Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(Одно нз следствий этого упражненна см. в й 5, упражнение 12,) 22) Пусть й — некоторая р-алгебра Ли над совершенным полем К ха рактеристнки р ) О. Говорят, что 9 р-уиипогеигна, если зля любого х ем ив существует такое пь что «Р О, а) Показать, что любая р-унипотентная р-алгебра Ли нильпотентна.
б) Предположим, что р инльпотентна и через !) обозначим р-сердцевину центра я (5 1, упражнение 23з)). Показать, что р)() р-уяипотентиа. в) Пусть 9 — нильпотентпан р-алгебра Лн, обладающая базисом из трех элементов еп ез, ез, таких, что [еп е«] [еь ез]=0, [еа, ез]=си еэ еи еэ=а" О. Имеем О=Кеи ио 9 ие равна прямой сумме 1) н р-унипотент- пой р-подалгебры. г) Показать, что если й р-унипотеятна, то в ограниченной универсальной обертывающей алгебре для 9 двусторонний идеал, порожденный й, нильпо- тентен. (Доказать индукцией по размерности 9.) 24) Предположим, что поле К имеет характеристику 2.
Показать, что в няльпотентной алгебре й, из упражнения 9 не существует 2-отображения. 25) Пусть й — некоторая р-атгебра Ли. Показать, что наибольший ниль- потентный идеал в 9 является р-идеалом (см. $ 1, упражнения 22). 26) Пусть 6 — группа, н пусть (Ия) >, — убывающая последователь- ность ее подгрупщ предположим, что Н, =6 и что, если положить (х,у) = =хух ~у ', то соотношения хщОР уаН влекут за собой (х,у) ~ О а) Пусть О,=И,~Е,+,, 'поиазатгч что О, коммутатявна н что отобра- жение х, уг — ь(х, у) определяет посредством факторизации Х-билинейное отображение 6 Х 6 в О, .
б) Положим цг(0) = ) О и продолжим по линейности отображения г=! 6.)< О -« 6,+, определенные в а), до Х-билинейного отображения пг (6) )( Ф )( йг (6) в йг (6). Показать, что пг(6) — это 2-алгебра Лн относительно данного отображения (для проверки тождества Якоби использовать следую- щую формулу: ((х, у), си) .
((у, «), х') . ((«, х), у") = е, ,у, О, где хи обозначает уху-' и е — единица С). в) Предположим, что существует такое и, что Еч = (е). Показать, что пг(6) является нильпотеитной 2-алгеброй Ли. 2?) Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей 1, и пусть Аз =А ~А1~ ... =г А„... — убывающая последовательность двусторонних ГЛ. 1. АЛГЕВРЫ Лм 114 идеалов в А, таких, что Аг. А1 <= Аг+р Пусть 6 — группа с единицей е, н пусть й О -» А — отображение, такое, что [(е) = 1, [(ху) = [ (х) . [ (у) н 1 — [(х)енА~ для любого хщ6. Обозначим через Нз множество таких хщ О, что 1 — [(х) щ А„. Показзтгь что гг„удовлетворяет условиям упражнения 26, Показать, что отображение х»-» [(х) — ! индуцирует при факторизации ннъектнвиый гомоморфизы алгебры Ли йг (0) в алгебру Лн, ассоциированную с градуированным кольцом йг(А) =Ч ~А„/Азэ, (ср.
Комм. алг., гл. П!). Соглашения $5, если не оговорено противное, остаются в силе. 1) Пусть й — двумерная разрешииая иеабелевз алгебра Ли. Показать, что форма Киплинга алгебры й является ненулевой, что любая ннварнантная билинейная форма на й вырождена н что любое дифференцирование й является внутренним. 2) а) Показать, что в разрешимой трехмерной алгебре Ли иад нолем $~, определенной таблицей умножения [х, у) «, [х, «) = — у, [у, «) = О, не существует убывающей цепочки идеалов размерностей 3, 2, 1, О. б) Показать, что в двумерной разрешиной некоммутатианой алгебре Лн существует цепочка идеалов размерностей 2, 1, О, но зта алгебра не является няльпотеитной. 3) Пусть й — разрешимая алгебра Ли, такая, что условия « сэ П, у щ 5, [[х,у),у[ 0 влекут за собой [х,у[=0.
Показать, что й коммутативна. [Пусть й — наибольшее целое число, такое, что Я й чь (0), Ю 5= [0). Считая й~»2, показать сначала, что [Я~ ~0, м)~ ~й)=(0), а затем что 1ы1 й, мз ~й] = [0), а это приводит к противоречи1о,) 4) Показать, что центр 51(п, 7() равен нулю и что центр и (л, 7() одиомерен. 5) Пусть й — алгебра Ли, (Язй, й!'у, ..., мУ'й) -последовательность производных алгебр алгебры й [л)0, й1ч ~0чь Я"0). имеем гйш Я~5/Я~+~5 э ~2 1+ ! дпя 1~(гк..л — 2. [Факторизуя по м1 у, свести к случаю, когда 5 разрешима. Использовать в этом случае иильпотентиость Яй и упражнение 7 в) из э 4.) б) а) Проверить, что следующая таблица умножения определяет пяти- мерную разрешимую алгебру Ли й: [х~ хз) «з, [хь хз) — хз [хь хг[ [хь х,[ [х„хз) [хз, х,) = [хз, 6) =О.
б) Показать, что ортогональное донолненне к й относительно формы Киплинга Равно м!й 7(хз+ ((хг+ 7(«з. Вывестн отсюда, что Яй — наибольший нильпотентиый идеал в я. в) Показать, что не существует подалгебры, дополняющей Яй в Вывести отсюда, что й не является полуирямым произведением коммутативиой алгебры и нильпотентного идеала. (Покззаттч что такой нильпотеитный идеал обязательно был бы равен мзй.) 7) Пусть й — трекмериан разрешимая алгебра Ли с базисом (х, у, «), таким, что [х, у] =ж [х, «) у. [у, «) = О. Показать, что линейное отображение, переводящее х в — х, у в — «н «в у, -автоморфизм порядка 4 алгебры О.
Сравнить этот результат с упражнением 2! в) из $4. 3) а) Пусть уэ — вещественная трехмерная разрешимая алгебра Лн, такая, что м)йз — коммутатнвнаи алгебра размерности 2. Пусть й — алгебра, нолу- УПРАЖНЕНИЯ чаюшаяся из р, расширением поля скаляров Е до С. Для любого х еи 8 пусть и — ограниченйе аб х ыа Е18. Показать, что собственные значения и либо к в х равны по абсолютной величине, либо линейно зависимы над (!. (Имеем х= Ау+ х, где геы Юя. у щйь Аеы С, откуда их=Лип. В то же время ии есть С-линейное РасшыРение на Е1Я )(.линейного эндомоРфизма Е18з,) б) Показать, что существует комплексная трехмерная разрешымая алгебра Ли й с коммутатиеной двумерной производной алгеброй й18 н эле ментом х, таким, что ограничение аб х на й18 обладает собстаеынймн значениями, ке равнымн по абсолютной величине и линейно незавнсимымн над )(, (Построить 8 как полупрямое пронзведеные одыомерыой алгебры н коммутатнвной двумерной алгебры.) в) Показать, что алге/рз, построенная в б), не может быть получена из вещественной алгебры Лн расшыреннем поля скаляров 1( до С.
9) Пусть 8 — алгебра Ли, г — ее радыкал, и — наибольший ннльпотентный идеал, а 0 — дифференцирование й. Показать, что 0 (э)()г щ и. (Пусть Ь вЂ” алгебра Лн дифференцирований й и т' — ее радикал. Если элемент х щ й таков, что 0х щг, то ад(0х) =(0, ай х) щ м18()г' (следствие 2 прездожез ыия б), поэтому аб(0х) ннльпотеитеы (теоремз !). так что 0х гы и.) 10) Пусть й — алгебра Лн, г — ее радикал, а — субнормальная подалгебра в й. Показать, что радикал а равен а Пт. (Прмменнть несколько раз сиедствие 3 предложения 5,) 11) Пусть 8 — алгебра Лн, р — ее кояечномерное представление, Š— ассоциативная алгебра эндоморфизмов, порожденная 1 и р (8). Показать, что наибольший идеал нильпотентыостн и представления р равен множеству и' элементов хщ а, таких, что Тг(р(х) и) =Опля любого и а Е.
(Для доказательства включения и' <= и показать сначала, что и' — идеал н что для любого х щи' полупростая составляющая р(х) равна ыулю; заметить с этой целью, что Тг((р (х))") =0 для любого целого а>0.) 12) Предположим, что поле К алгебранчески замкнуто. Пусть й — ниль. потентная К-алгебра Лн.
Пусть р — конечномерное представление й в векторном пространстве У. Для любой линейной формы Х на 8 пусть Уь — векторное подпространство в У. состоящее нз $ гм У, таких, что для любого х гм 8 имеем (р (х~ — /г (х) l)"э =О при достаточно большом и. а) Подпространства У устойчивы относительно р (й). н нх сумма является прямой.
(Использовать упражнение 22 из $4.) б) Имеем У= ~ У . (Если каждое р(х) имеет лишь одно собственное ь значение, то У= У ' согласно следствию 2 теоремы !. Если р(х,) имеет по х крайней мере два собственных значения, то У равно прямой сумме двух нетривиальных подпространств, устойчивых относительно р (8). Доказывагь дальше ыыдукцией по размерности У.) 13) Пусть й — алгебра Ли, Й вЂ” ее алгебра Ли дифференцирований. Для того чтобы й была характеристнчески ннльпотентвой, необходимо н достаточно, чтобы Й была ннльпотевтной и чтобы бпп й>1.
(Чтобы убедиться в достаточности условия, записать 8 как прямую сумму подпространств йь, применяя упражнение !2 к тождествеыному представлению яь Показать, что !Оь, йв1г:йь+в н что каждое й — идеал в й. Вывестн отсюда, что алгебра й~ коммутативна прн А ~ О. Используя еще раз тот факт, что йт нильпотентна„показать, что й Оз, если гИш 8>1. В протнвном случае мы имели бы, что й=йз Х $, где /) коммутатнвна. Показать сначала, что гДш О ~!.
Если бы выполнялось гВш !) 1, то существовало бы дифференцирование 0 алгебры 8, такое, что 0(8') =(О) и 0((1) содержалось бы в центре йз (з 4, упражнение 8а)).) ГЛ. !. АЛГЕБРЫ ЛЫ 116 14) Пусть )г — коиечномерное векторное пространство над К, а г — его эндоморфизм. Примем обозначение г" упражнения 3 из й 3. Говорят, что эндоморфизм г' пространства )г явлйется репликой г, если для любых р гр н а любой нуль гэ является нулем г„э.
Показатгь что если Тг(гг') О для любой реплики г' эндоморфнзма г, то г нильпотентеи. (Использовать показательство леммы 3. В обозначениях этого доказательства доказать, что именно Г является репликой г.) 1б) Пусть К вЂ” поле характеристики 2. Тождественное представление ннльпотентной алгебры Ли 6!(2, К) в К' задает полупрямое произведение 5 идеала К' н подалгебры 61 (2, К). Показать, что й разрешима, но Щ ненильпотентна. Вывестн отсюда, что Ф не обладает точным линейным представлением треугольнымн матрицами, Показать также, что не выполняются занлючення упражнения б. 16) Пусть 6 — алгебра Лн над произвольным полем К, А — ассоцнатнвиокоммутатнвная алгебра над К и 3' = О ®КА — алгебра Ли над К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
