Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Следствии 2. Для того чтобы подалгебра 1) алгебры й была подалгеброй Леви этой алгебры, необходимо и достаточно, чтобы 6 была максимальной полупростой подалгеброй в й. Это немедленно вытекает из следствия 1. Слгдствие 3. Пусть 6 — алгебра Ли, ж — идеал в й, такой, что й/ж полупроста. Тогда й обладает подалгеброй, дополняющей ж в й. Иначе говоря, любое расширение полупростой алгебры несущественно. Пусть 6 — подалгебра Леви алгебры й (теорема 5). Ее канонический образ в «/ж, являющийся подалгеброй Леви, равен 6/ж, и, значит, й = 6+ ж. Тогда идеал йлгебры 6, дополняющий в 6 идеал жП6, является подалгеброй в й, дополняющей ж в й.
Следствие 4. Пусть й — алгебра Ли, à — ее радикал, 6 — подалгебра Леви в й и ж — идеал в й. Тогда ж является прямой суммой ж Пт, радикала идеала ж, и ж П 6, его подалгебры Леви, Известно, что ж 1)т — радикал ж (в 5, и' 5, следствие 3 предложения 5). Пусть 1) — подалгебра Леви в ж и 6' — подалгебра Леви в й, содержащая 1) (следствие 1). Алгебра жПЬ'— идеал в 6', следовательно, она полупроста и содержит ч, отсюда жД6' равна $.
Поэтому ж — прямая сумма ж1)т и ж/) 6'. Существует специальный автоморфизм, переводящий Ь' в 6; этот автоморфизм сохраняет Г и ж; поэтому ж равен прямой сумме жПГ и жПЬ и жД6 — подалгебра Леви в ж. 9. Теорема об инвариантах Пусть й — алгебра Ли, р — представление «в векторном пространстве М. Для класса б неприводимых представлений й пусть Мь — изотипная компонента типа б пространства М.
Подпростраиство Мь инвариантных элементов из М есть не что е з о. полупРостые АлГеБРы ли 83 иное, как Мо,, где Ь, обозначает класс нулевого представления й в пространстве размерности 1. Лемма 4. Пусть р, о, т — представления алгебры й в векторных пространствах М, й1, Р. Предположим, что задано К-билинейное отображение (т, п) ~ т . и множества М Х У .в Р, такое, что (р(х)т). и+т. (а(х)п) =т(х)(т.п) для любых т онМ, не= М, х~ й. а) Если тояМо, то отображение и т,.и является еомо.морфизмом й-модулей.
б) Если и е Мь, то т,. и енР,. в) Если М вЂ” алгебра (не обязательно ассоциативная), р'(х)— дифференцирование М, то Мо — подалгебра в М и каждая компонента Мь является левым и правым Мо-модулем. Для любых тояМо, не У и хай имеем т (х) (то . п) = т, . (а (х) и), откуда следует а). Утверждение б) следует из а) (Алг.; гл.
Ъ'1П, $ 3, и'4, предложение 10). Если же Ь(=Р=М, о.=т=р, то утверждение в) является частным случаем утверждения б). Лемма Ь. Предположим, кроме того, что а и т полупросты, т. е. И (соотв. Р) — прямая сумма Мо (соотв. Ро). Для любого ион )ч (соотв. ря Р) пусть по (соотв. рь) — его компонента в )Уо (соотв.
Ро). Пусть тоеМо Тогда для любого пен л1 имеем (то ° и) =то. и ° По линейности достаточно рассмотреть случай и он )чо. Если Ь чь Ь,, то по =0 и то. нее Ро (лемма 4), откуда (то. и)о=О = =то. и". Если Ь= Ьо, то по=и и то. и е= Ро (лемма 4), позтомУ (то ° п) =то ° и=то ° п . о Теогемь 6. Пусть й — алгебра Ли, )à — полупростой й-модуль конечной размерности над К, 5 — симметрическая алгебра пространства (т и хз — дифференцирование 5, продолжающее ху (так что х хз — представление й в 5).
а) Алгебра 5о инвариантов в 5 является конечно порожденной. б) Для каждого класса Ь конечномерных неприводимых представлений пусть 5о — изотипная компонента 5 типа Ь. Тогда 5о является 5о-модулем конечного типа. Пусть 5с: 5 — идеал в 5, состоящий нз влементов алгебры 5 без свободного члена. Пусть Т вЂ” идеал в 5, порожденный 5о() 5, и (зо з,, ..., зр) — конечная система образующих идеала (Комм. алг., гл.
П1, $1). Можно предполагать„что з; принадлежат 5о() 5 и однородны (в самом деле, хз сохраняют степень, 84 ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ поэтому каждая компонента 54 — градуированный подмодуль). Пусть 5, — подалгебра в 5, порожденная 1 и з;. Имеем 5, с:5,.
Покажем, что 5, =54. Для этого покажем, что любой однородный элемент з из 5з лежит в 5„причем доказательство будем вести индукцией по степени и элемента з. Если и = О, то наше утверждение очевидно. Предположим, далее, что и > О и что наше утверждение доказано, когда степень з меньше и, Р Так как з~1, то з= Х з,з',, где з',— элементы из 5, которые можно предполагать однородными, причем бей(з,')=реп(з)— — беа(з1) < и.
Применима лемма 5, ибо й-модуль 5 полупрост (и' 5, следствие 2 теоремы 4); в обозначениях этой леммы имеем з=зз= К(з1з1)" = )' з,.з,'". 1 1 1=1 Элементы з',.4 суть однородные элементы из 5„степень которых < и (так как каждая компонента 54 — это градуированный модуль). По предположению индукции они лежат в 5,. Отсюда з~5„что и доказывает утверждение а).
Рассмотрим теперь конечиомерное неприводимое представление й класса б в пространстве М. Пусть Е=,Ух(М, 5), Для любого зеи5 и любого 1еиЕ пусть з1 — элемент Е, определенный формулой (4)(т)=з.1(т) (те-:М); таким образом, на Е введена структура 5-модуля конечного типа, ибо М конечномерно над К; вследствие этого Š— петеров 5-модуль, так как кольцо 5 нетерово. Кроме того, Е канонически наделено структурой й-модуля.
Для любого целого и ) О пусть 5" — множество однородных элементов степени и алгебры 5; тогда ц-модуль .Ух(М, 5") полупрост (и' 5, следствие 3 теоремы 4) и, значит, полупрост й-модуль Е. С другой стороны, для зеи5, 1енЕ, хеи й и т ЕЕМ имеем: (хь(4)) (т) хз ((4) (т)) (з)) (хмт) = = хз (з . 1 (т)) — з. ) (хмт) = = (хзз), (~ (т)) = з . (хз) (т)) — з . ~ (хмт) = =((х з) ~)(т) + (з(хД))(т), т. е.
х (з))=(х з))+з(хе~). Теперь мы сможем применить лемму 5. Подмножество ЕБ инварнантных элементов из Е есть не что иное, как множество гомоморфнзмов й-модуля М в й-модуль 5. Поэтому если обозначить через ф канонический гомоморфнзм М ЭкЕ на 5, то 1р(М ЗкЕБ) =54. Так как, очевидно, р — гомоморфизм 5-модулей, то достаточно показать, что ЕБ есть м % 6 полупРостые АлГеБРы ли 5ммодуль конечного типа. Пусть через У обозначен 5-подмо- ' дуль в У,, порожденный У, Так как У,— петеров 5-модуль, то существует конечная последовательность (Уо ..., Уч) элементов из У,„порождающих 5-модуль У.
Пусть Уч есть 5ммодуль, порожденный Уп ..., Уч. Имеем Л, с:. У,э Кроме того, если 1Б=У,Ы то У = ~ з;У~ при з~е5 для любого 1. Поэтому, 1=! используя лемму б вместе с обозначениями, принятыми там, получим /Ф '~А Ф Отсюда У,,> — — Уп так что У,з является 5о-модулем конечного типа. УО. Замена поля скаляров Пусть К, — коммутативное расширение поля К. Для того чтобы 'алгебра Ли й над К была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы йгкз была полупростой; в самом деле, форма Киллинга р, алгебры й, > получается из формы Киллинга алгебры а расширением поля скаляров К до К,; поэтому р, невырожденна тогда и только тогда, когда и невырожденна (Алг., гл. 1Х, и' 4, следствие предложения 3).
Если ц,„„проста, то и полупроста по предыдущему, и, кроме того, она не может быть произведением двух ненулевых идеалов„ Е т. е. проста. Напротив, если й — простая алгебра, то й, > (являющаяся полупростой алгеброй) может не быть простой (упражнения 17 и 2бб)). Пусть й — алгебра Лн, т — ее радикал. Тогда Г,„~ — радикал 8,х ~ (э б, и' 6). Следовательно, если е — нильпотентный Ж радикал й, то нильпотентный радикал й,хо равен [й,„г т,,1= =(а, т1„,=Б, г Отсюда следУет, что й РедУктивна тогда и только тогда, когда й, > редуктивна. '(ка Пусть й — алгебра Ли, а () — подалгебра. Напомним, что представление алгебры () полупросто тогда и только тогда, когда представление алгебры (),х и которое получается расширением до К, поля скаляров, полупросто. Поэтому() редуктивна в а тогда и только тогда, когда (),ко редуктивна в й,„ г Пусть теперь Кз — подполе в К, такое, что степень (К: Ко1 конечна. Пусть а — алгебра Ли и а, — (конечномерная) алгебра Ли, получающаяся из й сужением кольца скаляров К до Км Любой коммутативный идеал в й является коммутативным Гл.
ь Алгибты ли идеалом в О,; обратно, если ч, — коммутатнвный идеал в й„то наименьшее надпространство в 0 над К, содержащее ач, является коммутативным идеалом в 0; поэтому й полупроста тогда и только тогда, когда йз полУпРоста. Если йз пРоста, то Ясно, что й проста. Обратно, предположим, что 0 проста, н покажем, что йз проста. Пусть а, — простая компонента й,. Для любого ЛеиК' Ла, — идеал в йч и [аз, Лаз) = Л(аъ, чД = Лаз чь (О), вследствие чего Лаз~аз н поэтому Ла, = еъ, так как б)щк,(Ла,) = = б(тк,(ач).
Между тем векторное подпространство в й, порожденное чг, ЯвлЯетсЯ ненУлевым идеалом в О, а значит, совпадает со всем О. Отсюда 0=а„что и требовалось доказать, 0 7. Теорема Адо Напомним, что К обозначает поле характеристики О и что .все алгебры Ли предполагаются конечномерными над К. 1. Коэффиииенты представления Пусть У вЂ” ассоциативная алгебра с единицей над К, У'— сопряженное к У векторное пространство и р — представление У в векторном пространстве Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
