Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для любого левоинварнаитного дыфференцировання 6 ан 3 показать, что о 1-ь ! — ьР(о Р) — левоиывариаитное дифференцирование,прынадлежащее алгебре Ли р' группы 6'. Если обозначить ега через Р'(6), то Р' — гомоморфизм (р гомоморфизм в случае р > 0) алгебры й н й'. если (т!)! <! <„и (т/), базисы в 3 и р', такие, что Т(е) =6!у! и Т !'! =6(ь1, то показать, что матрица отображения Р' в этих базисах равна (дР//дХ!), (постоянный член ряда дР//дХ1, где ! — номер строки, а /' — номер столбца). 25) Назовем формальной линейной грув«ой от н переменных над полем К н обозначнн через 6Е(п, К) (когда нет опасности смешения понятий) формальную группу размерности иэ, в которой групповой закон определен формулой и /ц(п,ч)--бц+ ~ (б„+и,)(б„,+Рь/) а=1 (Ьц — символ Кроиекера; Зи' перемеыных из общего определения упражнения 24 обозначены здесь через и!/, Рц, йг!/ с двумя индексами, пробегающими целые числа ат 1 до л).
Показать, что если 66 =д/диц, то левоинварнантные дифференцирования Х1,такые, что Х)ь/! 6)ь!1, задаются формулой Хц=()+и!,) пц+ 2 и„бы. ь -ь ! Алгебра Ли группы ОЕ(и, К) отождествляетсз с 31(л, К), если отождествить Хц с элементом Ец канонического базиса последней алгебры (использовать формулу (3) упражыения 24). Если К имеет характеристику р > О, то Х,".! Х!! н Х!Р/ 0 для ! ть /.
'((2б) а) Пусть К вЂ” поле характеристики Ф 2, Е есть и-мерное векторное пространства над К, Ф вЂ” билинейная симметрическая невырожденная форма над Е. Предположим, что Е обладает ортогональным базисом относительно Ф, и обозначим через Е (диагональную) матрицу Ф в этом базисе. Известно (Алг., гл. 1Х, э 4, упражнение 11), что любая матрица (в рассматриваемом базисе) () элемента ортогональной группы 6 (Ф), такая, что бе1(1+()) ть О, записывается в виде и (1 — Е '8) (1+ Е 18), где 3 $ с УПРАЖНЕНИЯ =Е(()-1)(()+!) с-кососимметрнческая матрица, такая,что де! (1 — !( ~8)~О; обратно, для любой матрицы 8, удовлетворяющей этим условиям, () =(1 — Е '8) (!+)! '8) — матрица элемента нз С(Ф), такая,что бе!(1+())чьО, Пусть Б, 81), 31) суть Зн(н — 1)12 переменных (!ела! <)(н), и пусть 1.
— поле, содержащее кольцо формальных степенных рндоз К [[81, Бсс, 5;Д. Если обозначить через 8, 8', 8" матрицы Х, Бп(ец есс) Е Бсс(~сс есс) Х Бс! (еп е!с) 1<С 1<1 1<С то бе!(! — )! 8) чь О и аналогичное равенство верно для 8' и 8"; если положить и - (1 - Е-'8) (1 + )(-'8). ()' - (1 - Е-'8') (1 + Е-'8'), то также бес(! + Р()')чьО.
Положим Р (8, 8') )((()()' — 1) (!Л!'+ 1) с ((П (8, Б')); тогда (П(8, 8') принадлежаткольцу формальных степенных рядов К[[8!И Б, Д и, рассматривая Р(8, 8') как формальный степенной ряд с коэффициентами в алгебре натрии порядка н над К, можно записать р(8,8)-8+8 +02(8. 8'), где в элементах матрицы о, (8, Б') нее члены имеют степень ~ 1 по переl мениым БП и степень ~)1 по переменным 81 , .аналогично 13 1+ Ж 8+ ос (8), l причем элементы матрицы о. (8) — формальные ряды порядка ~2.
Показать, что Е(8, 8') — формальный групповой закон иад К формальной группы раз- мерности и (и — 1)/2; эта группа называется формальной оргозональнод ерувлод (соответствующей Ф) и обозначается через С (Ф) (здесь допускается иекотораи вольность в обозначениях). б) Если положить М(8) (яс (8)) (1 — Е )Б) (1+)! '8), то М— формальный гомоморфизм С (Ф) в СЕ(а, К). Пусть о (Ф) — алгебра Ли фор- мальной группы С (Ф); обозначим через (Тс))1<С базис этой алгебры, такой, чтб Тсс Рсс (упражнение 24г)); отождествив элемент Р= г, сс)Тсс. ал(е) <е) 1 < С гебры о (Ф) с матрицей Р = ~ сс (Е С вЂ” Е ), показать, что (есля испольС<1 зовать обозначения упражнения 24г) и отождествление алгебры Лн СЕ (л, К) с й!(л, К), проведенное в упражнении 25) М'(Р) =2В Р. Вывести отсюда, что М' — изоморфизм о(Ф) на подалгебру в 21(и, К), образованную матрицами Х, такими, что 1ХЕ+)!Х О (заметить, что для любой пары (о, Ь) элементов из Е, отождествляемых с одностолбцовыми матрицами, Ф (а + М(8) .
а, Ь+М (8) . Ь) =со. (1+'М(8)) К(1+М(8)) . Ь является степенным рядом, равным своему свободному члену, и использовать тот факт, что подалгебра матриц Х си 21(л, К), для которых сХ)(+ ЕХ имеет размерность а (и — 1)/2). Гл. 1. Адгивры лм 1ОО в) Определить аналогичным образом симнлзхтическую формальную зруину от 2н переменных над произвольным полем К н показать, что ее алгебра Ли отождествляется с подалгеброй в 61 (2н, К), состоящей из матриц Х, для которых / О 1а'ч зХА+АХ=О, где А ~ ).
27) Пусть К вЂ” поле характеристики р > О, У вЂ” формальная группа размерности 2, определенная законом 1,(х, у) =Х1+ у~+ ХЛ (з(х у) Хз+ Ут(1+ Х~!). Показать, что 0 некоммутативна, а ее алгебра Ли коммутатнзиа. 1) Будем использовать обозначения Т, Л Т„нз определения 1 и п'6. Пусть 1 — однородный тензор степени р алгебры Т и о — перестановка иа множестве (1, 2,,, р].
Тогда 1 — огзму+Т . (Свести к случаю, когда з — г о — транспозиция двух последовательных индексов.) 2) Предположим, что К вЂ” поле. Пусть й есть К-алгебра Ли, а У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра. а) Пусть и, о — элементы из У. Если и — элемент с фильтрацией >л, а о — с фильтрацией > р, то ио — элемент с фильтрацией > и+ р (использовать теорему 1). б) Вывести нз а), что едннстаеннымв обратимыми элементамн в У явля ются скал яр ы.
в) Вывестн нз б), что радикал У равен нулю. 3) Предположпм, что К вЂ” поле. Пусть й есть К-алгебра Ли, У вЂ” ее универсальная обертызающая алгебра. Левое регулярное представление У соответствует представлению р алгебры й в пространстве У, Показать, что множества У+ элементов из У без свободного члена устойчиво относительно р и что У+ не обладает дополнением в У, устойчивым относительно р.
В частности р не является полупростым. (Сравнить это с теоремой 2 нз $ 6.) 4) Предположим, что К вЂ” поле. а) Проверить, что существует алгебра Ли й размерности 3 с базисом (х, у, з), такая, что (х, у] =з, [х, г] =[у, к]=О. Пусть У вЂ” универсальная обертывающая алгебра длн 6. Показать, что центр У является подалгеброй, порожденной 1 и з. (Рассмотреть для любого $ щй дифференцирование симметрической алгебры Я алгебры й, продолжающее ад $, и найти элементы нз 5, аннулируемые этим дифференцированием; применить затем последнее замечанне из и' 8.) б) Проверить, что существует трехмерная алгебра Ли й с базисом (к, у, г), такая, что [х, у] = у, [х, з] = з, [у, з] О.
Показать, что центр универсальной обертывающей алгебры для й состоит лишь из скаляров. (Использовать тот же метод.) 5) Предположим, что К имеет характеристику р > О (р — простое). Предположим, что й — алгебра Ли над К с базисом, канонически отожцествляемая с подмодулем своей универсальной обертывающей алгебры У. Для того чтобы эндоморфнзм о К-модуля й был р-отображением, необходимо н достаточно, чтобы х~-э «л — ф(к) было полулинейяым отображением (относительно д з — ь йзя) алгебры й в центр У. Вывести отсюда. что если (Ьь)— базис алгебры й, то для того, чтобы в й существовало р-отображение, необходимо и достаточно, чтобы для любого Л существовало сьщ 6, такое, что (аб Ь )з= ай с; если зто так, то существует единственное р-отобраь жение хь — «х)з), такое, что Ь(ч"1 оь дла любого А.
УПРАЖНЕНИЯ 191 б) Пусть й есть р-алгебра Лн над кольцом К характеристини р > О (р простое), У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра и а — каноническое отображение й в У.!!усть з' — двусторонний идеал в У, порожденный элементами (а(х))Р— а(х1Р1), где х пробегает 9. назовем ограниченной универсальной обергыэающгй алгеброй алгебры 9 ассоциативную алгебру у у(А Отображение а индуцирует посредством факторизации отображение 6 (называемое каноническим) алгебры 9 в У, которое яаляетси р-гомоморфнэмом (если У рассматривать как р-алгебру Ли). а) Алгебра У и отображение д являются решеняем следующей задачи об универсальном отображении: для любого р-гомоморфизма ! алгебры 9 в ассоциативную алгебру В над К (рассматриваемую как р-алгебра Ли) существует и единственен К-гомоморфизм Т алгебры У в В (относительно ассоциативных структур), такой, что ! !' з 6.
б) Показать, что если (Ьь)ь А — базис в 9 (А вполне упорядочено), то 6 ииъектявно, н если отождествить х с В(х) для всех х ~ 9. то элементы 'ПЬть (где Х возрастают и т равны нулю почти для всех Л, прячем Ок, ~ч < р для всех Х) образуют базис в (?. (Отождествив канонически 9 с подмодулем в У, положить ф~э) =ха — х(а1 для любого х зяб. Для любого составного индекса а = (аь) ~ М ? пусть ах=()-,+руь, глеба)ь < р,и пусть Т ф ЬЬА) (Ц(ф(ЬА))ть) . Показать. чтс Т образуют базис в У„ ~ь а Т с у=(у ) чь Π— базис в Л заметить; что ф(Ь ) принадлежат центру У.) 7) Пусть 9 есть р-алгебра Ли над кольцом К характеристики р > О (р простое). Говорят, что дифференцярование 0 является р-диффгргикироваииги, если 0(хэ) (айх)" .Рх для любого хан 9. Любое внутреннее дифференцирование является р-дифференцяроваиием. а) Пусть  — ассоциативная К-алгебрэ.
Тогда любое диффереицнрованяе В является р-дифференцированием, если рассматривать В как р-алгебру Ли. (Использовать формулу (2) из упражнения 19 $1.) б) Предположим, что 9 обладает базисом. Для того чтобы некоторое дифференцирование 9 было р-дифференцированием, необходимо и достаточно, чтобы оио допускало продолжение до дифференцирования ограниченной .универсзлыюй обертывающей алгебры для 9. Вывестн отсюда, что р-диффереяцярозання 9 образуют р-поцалгебоу Лн а-алгебры дифференцирований алгебры 9. в) Если 0 есть р-дифференцировзняе 9, то ядро 0з является р-подалгеброй в 9.
г) Для любого дифференцирования 0 алгебры 9 элемент Р (х )— — (зй х)Р . 1?х принадлежит центру Я для любого х зы 9 (использовать формулу (2) упражнения 19 9 1, полагая 1. 2'(9).) 8) Показать„что теорема 1 остаетси верной, если модуль 9 ивляется прямой суммой циклических подмодулей. (Заменить в доказательстве модуль Р симметрической алгеброй алгебры 9.) 9) Пусть Ь вЂ” поле иэ двух элементов, У вЂ” векторное пространство Ьз, (хь хз, хз) — его канонический базис и К вЂ” внешняя алгебра пространства У, являющаяся восьмимерной коммутативной алгеброй иад й.
Пусть й есть К алгебра Ли с базисом (аз г„гз ем ем, гзз), такая, что (гз гз! = (е,. г|! = г~э. (гь вз! (ез гз)=г~з, (гь аз! (гз г,! езз, а остальные коммутаторы равны 102 ГЛ. 1. АЛГЕБРЫ ЛИ нулю. Пусть (1 — идеал в 8, порожденный и = х,е, + х,е, + х,ез. Как модуль()г порожден и, причем ]и, ег! = хгегг + х ем, ]и, е,] х егг + хзегз ]и, ез] = = хгегз+ хгегз Пусть о = хгхгегг + хгхзегз+ х,хзегз а) Показать, что о ф !).
(Рассмотреть К-линейную форму ф на а, такую„ что ф(ег) = ф(ег) = ф (ез) = О, ф (егг) = аз ф (езз) = х„ф(егз) = хг.) б) Пусть ! — линейное отображение 3 в ассоциативную К-алгебру, такое „ что )( ]х, у]) =](х) ](у) — ](у) ](х) для любых х, у из 3. Показать, что ! (о) — ! (и) г в) Вывести из а) и б), что каноническое отображение алгебры Ли 3/(у в ее универсальную обертывающую алгебру неннъектнвно. 10) Пусть й — конечномерная алгебра Ли над полем, У вЂ” ее универ- сальная обертывающая алгебра, ӄ— множество элементов из У с фильт- рацией (и. а) Пусть хщУ„, УЕДӄ— два ненулевых элемента. Показать, что суще- ствуют па У, оа)г. такие, что их = оу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
