Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Структура й-модуля на М и структура тривиального й-модуля на К определяют структуру й-модуля на К-модуле У=Я(М,М; К) билинейных форм на М. Имеем (х„. р) (т, т') = — р(хм. т, т') — р(т, хА,. т'), (10) где хан й, т, т' из М, бе= Ж. Если й — данный элемент из У, то множество х~й, для которых х„.р=О, является подалгеброй в й. Пусть М есть К-модуль, а й — билинейная форма на М. Согласно предыдущему, множество хан й!(М), таких, что р(х. т, т')+р(т, х.т')=О для всех тенМ и т'я М, есть подалгебра Ли алгебры й1(М). Предположим, что К вЂ” поле, М конечномерно над К и что 4 $3. пРедстАВления 43 форма р невырожденна. Тогда всякий х ~ 21(М) обладает всюду определенным сопряженным слева х* (по отношению к б), и рассматриваемая подалгебра является множеством х ~ 21(М), таких, что х*= — х, Таким способом можно построить два важных примера алгебр Ли: а) Возьмем М=К" и ря~ " $ ) (ч "' ча))=Ьтн+" +4ч, Отождествим канонически й!(К") с М„(К).
Тогда получаемая алгебра Ли есть алгебра Ли кососимметрических матриц. * (Если К=11, то эта алгебра является алгеброй Ли ортогональной группы 0(п, й).) э б) Возьмем М=К'м и р(($ ", 5 ) (Чо ", Ч. ))= = Ьц~~ю т!1етн + ° ° + $тц те $ Матрицей формы б в каноническом базисе пространства К' 0 1„~ ГА В~ будет 1 0 ~. Пусть Б=( ) — матрица элемента и из й! (М) в каноническом базисе Кэ" (А, В, С, Р взяты нз йй„,(К)). По формуле (50) из Алг., гл. 1Х, 5 1, и' 10, матрицей и* в том же базисе является Условие и* = — и эквивалентно условиям Р= — 'А, В='В, С='С. э Если К= 11, то получаемая алгебра является алгеброй Лн симплектической группы Ьр (2т, 11).
э Пример 2. Сохраним обозначения примера 1. Структура й-модуля в М определяет в К-модуле Р=х"х(М, М) эндоморфизмов модуля М структуру й-модуля. Согласно формуле (6), для хен й и и ен Р имеем хр.и=(хм, и)=(аахм).и, (11) причем аахм обозначает образ х,и в присоединенном предста- влении алгебры й!(М). Иначе говоря, хр=аохм (12) в Ы(2Р(М, М)) = Ы(й!(М)). ГЛ. Ь АЛГЕБРЫ ЛИ Ю. Инвариантные элементы Опэеделение 3, Пусть Π— алгебра Ли, а М вЂ” проиэвольныб О-модуль. Элемент Гаев М называется инвариантным (в структуре О-модуля на М или в соответствующем представлении алгебры й), если хм. Гп=О для любого х~ О.
» Пусть 6 — вещественная связная группа Ли, Π— ее алгебра Ли, Π— аналитическое представление 0 в конечномерном вещественном пространстве Е и р — соответствующее представление О в Е. Пусть Гп ев Е. Элемент Гп является инвариантным относительно р тогда и только тогда, когда О(д).т =Гп для любых д ~ б. Это оправдывает применение слова „инвариантный".„ Пример 1. Пусть М, )ч' — два й-модуля и Р=2'к(М, Л!). Для того чтобы элемент ! модуля Р был инвариантиым, необходимо и достаточно, согласно (О), чтобы ! был гомоморфизмом и-модуля М в !1-модуль Л'.
В частности, если М = М и хм = хь. для любого х ~ й, то ! инварнантеи тогда и только тогда, когда он перестановочен со всеми хм. Пример 2. Пусть М есть К-модуль конечного типа. Если М наделен структурой й-модуля, то .У(М,М) и М*Э М также наделены структурами О-модулей и каноническое отображение М' ® М в Я(М,М) является изоморфнзмом й-модулей (предложение 4). Так как 1 ~ й.(М,М), очевидно, инвариантна (см. пример 1), то соответствующий ей элемент и из М'Э М инвариантен.
Если (е) . — базис в М и (е') — дуаль!~с~ !к(~» » ный ему базис, то и = ~ е', Э е,. 1=! Пример 3. Пусть М вЂ” произвольный й-модуль. Пусть р — билинейная форма на М и ! — соответствующий элемент из .У(М, М'), Для инвариантности р необходимо и достаточно, чтобы отображение ! было гомоморфизмом й-модулей (предложение 4 и пример !). Предположим, что К вЂ” поле и что М конечномерно пад К. Инвариантная и невырожденная билинейная форма р на М определяет иэоморфиэм й-модуля М на а-модуль М", а следовательно, и изоморфизм О-модуля М Э М на О-модуль М' Э М. Таким образом, учитывая пример 2, мы видим, что задание р определяет канонически инвариантный элемент с й-модуля М Э М, который может быть построен следующим образом. Пусть (е ) — базис в М и (е') — другой базис ! !<ю~» !~!<» » в М, для которого р(е!, е') =биб тогда с = ~, е, Э е',.
/=!Р ! ! ПРйдложение 5. Пусть й есть К вЂ” алгебра Ли, (! — ее идеал, о — представление й в М и р' — ограничение р на (!. Тогда л!но- б ' 4 з.пэздстлзлания 45 жество Ж элементов иэ М, инвариантных относительно р', устойчиво относительно р(й). В самом деле, пусть и ~ Ж и у ~ й; для любого хан [) имеем [х, у[~5, откуда р(х) р(у)п= р([х, у[)п+ р(у)р(х)я= 0; поэтому р (у) и ен У. Пввдложяния 6. Пусть М вЂ” полупростой й-модуль. Тогда подмодуль Мь инвариантных элементов в М обладает единственным дополнением, устойчивым относительно всех хи, а именно подмодулем Мо порожденным элементами хм. т (х ~ й, т ен М). Действительно, пусть М' — подмодуль М, устойчивый относительно хм и дополнительный к Мь в М.
Для любого тен М имеем т = т, + т', где ть ~ Мь, т' е= М', поэтому хмт = =хит'енМ'. Отсюда М, с= М'. Пусть Мз — подмодуль в М', устойчивый относительно всех хм и дополнительный к М, в М". Для любого т ен Мз и любого х ен й выполняется хит ен яМ,ПМ,=(0), откуда тенМь и т=О. Поэтому М =(О), что и доказывает равенство М, = М'. б.
Билинейные инвариантнме формы Пусть й — алгебра Ли над К. Присоединенное представление й в й и нулевое представление й в К определяют структуру й-модуля на К-модуле Л/ — — Ы(й, й; К) билинейных форм на й. Будем кратко говорить, что билинейная форма р на й инвариантна, если она инвариантна в представлении х ~ х . По формуле (10) необходимым и достаточным условием для этого является равенство р([х, у[, з)=р(х, [у, з]) (13) для любых х, у, з из й. Пусть теперь Ь вЂ” алгебра Ли дифференцирований алгебры й.
Тождественное представление с и ее нулевбе представление в К определяют представление 0-ь 0н алгебры с в Ф. Кратко говорят, что билинейная форма на й вполне инвариантна, если она инвариантна в представлении 0 ~ 0„. Вполне инвариантная билинейная форма является инвариантной. Для того чтобы билинейная форма р на й была вполне инвариантной, необходимо и достаточно, чтобы р(0х, у)+ р(х, 0у) =0 (14) для любых х, у из й и 0ен с. Пэядложяния 7.
Пусть й — алгебра Ли, [) — билинейная симметрическая инвариантная форма на й и а — идеал в й. ГЛ. 1. АЛГЕБРЫ ЛИ а) Ортогональное дополнение а' к а относительно р является идеалом в д. б) Если а характеристичен и если р вполне инвариантна, то идеал а' характеристичен. в) Если р невырожденна, то пересеиение а Д а' коммутативно. Пусть .0 — дифференцирование алгебры д. Предположим, что а устойчиво относительно В и ]) (Пх, у) + [) (х, Пу) = О для любых х, у из д.
Тогда из гя а' следует Пгя а', ибо для всех (~а выполняется И~а и 5(Пг,1) — р(г,.И)=0. Итак, а' устойчиво относительно В. Это доказывает а) и б). Пусть теперь Ь вЂ” идеал в д, и предположим, что ограничение р на Ь является нулевым. Для х, у из Ь и г ~ д имеем р([х, у], г) =-р(х, [у, г] ) = О, так как [у, г] ен Ь. Значит, идеал [Ь, Ь] ортогоиален к д и если р невырожденна, то Ь коммутативен. Этот результат, примененный к апа', доказывает в).
Ош вдялании 4. Пусть д есть К-алгебра Пи, а М вЂ” некоторый д-модуль. Предположим, что М является К-модулем конечного типа. Билинейной формой, ассоциированной с д-модулем М (или с соответствующим представлением), называется билинейная симметрическая форма (х, у) Тг(хчум) на д. Если рассматриваемое представление является присоединенным, то ассоциированная билинейная форма называется формой Киллянга алгебры д. ПРидложаннв 8, Пусть д — алгебра Ли, М вЂ” некоторый д-модуль.
Предположим, что М является К-модулем конечного типа, Тогда ассоцицоованная с М билинейная форма будет инвариантной. В самом деле, для х, у, г из д имеем Тг([х, у]мгм) =Тг(хну„ги) — Тг(умхмг,я)= =Тг(хиУиг 1) — Тг(хмг,БУ,н)=Тг(хм[У, г]м). Пвадложанив 9, Предположим, что К вЂ” поле и что алгебра Ли д конечномерна над К.
Пусть а — идеал в д, р — форма Киллинга алгебры д, р' — форма Киллинга алгебры а. Тогда ()' — ограничение р на а, В самом деле, пусть и — эндоморфизм векторного пространства ~), оставляющий устойчивым а. Пусть и — ограничение и на а, а Ге — эндоморфизм векторного пространства фа, индуцировачиый эндоморфизмом и посредством факторизации. Имеем Тги=Тго+Тгш, в чем можно убедиться„выбирая базис (х„ ..., х„) пространства д, первые р членов которого составляют базис в а. Убедившись в этом, возьмем хна, уев а и применим предыдущую формулу к случаю и = — (аб„х) (абьу). Получим и =(аб„х) (аб„у) и 1е= О.
Отсюда [)(х, у) =(3'(х„у). % 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Пиедложении 1О. Предположим, что К вЂ” поле и что алгебра Ли й конечномерна над К. Тогда форма Киллинга р на й вполне инвариантна. Пусть 0 — дифференцирование алгебры а. Существуют алгебра Ли й', содержащая й в качестве идеала коразмерности 1, и элемент хо алгебры й', такой, что Пх=1хо, х) для всех к~ 8 ($1, и' 8, пример 1). Пусть 8' — форма Киллинга на й'. Для х, у из ц имеем Р'([х, хо! у)=р'(х, (хо, у)) т е Р'(сгсх, У)+Р'(х; ОУ)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
