Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е) Пусть В есть 3-подмодуль модуля М н обоэначнм й-фактормодуль М/Е, р через Н. Каноннческяе гомоморфязмы  — ьМ вЂ” еН определяют гомоморфнзмы С* (3, В) ь С*(3, М) — р-ь С" (р, Н), л л Н" (», В) — ' Н" (й, М) — Н'(3, Н). Показать, что У ннъектнвен и что его образом является ядро гомоморфизма р', причем р' сюръектинеи. Для любого сгнН" (», Н) пусть хы3л(», Ф)— представитель с, а а гн С" (бг М) таков, что р' (а) = а; показать, что ГЛ. 1.
АЛГЕБРЫ ЛИ ВаенЛа+1(й, Ь) и что его класс в Н"+ (», Ь) не зависит от с; обозначиз аэ1 этот класс через б"с. Показать, что последовательность гомоморфизмов и 6' О-ь Нз(й, Ь) — ~Н'(у, М) — ь Нз (а, Н) — ь У Ф р' 6' — ьН~ (й, Ь) — з. Н' (й, М) — ь Н' (у, Н) — ь ... является точной. ж) В обозиачениих е) точная последовательность О -ь .У (АГ, Ь) -+ 2' (АГ, М) ь 2' (Н, Н) -+ О определяет точную последовательность Нз(й,2 (У,М)) +Не(у,2 (Н,Н)),Н~(у,2 (Н Ь)) Тождественное отображение У является инвариачтом и ~ 2'(Аг> У), а значит, элементом из Н'(й, 2'(Н, У))1 пусть с — его образ в Н' (а, 2'(Аг, Ь)) Тогда для того, чтобы в М существовал»-подмодуль, дополнительный к Ц.
необходимо н достаточно, чтобы с = О. (Это условие означает, что а — образ злемеита нз Н' (», Я(Н, М)), т. е, гомоморфизма и й-модуля А) в й-модуль М; тогда и (Аг) — искомое дополнение.) з) Показать, что Я' (у, у) (где й рассматривается как я-модуль относительно присоединенного представления) совпадает с векторным подпространством дифференцирований й и что В'(й, й) совпадает с подпространствоы внутренних дифференцирований ». и) Пусть а н Ь вЂ” две К-алгебры Ли, причем Ь коммутатима, ь в Ь вЂ” ч-» — з.а — расширение а при помощи Ь. Для любого х ~ й ограничение аб х на Ь зависит только от класса х по модулю Ь, т. е. от структуры а-модуля на Ь. Пусть т есть К-линейное отображение а в у, такое, чте р т — тождественное отображение а.
Для любых х, у нз а положим 1(х, у) [тх, ту) — т Цх, у[). Показать, что ) ы Ез (а, Ь) и что класс с. злемеита [ в Н'(а, Ь) не зависит от выбора т. Лля того чтобы дза расширения а при помощи Ь, определяющие одинаковую структуру а-модуля ва Ь, были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы совпадали соответствующие им элементы с ш Н'(а. Ь). Лля того чтобы расширение было $. асщепляемым (или несущественным), необходимо и достаточно, чтобы с = О. сли В есть а-модуль и если с гмН'(а, В), то существует расширение е при помощи В (рассматриваемого как коммутативная алгебра Ли), определяющее данную структуру а-модуля на В и данный элемент с из Н' (а, В).
к) Пусть у — конечномерная алгебра Лн над К, У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра, Ь вЂ” идеал в а, Ь вЂ” билинейная иивариантиан форма / /' на й, ограничение которой иа Ь невырожденно, (у.), и (у1 1, а два базиса в Ь, такие, что Ь(уг, уг) 61р 1 ~, угуг~ У, М вЂ” произволь1=1 ный у-модуль, р — эндоморфизм С' (й, М), который отображает каждое пространство Сэ(у, М) в Сэ 1(й, М) и который при р > О определен формулой (р[) (хи х, ..., х,) = ч ~(уз)м [(уз, х1, ..., х 1). З 1 Пусть, законен, à — э~щоморфизм С'(а, М), продолжающий 1 и отображающий иаждую положнтельномериую коцепь в коцепь 1 [.
Показать, УПРАЖНЕНИЯ 1ОУ что рв'+ Ыр =Г. (Если для любого х вы 0 положить а я l г [» уз[= Х нщир Гх уз в)=р, авгуи г=! ! т то нУжво сначала показать, что аьг — ага.в Вывестн отсюда, что Гб= ФГ. Показать, что если М вЂ” конечномерный простой модуль, (1 — ассоцикровавная с вим билинейная форма и если д)ш Ь ие делится на характеристику К, чо НР(й, М) = (0) для любого р. (Используи предложение 12, показать, что Х вЂ” автоморфивм пространства С'(О, М) н, значит, индуцирует автоморфизмы на 2Р(», М), ВР(0, М). для гщ йр(р, М) змеем Г)=(бр+ рай)1 бр1 вы ВР(р, А!), откуда ЕР(р, М) =ВР(0, М).) Соглашения $4 остаются в силе, если ие оговорено противное. 1) Пусть й — нильпотеитнаи алгебра Ли, и (соотв, 4) — наямеяьшцр квелое число, такое, что Жрй= (0) (соотв.
6'ей==0). Показать, что р =э -1-1 ж что 6'гй ~ и'Р ~й. (Использовать доказательство предложения 1.) 2) Пусть й — полупрямое произведение одномерной алгебры Ь и коммуяативного идеала й'. Пусть х щ Ь, х чь 0 и и — ограничение аб х ва й', в а) Для того чтобы й была иильпотеитной, необходимо и достаточно, чтобы и было нильпотентным.
б) Длв того чтобы форма Киплинга алгебры 0 была нулевой, необходимо н достаточно, чтобы Тг(и') =О. а) Вывести из а) и б), что существуют неяильпотентные алгебры Лн с нулевой формой Киллннга. г) Вывестн из а), что в ннльпотентной алгебре Ли с 2гэ ~й ~ (0), 'еврй (О) возможно соотношение Увй Ф 4уэ 'й. 3) в) Пусть й — ннльпотентнан алгебра Ли й — ее центр. Ь вЂ” ненулевой идеал в й. Показатгь что йПЬ ~ (О) . (Рассмотреть Ь как 0-модуль отяосительно присоединенного представления.) б) Если в алгебре Лн 0 идеал Ь содержится в О'в+ьэ, но не содержится в йтвр, то показать, что ядеалы Ь() 6'ьй разлнчны для любых различных О К А (1+ !.
(Применить а).) 4) Пусть й — ннльпотентная алгебра Ли. а) Любая подалгебра Лн в й субиормвльна. (Использовать предложение 3.) б) Пусть Ь вЂ” векторное подпространство в О, такое, что Ь+ Юй=й. Показать, что подалгебра э, порожденная Ь, равна й. (Пряменить а) к этой цодалгебре. Свестн такии образом-доказательство к случаю, когда Ь вЂ” идеал в й, и использовать предложение 4 из 6 1.) Вывести отсюда, что мииимальаое число образующих алгебры 0 равно 41т О/мВО. 5) а) Показать, что алгебра Ли й, в которой любая подалгебра субнорыальна, является ннльпотентиой. (Показатгь что если бпп й) 1, то любой элемент х вм й прннадлежит некоторому идеалу Ь ~ й алгебры й, обладающему тем же свойством, что и й. а следовательно, иильпотентиому по предположению индукции (по размерности О); поэтому эндоморфизм аб х нильпотентен.) б) Показать, что если в некоторой алгебре Ли й любая подалгебра, отличная от й, отлична от своего нормалнзатора, то й нильпотентна.
(Свести к а).) 6) Пусть й — ннльпотеитная алгебра Ли, а — коммугативный идеал й. Следующие условия вквивалеитиы: а) а — максичальный коммутативный ГЛ. 1. АЛГЕБРЫ ЛИ идеал в 6; б) а — максимальная коммутативная подалгебра в 6; в) а совпадает со своим цеитрализатором а' в 6. (Импликашзн ие- а) =(з не- б) =Р не- в) очевидны, Если а' Мь а, тО ПО предЛожениЮ 1 существует идеал а" алгебры и, такой, что а 4=а ша', б!ша"/а 1. Тогда а"=а+ Кх, откуда [а", а") 4= 4= [а, а)+ [х, а) (О), и, следовательно, а) не верно.) 7) а) Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство над К, 6 — алгебра Ли нильпотентнык эндоморфизмов У, (Уг)о< <а — убывающая цепочка подпространств в У, такая, что 1'4 — — У, У„=(0) и 6(У,) ~Угег для 0 ц, г < и.
Индукцией по ! доказат4ь что (Я!46) (У,) ш У ь Если г+з бпп у=42', то подпространстзо элементов из у, аниулируемых Е!46, имеет размерность )2'. Если б!ш У~(24, то мзгй =(О). б) Пусть 6 — нильпотентная алгебра Ли, 4 — целое ) О. Если б!ш Я46> >2'+1, то центр Я46 имеет размерность )24.
Если ЙшЯ'йц,24+1, то идеал м)46 коммутативен. (применить в) к ограннчеяиям иа е)46 зндоморфнзмов ад х, х ш 6.) в) Пусть 6 — нильпотентная алгебра Лн, ! — целое число )О. Если м)46 'не коммугатнзна, то Я'6/м1'+ 6 имеет размерность ) 24+1. (4закторнзуя, если это нужно, свести задачу к случаю, когда Йш Ю + 6 =1, и применить б) ) 4 4.! 8) Пусть 6 — алгебра Ли, ш — идеал коразмерности 1„х — элемент из 6, ве принадлежащий п4, н з гм 6. а) Г!оказать, что линейное отображение Р, равное нулю на ш и переводящее х в г, является днфференцярованием тогда и только тогда, когда х принадлежит централизатору а идеала 4ц в 6. б) Пусть д — наибольшее целое число, такое, что а 4= $'З6.
Показать что если, кроме того, х ~ аз~.64 то Р не является внутренним дифферент 4-! цированием алгебры й. в) Вывести из а) и б), а также из упражнении 7 с), что если 6 — нильпотентная алгебра Лн размерности > 1, то векторное пространство внутренник дифференцирова4:ий алгебры 6 имеет коразмерность )2 в пространстве всех дифференцирований алгебры 6. 9) а) Проверить, что следующие таблицы умножения определяют две нильпотентные алгебры Ли 64 64 размерностей 3 и 4: 644 [хь хг! = хз [хь хз! = (хм хз! =0; 64.
[х4, хз) хз [хь хз! — х4, [х4х4! [хь хз! [хг, х4! = [хз, х4! =0 б) Показать, что 64 нзоморфна и (3, К), а также 81 (2, К), если характеристика К равна 2. в) Пусть ГП вЂ” едииственнан одномерная алгебра Ли. Показать, что ннльпотентные алгебры Лн размерности 4~ 4 исчерпываются следующей таблицей: размерность 1: 6,; размерность 2: 64Х 64', РазмеРность 3: 6, Х 64 Х 64, 64РРазнеРность 4: 64 Х 64 Х64Х64, 64Хйь О4. (Использовать упражнение 7 в). Если 6 нильпотентна размерности 3 и 41ш 216=-1, то заметить, что Юй содержится в центре 6 (упражнение 3 а)), откуда 6 64. Еслк Йшй=4. Йшмзй 1, то заметить, что коммутатор в 6 определяет билинейную знакопеременную форму на 6/Яй.
которая обязательно вырожде4:а; вследствие этого существует подалгебра «алгебры 6. содержащаяся в центре э, длн которой Йш» = 1, » П Яй=(0), т. е. 6=»Х6з Если Йгпй=4, Йгпм)6=2, то Яй коммутативиз; применяя теорему 1 К ОГРаНИЧЕНИЯМ На 26 ЭНДОМОРфнЗМОВ ад Х (ХЕИ 6), ПОКаэат44 ЧтО СУЩЕ= ствует коммутативный идеал» в 6, такой, что «=з Яй, Йш» 3; пусть УЛРАЖНПНИЯ х>и О, х ф й; выбрать базис в (1, такой, что ограничение аб х на 1) в этом базисе является жордановой матрицей; тогда 0 = э!.) 10) Пусть 2> — алгебра Ли дифференцирований алгебры О! (упражнение 9).
Показать. что я> семнмерна н что ее центр равен нулю; показать также, что идеал З' г: З внутренних дифференцирований не обладает дополнительной подалгеброй в к>. 11) Пусть Š— коммутатнвное кольцо, А — артннова слева алгебра над Т> у — отображение А )г', А в Е. Определим в А закон внутренней композиции (а, Ь)! —:ьа Ь=аЬ+у(а, Ь)Ьа. Для любого подмножества Е алгебры А обозначим через Е подкольцо (без единицы) кольца А, порожденное множеством Е. Показать, что если Е состоит из нильпотентнык элементов н> замкнуто относительно, то Е нильпотентно (т.
е. существует а ) О, такоечто Е" (О)). Доказательство можно вести следующим образом: 1 Предположить сначала, что А — простое кольцо, изоморфиое, следо вательно, Ы (Т), где Т вЂ” левое векторное пространство конечной размер. О ь ности з> над телом (>. Доказывать индукцией по и>. Пусть О> — множество 'подмножеств Е >:. Е, замкнутых относительно ° н таких, что и ннльпотентно.
Показать, что б! обладает максимальным элементом М (заметить, что Р" (0) для любого Ещ Ф). Предположить, что М Ф Е. Показать, что существует ащ Е, такое, что аФ М н г ° а!и М для любого тщМ (показать, что ие может быть бесконечной последовательности (а„), такой. что аз ~ Е, азФМ; а„т„-! ° а„-! прн тэ-! гм М). Пусть Б — подпространство в Т, равное сумме и(Т) при ищ М; показать, что Е ~ (0) н 8 Ф Т и что а(5) ~ 3, Пусть >>> — множество о >и Е, таких, что о(Е) с8, Используя предположение индукции н рассматривая элементы из >у как действующие на 3 и Т)3, показать, что У >и Ф, а это влечет за собой противоречие.
2' В общем случае использовать тот факт, что радикал А нильпотентен. Вызестн из этого результата новое доказательство теореиы Энгеля. 12) Пусть р — алгебра Ли, а Ж О вЂ” пересечение всех ЖРО. а) Алгебра Лн ОТЖ 0 иильпотеитна. б) Показать, что существует ннльпотентная подалгебра 1) алгебры а, такая, что 0 = 0 + э'~9. (Доказывать нндукцией по размерности 9. Предположим, что О ненильпотентна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
