Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однако огРаничение (1' на 6 Равно Р (предложение О), что и требовалось доказать. 7. Элемент Казимира ПРедложении 11. Пусть й — алгебра Ли над полем К, У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра, 1) — конечномерный идеал в й и р — билинейная инвариантная форма на й, ограничение которой на ч невырожденно. Пусть (ес)с<с<ы (ес)с<с два базиса в и, такие, что р(ес, ес) =Ьсс. Тогда элемент с= о = ~ есес алгебрьс 0 принадлежит ее центру и не зависит от с=! вьсбора базиса (ес). Для х ен й через х» обозначим ограничение на 5 эндоморфизма або х.
Тогда х ~ х» — представление й в пространстве (» и ограничение р' формы (С на 1) инвариантно в этом представлении. Согласно и' 5, пример 3, тензор ) ес ® ес не зависит с=! от выбора базиса (е,) и является инвариантным элементом тензорной алгебры алгебры (). Он является также элементом тензорной алгебры Т алгебры й, инвариантным относительно представления, индуцированного присоединенным представлением алгебры й. Его канонический образ в У, т. е. с, не зависит, таким образом, от выбора базиса (ес) и иньариантен относительно представления алгебры й в У, рассмотренного в конце и'2. Этот элемент, стало быть, перестановочен с любым элементом из й, а значит, и с любым элементом нз У. В случае когда (1 — билинейная форма, ассоциированная с й-модулем М, говорят, что элемент с из предложения 11 есть элемент Казимира, ассоциированный с М (или с соответствующим представлением).
Этот элемент существует, если ограничение р на $ невырожденно. Пвидложение 12. Пусть й — алгебра Ли над полем К, 5 — произвольньсй и-мерный идеал в й и М вЂ” некоторый срмодуль конечной размерности над К. Пусть с — элемент Казимира, ассоциированный с М и (с (если он существует).
ГЛ. !. АЛГЕБРЫ ЛИ а) Тг(с,н) =и. б) Если М вЂ” простой модуль и и не делится на характеристику поля К, то см — автоморфизм М. Пользуясь обозначениями предложения 11„получим, что Тг(с,н)= ~ Тг((е!)А,(е!)и)= ~()(е<, е!)=и. Поэтому, если и не <-! <=! делится на характеристику К, то см Ф О. С другой стороны, так как с принадлежит центру У, эиаоморфизм с.и перестановочен со всеми хм, х ен а. Если, кроме того, М прост, то си обратим в Ы(М) (Алг., гл. ПП, $ 4, и'3, предложение 2). 8, Рас<иирение кольца скаляров Пусть К, — коммутативное кольцо с 1, ф — гомоморфизм К в К„переводящий 1 в 1.
Пусть й есть К-алгебра Ли, У вЂ” ее универсальная обертывающая алгебра и М вЂ” некоторый й-модуль, т. е. левый У-модуль. Тогда М<к,! канонически наделяется структурой левого У<к,<-модуля, а значит, и структурой левого 9<к,<-модуля. Пусть р и р,„,— представления а и й,к<, соответствующие М и М,„!. Говорят, что р,, получается из р раси<ирением кольца скаляров, причем можно применить результаты из Алг., гл. ЧП1, $ 13, и'4.
Если хан <), то р,„<(х) есть не что иное, как эндоморфизм р(х) Э 1 модуля М<к,<= М Э кК!. Предположим, что К вЂ” поле, К, — расширение К и <р — каноническое вложение К в КР Пусть У и )<' — подпространства векторного пространства М. Пусть а' — подпространство векторного пространства й<к н образованное теми х еи й<„<, для котоРых Р...(х')($'<к,) ~ Р<ха! и а — подпРостРанство в й обРазованное теми х еи й, для которых р(х) (Р') ~ )<'.
Тогда а'=а<к,!. Ясно, во-первых, что а<к,<с= а'. Пусть теперь х' еи а'. Можно записать х'= 2 1.<х„где х! ~ й и А! — элементы из Кь линейно <=1 независимые над К. Для любого и ен У имеем р (х'). и я )<<к,<, т. е. ~А<Р(х;).иен Р'<к,<, откУда Р(х;). иен)<', а значит, х<епа <=! и х' ен а<к,!. Это и доказывает, что а' = а<х,!. В частности, центр й<к„получается из центра й при расширении К до К,: достаточно применить предыдущее к присоединенному представлению алгебры а. Отсюда следует, что %' (О<к!) ($' й)<кв для всех р.
Аналогично пусть () — подалгебра а и н — норма- лизатоР () в й. Тогда ноРмализатоР 1) в й<к! Равен и<к Г Пусть К, Кп 6, р, М те же, что и в предыдущем абзаце. Пусть Р— векторное подпространство в а, а Ю вЂ” подпростран- е Ф з. пгвдстьвлвния 49 ство в М. Пусть Ч вЂ” подпространство в М, состоящее из т~М, для которых р(9).т~ йт и à — надпространство в М «в, состоящее из гп' ~ М~«,ь таких, что р,«, (6,«,).
т' с (р; Как и выше, Г=)т,«, В частности, векторное подпространство инвариантов в М~«й получается из векторного надпространства инвариантов в Л1 расширением поля скаляров К до К,. Пусть К, К, и ~р — те же самые, что и в начале этого пункта. Пусть 9 есть К-алгебра Ли, а М и М вЂ” два й-модуля. Если М и М вЂ” изоморфные й-модули, то М~«в и Мдй — также изоморфные й,,-модули. Обратно, П1 вдложвиив 13. Пусть К вЂ” поле, К, — расширение К, й — алгебра Ли над К, М и Ж вЂ” два 1)-модуля, конечномерных над К. Если М<«е и Л/, — изоморфные 9,;модули, то М и Л( — изоморфные й-модули. Доказательство проведем в два этапа.
1'. Предположим сначала, что К, — расширение поля К конечной степени и. Пусть У вЂ” универсальная обертывающая алгебра для 9, так что универсальная обертывающая алгебра для 9,«в есть У,«в=У З «К, (9 2, п'9). Будучи изоморфными П~«в-модулями, М<«в и Идв изоморфны, конечно, и как У-модули; но как 0-модули они изоморфны соответственно М" и Л1", В то же время М и У суть 0-модули конечной длины; поэтому М (соотв. М) является прямой суммой семейства (Р,~) !К1<р (соотв. 1(г /) ) подмодулей, таких, что Р, (соотв. Я,) неразложимы и любые два Р,(соотв. Я~) с различными индексами неизоморфны (Алг., гл. ЧП1, 5 2, и'2, теорема 1).
Тогда М" (соотв. У") изоморфен прямой сумме модулей Р"," (соотв. Я,' ф Отсюда выводим (см. там же), что у=р, и (возможно, после некоторой перестановки модулей ф) имеем пт, = пз, и Р, изоморфен Я; для 1-:1(р. Стало быть, М изоморфен Ж. 2'. Общий случай. Пусть Р есть 9-модуль .йч, (М, Л() и Я вЂ” подпространство инвариантов в Р, т. е. множество гомоморфизмов 9-модуля М в 9-модуль У. В 9,«,-модуле 2'<«,(М,«й, Л(«в) =(Жс(М, Л~))~«в подпростраиством инвариантов является Я,«й.
Предположение об изоморфности М,«в и И «й влечет за собой совпадение размерностей модулей М и У над К и существование в Ядй элемента д, являющегося изоморфизмом М<«в на У~«,ь Пусть (1ь ..., 1л) — базис в О над К. Выберем, с другой стороны, базисы в М и М над К. Если Хе~К, для 1( (й(Ы, то матРица отобРажениЯ 1= ~ Хь1ь в этих базисах ь=! имеет в качестве определителя многочлен О (Хь .. „ Хь) с ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ 60 коэффициентами в К. Если )' = д, то этот определитель отличен от нуля и, значит, не все коэффициенты в 0 — нули.
Поэтому если »1 — алгебраическое замыкание К, то существуют (ибо 1» бесконечно) элементы 1»»вне (1~(й~(д), такие, что 0(и1„... ..., 1»») чьО (Алг., гл. 1Ч, $2, и'5, предложение 8). Если К,— алгебраическое расширение К, порожденное 1»» (1~(й<д)„ то отсюда выводим, что х 1»»)» — изоморфизм М<к,1 на У1к,1. »-1 Но К, имеет конечную степень иад К (Алг.
гл. Ч, $3, и' 2, предложение 5), поэтому М и У изоморфны по первой части доказательства. Пусть снова К, К, и 1р те же самые, что и в начале настоящего п'. Пусть р — представление й в К-модуле М, обладающем конечным базисом (хо ..., х„). Тогда билинейная форма на 9< 1, ассоциированная с р,„, получается из билинейной формы, ассоциированной с р, расширением кольца скаляров (ибо если и ея .хк(М), то и обладает той же матрицей в базисе (х„ ..., х„), что и и ® 1 в базисе (х, ® 1, ..., х„ 8 1), а значит, и и и ® 1 имеют равные следы). В частности, если К-модуль й обладает конечным базисом, то форма Киллинга алгебры 81 а получается из формы Киллинга алгебры й расширением кольца скаляров до КР й 4.
Нильпотентные алгебры Ли Напоминаем, что начиная с этого места К вЂ” поле. Кроме того, до конца главы предполагается, что все алгебры Ли конечномерны над К. л. Определение нильпотентных алгебр Ли Определение 1. Говорят, что алгебра Ли й нильпотентна, если существует конечная убывающая цепочка ее идеалов (81) такая, что й,=й, йр — — (О) и 18, 81) с 81+1 для О~(1 < р. Коммутативная алгебра Ли нильпотентна. ПРедложение 1. Пусть й — алгебра Ли.
Следующие условия эквивалентны: а) й нильпотентна; б) %'"й = (О) для достаточно большого й; в) У»й = й для достаточно болыиого й; г) существует целое й, такое, что абх1 оабх»о ... райх» — — О для любых элементов х„х„..., х» из й; $4. нильпотвнтныв АлГЯБРы ли д) существует убывающая цепочка идеалов (г)г)ь,<„алгебрьг д такая, что до=6 др=(0) [6 дг[сдг+г и б)щдггдг+г=1 для 0<1< и. Если В~6=(0) (соотв.
1рьд=6), то ясно, что последовательность Ж'д, ..., У~д (соотв. %'ьд, 'грь-~д, ° .* Жьд) обладает свойствами, сформулированными в определении 1, откуда следует, что д нильпотентна. Обратно, предположим, что существует последовательность (дг) <,<, обладающая свойствами из определения 1. Индукцией по 1 убеждаемся, что 6,:з Бг'+'6 и д г с= с$',д.
Поэтому У~~ 6=(0) и ярд=6. Итак, доказано, что условия а), б) и в) эквивалентны. С другой стороны, Угд есть множество линейных комбинаций элементов вида [хо[хм ", [х;-г[х~-ох;)[ ")), где х„хм ..., х, пробегают 6. Поэтому условия б) и г) эквивалентны. Наконец, если существуетпоследовательность(6,)„ идеалов, обладающая свойствами из определения 1, то существует последовательность подпространств ($г)ь<г „ просгранства д размерностей и, п — 1, и — 2, ..., 0 и последовательность индексов 1ь <1, « ... 1р с до =()ц, 6~ =()г„,, де =()г . Так как [д, 1У Дс).ь~в то Ц,— иДеалы и тогДа [6, ()г[с(),+, ДлЯ всех 1. Поэтому условия а) и д) эквивалентны. Слндствии 1. Центр ненулевой нильпотентной алгебры Ли отличен от нуля. Слвдствив 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
