Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В самом деле, пусть [1 — форма Кнллинга алгебры а. Так как «является ортогональным дополнением к Ый относительно р (предложение 5б)), то «<к,1 является ортогональным дополнением к (Ый) „= Ы(й<кз) относительно формы, получающейся из р путем расширения К до К„т. е. относительно формы Кнллинга алгебры й<«,1 (3 3, и' 8). Наше утверждение, таким образом, получается после применения еще раз предложения 5б).
$ б. Полупростые алгебры Ли Напомним, что К обозначает поле характеристики 0 и что все алгебры Ли конечномерны над К. 1. Определение полупростых алгебр Ли Опгеделение 1. Пусть а — алгебра Ли. Говорят, что 8 — иолу- простая алгебра Ли, если единственным ее коммутативным идеалом является (0). $ Ь. ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Замечания. 1) Нулевая алгебра Ли полупроста. Алгебра раз- мерности 1 нли 2 не является полупростой (см. $ 5, и' 1, при- мер 1). Существуют полупростые алгебры размерности 3 (см. и'7).
2) Центр полупростой алгебры тривиален, поэтому присо- единенное представление является точным. 3) Если яи ..., й„ полупросты, то й = й, Х ... Х й„. полу- проста, поскольку проекции на й,, ..., й„ любого коммутатив- ного идеала» ~ ц равны нулю, Теогемк 1. Пусть й — алгебра Ли. Следующие условия зкви- валентньи а) й полупроста; б) радикал т алгебры й равен ну лю; в) форма Киллинга р на й невырожденна.
Кроме того, полупростая алгебра Ли равна своему произ-, водному идеалу. а) = р б). Действительно, если т ~ (О], то последний отлич- ный от нулевой алгебры член производного ряда является ком-. мутативным идеалом в й. б) =~ в). Это следует из предложения 56) в й 5, и' 5 (кото- рое доказывает одновременно и последнее утверждение теоремы).
в) =р а). Это следует из предложения бб) в э 4, и'4. Следствие. Пусть й — полупростая алгебра Ли, р — предста- вление й в конечномерном пространстве )Г. Тогда р(») с: Е1(У'). В самом деле, линейная форма х»-»Тгр(х) (х~ 2) обра- щается в нуль на любом х вида [у, г] (у еи й, г еи й), а значит, и на Ой= 6. Пгедложение 1. Пусть й — полупростая алгебра Ли, р — ее точное конечномерное представление. Тогда билинейная форма на й, ассоциированная с р, невырожденна. В самом деле, ортогональное дополнение к й относительно этой формы является разрешимым идеалом ($5, и' 4, теорема 2) и, значит, равно нулю. Следствие 1. Пусть й — алгебра Ли, 6 — форма Киллинга, » — полупростая подалгебра в й. Ортогональное дополнение й к » относительно р является дополнительным подпространством к » в й и [», й] ~ (), Если » — идеал в й, то и () — идеал в й, кото- рый будет тогда централизатором » в й.
Пусть р' †ограничен р на ». Так как 9' †билинейн форма, ассоциированная с представлением х »-» адь х алгебры » в про- странстве й, а это представление является точным, то [у невы- рожденна (предложение 1). Значит, й дополнительно к » в й. Кроме того, если х, у лежит в» и х ~]), то 5(х, [у, г])= =6([х, у], г)=0, ибо [х, у]еи». Поэтому [у, г]я(), а это доказывает, что [», й]с=().
3 Н, БУРбака ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ Если а — идеал в 9, то известно, что 1) — идеал в 9 (3 3, пред.ложение 7) и 6 отождествляется с а Х (). Так как центр идеала а равен нулю, то его централизатор в 6 есть (). Слндствии 2. Любое расширение полупросгой алгебры при лол1ощи полупростой полупросто и тривиально. Это сразу вытекает из следствия 1. Слидствин 3. Если й — полупростая алгебра Ли, то любое ее дифференцирование является внутренним. В самом деле, ай 9 изоморфна 9, т. е.
полупроста и является идеалом алгебры Ли Р дифференцирований й ($1, предложение !). Если Р~Р коммутирует со всеми элементами из айй, то для любого х ен 9 имеем ай Р (х) = !Р, ад х) = О, откуда Р (х) = О; поэтому Р = О. Следствие 3 вытекает теперь из следствия 1. 2. Полупростота представлений Лемма 1. Пусть й — полупросгая алгебра Ли. Ее присоединенное представление полупросто. Все ее идеалы и факгоралгебры лолупрость1. В самом деле, пусть а — идеал в !1.
Ортогональное дополнение 6 к а относительно формы Киллинга является идеалом в 9, а БД6 — коммутативным идеалом ($3, п' 6, предложение 7), т. е. равно нулю. Поэтому 6 является дополнением к а в й. Кроме того, поскольку форма Киллинга на й невырожденна, таковыми будут и ее ограничения на а и на 6 (Алг. гл. [Х, $4, и' 1, следствие предложения !), так что а и 6 полупросты (и' 1, теорема 1, и 5 3, и'6, предложение 9).
Лемма 2. Пусть й — алгебра Ли. Тогда следующие два условия эквивалентны: а) Все конечномерные линейные представления алгебры полупросты. б) Для данного линейного представления р алгебры и в векторном пространстве )' конечной размерности и данного подпространства Ч7 коразмерности 1, такого, что р(х) Г' ~ )Г для любого хе= 6, существует прямая, дополняющая ))т, устойчивая относительно р(й) (и, стало быть, аннулируемая р(9)).
Ясно, что а) влечет за собой б). Предположим, что б) верно. Пусть о — конечномерное представление й в векторном пространстве М и Ф вЂ” подпространство М, устойчивое относительно о(й). Пусть р — представление й в У (М), канонически индуцируемое представлением о ($ 3, п' 3); напомним, что 1А(х) = аде1м1о(х). Пусть Р (соотв. БГ) — подпространство в ~Б'(М), состоящее из линейных отображений М в Ж, таких, что их т ь а полтпгостьш ьлгввгы ли 67 ограничение на 1ч' является гомотетией (соотв.
нулевым отображением). Тогда Я7 имеет коразмерность 1 в У и р (х) (У) с: Н7 для любого хан 3. Согласно условию б), существует элемент и ~ У, аннулируемый и(х) для любого хан й, ограничение которого на !ч' является ненулевой гомотетией. Умножая и на подходящий скаляр, можно считать, что и является проектированием М на !ч'. Так как р(х).и=О означает, что и перестановочно с о(х), то ядро и является дополнением к Лl в М, устойчивым относительно о(х) для любого хедй. Поэтому а полупросто. Лемма 3.
Пусть й — полупростая алгебра Ли, р — линейное представление й в конечномерном векторном пространстве У и Я7 — надпространство в У коразмерности 1, такое, что р(х)(У) с: Я7 для любого хе= й. Тогда существует прямая, дополняющая (У и устойчивая относительно р(й). Для любого х гн й пусть о (х) — ограничение р (х) на В'.
Предположим сначала, что о неприводимо. Если а = О, то р (х) р (у) = 0 для любых х, у из й, откуда р (й) =- р (Ый) = (0) и наше утверждение очевидно. Если о ~ (О), то пусть и — ядро о, и пусть ж — идеал, дополняющий п в й (лемма 1); тогда жФ(0) и ограничение о на ш точно; ограничение на ~п билинейной формы, ассоциированной с о, невырожденно (предложение 1), поэтому можно построить элемент Казимира с, ассоциированный с т и о.
Согласно предложению 12 из 5 3, и'7, о(с)— автоморфизм ят. С другой стороны, р (с) (У) с: (У. Поэтому ядро 2 эндоморфизма р(с) является прямой, дополняющей И7; так как, далее, с принадлежит к центру универсальной обертывающей алгебры для й, то р(с) перестановочно с р(х) для любого х ен й и, значит, Я устойчиво относительно р(й).
В общем случае можно рассуждать индукцией по размерности У. Пусть Т вЂ” ненулевое минимальное устойчивое подпространство в 27. Пусть р' — факторпредставление в У' = У(Т. Для любого хек й имеем р'(х)(У') с Г, где 27'= Яг/Т имеет коразмерность 1 в У'. По предположению индукции существует прямая, дополняющая И7' и устойчивая относительно р'(й), Ее прообраз 2 в У устойчив относительно р(й), содержит Т в качестве подпространства коразмерности 1 и таков, что Я () В' = Т, откуда р(х) (2) с Т для любого х ~ й. Согласно тому, что было доказано выше, существует прямая, дополняющая Т в Я, устойчивая относительно р(й); эта прямая является дополнением к Н7 в У, что и завершает доказательство. Тиовимл 2 (Г. Вейль).
Любое конечномерное линейное представление полупростой алгебры вполне приводимо. Это следует из лемм 2 и 3. ГЛ. Е АЛГЕБРЫ ЛИ Опгвделение 2. Алгебра Ли й называется простой, если единственными ее идеалами являются й и (О) и если, кроме того, й некоммутативна. Простая алгебра Ли полупроста. Алгебра (О) не является простой. ПРедложение 2. Длл того чтобы алгебра Ли была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы она была произведением простых алгебр. Условие является достаточным (и' 1, замечание 3).
Обратно, пусть й полупроста. Так как присоединенное представление й полупросто, то й является прямой суммой ненулевых минимальных идеалов аь ..., « . Поэтому й отождествляется с произведением алгебр «; 5 1, и' 1). Любой идеал в «; является тогда идеалом и в й, а поэтому равен нулю или аь Кроме того, «, некоммутативен. Поэтому «, являются простыми алгебрами. Следствие 1. Полупростпя алгебра Ли является прямым произведением своих простых идеалов йн Каждый идеал в й является произведением некоторых из этих йь Имеем й=«, Р, ...
Р,'«, где «, просты. Так как центр «, равен нулю, то централизатор «, в й является произведением «Г для / Ф 1. Пусть теперь « — идеал в й. Если он не содержит «„ то «Да;=(О), откуда («, «Д=(О) и «содержится в произведении «1 для / Фю'. Отсюда вытекает, что «является произведением некоторых из «р Поэтому простые идеалы й суть в точности ао Простые идеалы полупростой алгебры Ли называются ее простыми компонентами. Следствие 2.
Пусть « и й' — две алгебры Ли, т и Г' — их радикалы и / — гомоморГризм й на й'. Тогда Г' = /(т). Так как /(Г) разрешима, то /(Г) ~ Г'. С другой стороны, «/Г полупроста ($5, и' 2, предложение 3), поэтому алгебра й'//(Г), изоморфная факторалгебре алгебры й/Г, сама полупроста (лемма 1), откуда /(Г) ~ Г' 5 5, и'2, предложение 3). Ззмечания. 1) Теорема 2 допускает обращение: если любое конечномерное представление алгебры й полупросто, то й полу- проста. В самом деле, так как присоединенное представление полупросто, то любой идеал в й обладает дополнительным идеалом, т. е. его можно рассматривать как факторалгебру алгебры й.
Если й не полупроста, то она обладает ненулевой' коммутативной факторалгеброй и, следовательно, одномерной з 5 з, полуппостые АлГеБРы ли 69 факторалгеброй. Однако одномерная алгебра Ли К обладает неполупростыми представлениями, например .-(, ','). 2) Пусть 8 — алгебра Ли над К и о — представление алгебры 8 в векторном пространстве М. Пусть, с другой стороны, ) есть К-линейное отображение 8 в М, такое, что 1 ((х, у) ) = о (х).
) (у) — о (у). 1 (х) (1) для любых х, у из ((. Согласно $1, и'8, пример 2, задание о н 1 равносильно заданию гомоморфизма х э() (х), о (х)) алгебры 8 в п((М). С другой стороны, мы видели (там оке), что элемент ()'(х), о(х)) алгебры п)(М) канонически отождествляется с эле- ° ментом р(х) алгебры 8((У) (где У =М Х К), индуцирующим о(х) на М и переводящим элемент (О, 1) пространства У в 1(х). Поэтому р является представлением 9 в У„таким, что р(х) (У)с: М для любого хан 8. В таком случае, если й полупроста, существует (лемма 3) прямая 2, дополняющая М в У и аннулируемая р(8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
