + г [(ху — ух) з] — [(ху — ух) з] г).
б) Предположим, что 0 коммутатнвно. Пусть х ш О, зев А н у =ха — зх.. Показать, что (УГ) з = 0 для любого Г ш А. (Элемент х коммутнрует с хз — зх и хзз — з'х; вывестн отсюда, что 2(хз — зх)' О, откуда уз=О. Аналогично (Уà — Гу)а = 0 для любого С гн А.) в) Предположим теперь, что единственные двусторонние идеалы в А суть (0) и А и что для любого ненулевого элемента у из А существует элемент Гам А, такой, что УГ ненильпотентен. Показать, что если 0 чь А, то 0 содержится в центре А. (Показать, используя а), что 0 комчутативно, а затем использовать 6).) г) Пусть а' — идеал 2-алгебры Лн, ассоциированной с А. Тогда либо у содержится в центре А, либо г'л [А, А].
(Применить в) к множеству 0 элементов Гам А, таких, что [й А]с )); использовать тождество [ху, х] = = [х, уз! + [у зх] ) 8) Если хь х„ хз, хз — 4 элемента алгебры Лн, то []ха та! «а] хз]+ ! [ [«з ха] «4] хз! + [ [ [«за хз] хз] хз]+ + ] [ [хз, хз], ха] ха[=0. 9) Пусть а — алгебра Ли, в которой для любых х и у выполняется соотношение ] ]х, у], у] = О. а) Показать, что 3 [ [х, у], х] = 0 длн любых х, у, х из Я. (Заметить, что [[х, у], х] — трилннейная зиакопеременная функция от х, у, х, и применить тождество Якоби.) б) Аналогичным образом, используя а) и упр. 8, показать, что [ [ [х У], з), 1] =0 для любых х, у, х, 1 нз Я.
1О) Пусть з'. — ассоциативная алгебра, я — ассоциированная с ней алгебра Ли. Любое дифференцирование алгебры з. является дифференцированием алгебры д, однако обратное неверно. (Рассмотреть тождественное отображение ассоциативно-коммутатявиой алгебры.) 11) Пусть Я вЂ” алгебра Ли, Ь вЂ” идеал в Я, такой, что м1Ь=Ь. Показать что Ь вЂ” характеристический идеал в Я. 12) Пусть я — алгебра Ли. а) Лля того чтобы некоторое дяфференцироваиие 0 алгебры Я было перестановочио со всеми внутренними диффереипярованиями я, необходимо и достаточно, чтобы 0 отображало Я в ее центр.
б) Вудем предполагать теперь, что Я имеет нулевой центр, так что Я можно отождествить с идеалом алгебры Лн 2 всех дифференцирований Я, Показать, что централнзатор Я в зз равен нулю (использовать а)). В частности, центр З равен нулю. в) показать, что дифференцирование б алгебры й, такое, что б (я) (0], является нулевым. (Имеем [б(о), Я] сб([зз, Я]) + [ш, б(Я)]с 0(Я) (О] откуда б(З) =(0) согласно 6).) г) Показать, что если, кроме того, Я=Щ то любое дифференцирова.ние б алгебры зз янляется внутренним (использояать в) и упр. !1).
13) Пусть Я вЂ” алгебра Ли, а я Ь вЂ” два подмодуля в Я. Определим для .любого целого 1~0 подмодУли из ш,. (а, Ь) и П =и (а, Ь) следУющим упрлжнпния 93 обРазом: ш, = Ь, и,.„! = [шр Ь[, и, а, и, = [ир б], Показать, что [а, и!1] ~и,, для 1=1, 2, ... (доказывать индукциеб по ~', замечая, что ш ( [а, Ь], Ы = ш (а, Ы и и,( [а, Ь], Ы = и , (а, Ь)).
я( 14) Пусть а — алгебра Ли, Ь вЂ” подалгебра в а. Назовем нормальным рядом, соединнющим а с б, убывающий ряд подалгебр а вида (а ) 1 о<1<» таких, что ао — — а, а =б, пРичем а,т! — идеал в аг пРи 0~1<». ГовоРЯт, что Ь вЂ” сйб»ормальная подалгебра в а, если существует нормальный ряд, соединяющий а с Ь. а) Пусть Ь вЂ” субнормальиая подалгебра в а, (а.) — нормальный З О<1<» ряд, соединяющий а с Ь. Вывести из упр. !3, что [%»~рб, а] ~=Зяб,для чего заметить, что [а, Ь] ~ а +! для 0 ~ 1 <». б) Вывести нз а), что пересечение чт Ь подалгебр йгрб (р = О, 1, 2, ...) яалнется идеалом в а. в) Вывести нз б), что субнормальная подалгебра с алгебры а, такая, что с = Е)с, является идеалом в а. г) Если К вЂ” поле и йип а < + со, показать, что пересечение Е> Ь под- К алгебр и!Рб (р О, 1, 2...,) является идеалом в а.
(Показать, что это пере-. сечение является субнормальной подалгеброй в а, и применить в).) $16) а) Пусть а — алгебра Ли, Ь вЂ” подалгебра в а, с — идеал в б и б — централизатор с в а. Имеем [й, Ь] <= й. Вывести отсюда, что Ь+ 4 — подалгебра в'а, в которой з является идеалом. б) Пусть 0 — алгебра Лн, а — субнормальная подалгебра в 0 н Ь вЂ” идеал в а. Если централнзатор Ь в а и централизатор а в 0 равны нулю, то цеитралнзатор й подалгебры Ь в 0 также равен нулю.(Пусть Ь = а + 4, это подалгебра, согласно а); а субнормальна в Ь; если й чм (0), то а Ф Ь, поэтому а — идеал в а', причем а ~ а' с Ь! пусть а' зца', а'фа и а'=а )-х, ища, х ~ы й, х чь 0; показать, что [х, а] содержится в а и коммутирует с Ь, откуда [з, а] = (О], что является противоречием.) в) Пусть 0 — алгебра Лн с нулевым центром, 201 — алгебра Лн дифференцирований алгебры и, Ж, — алгебра Ли дифференцирований алгебры Йь Отождествим 0 с идеалом в Зь З~ — с идеалом в агм ...
(см. УпРажиение 12 б)). Используя б) и упражнение 12 б), показать, что централизатор 0 в уд! равен нулю для всех 1. (Продолжение этого упражнения см. в Ь 4, упражнение 1Ь.) 1б) Пусть 0 — алгебра Лн, эл — алгебре Ли дифференцирований О. Тождественное отображение З позволяет определить полупрямое произведение Ь алгебры %! на я, назынаемое голоморфом О.
Отождествим 0 с идеалом, а З вЂ” с подалгеброй алгебры Ь. а) Показать, что централизатор 9' алгебры 0 в Ь совпадает с множеством элементов аб х — х (х щ О). 6 б) Лля любого элемента х+ г( алгебры Ь (хор, д~ эл) положим 4)(х+д)=ад х — х+г(.Показать,чтоΠ— автоморфизм порядка 2 алгебры Ь, в который переводит 0 в 0', так что !) можно отождествить с голоморфом алгебры 0'. в) Для любого идеала г~ (О] алгебры Ь имеем 1()(0+О') Ф (0) (Если 2ПО (О) 1'= 0') г) Если 0 коммутатнвиа, то любой идеал 1Ф (О] алгебры Ь содержит я. Если К вЂ” поле н б!ш О<+со, то вывести из этого, что если 1Ф 0 то Ь К же может быть голоморфом $ (использовать б)).
17) Предположим, что К вЂ” поле. Пусть Т вЂ” переменная и Ь К((Т))! л. каноническим образом наделено нормированием (порядок формального ГЛ. Е АЛГЕБРЫ ЛИ степенного ряда), которое превращает его в полное нормированное ноле. а) Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство над К. Тогда Ущ» канонически наделено структурой полного метризуемого векторного пространства (Тол.
ееиг. лр., гл. 1, 5 2, п' 3, теорема 2). Пусть (хр) семейство элементов из У, таких, что хр О лля любого р, меньшего некоторого фиксированного целого рационального числа. Тогда ряд ~ хрТР сходится в У< и любой элемент из Угс представляется в таком виде един- (Ы стзенныч способом. (Выбрать базис в У) б) Векторное пространство ыс(УЫ1) = (.Ук (У)) канонически наделено 1Ы структурой полного метризуемого векторного пространства. Любой эндоморфизм Упл пРедставлЯетсЯ единственным обРазом в виде ~ ирТР, где Ю и»и2' (У) н и равны нулю для любого р, меньшего некоторого фикснрованного целого рационального числа. в) Если К имеет характеристику О и и »и 2' (У), положим е " 1+ — иТ+ — и'Т'+ ... »и Яс (У1с1). Если х ш У таково, что их = О, то ег".х = х.
г) Если йт — другое коиечномерное векторное пространство над К и если о <в .х (й7), то ет 1ис»1+~ эи) еТи <[О зги К и) Вывести из в) н г), что если У наделено структурой алгебры, ие обязательно ассоциативной, и если и — дифференцирование У, то а — автоТи морфнзм алгебры 1' 1[ 18) Пусть 9 — комплексное гнльбертоно простраяство, У н Š— два непрерывных эрмитова оператора на 9 и В [Е, У[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
