Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Построение свободной алгебры Ли Опгвдвленив 1. Назовем свободной алгеброй Ли над множеством Х факторалгебру Е(Х) =1.!Ь(Х)!а, где а — двусторонний идеал в 1!Ь(Х), порожденный элементами вида (г(а)=а.-а для любого а из ЫЬ (Х), (1) Х (а, Ь, с) = а . (Ь . с) + Ь .(с .
а) + с .(а . Ь) (2) для любых а, Ь, с, из 1.!Ь(Х). Ясно, что Е(Х) есть К-алгебра Ли; произведение двух элементов и, о из 1.(Х) будет обозначаться через [и, о!. Если есть необходимость подчеркнуть основное кольцо К, то пишут Е» (Х) вместо Е(Х). Следующее предложение оправдывает название „свободная алгебра Ли", присвоенное алгебре Е(Х). Птндложвнив 1. Пусть ф — каноническое отображение 11Ь (Х) на Е(Х) и ~р — ограничение ф на Х. Для любого отображения Г множества Х в лгебру Ли й существует единственный гомоморфизм Р: 1.(Х)-тй, такой, что 1=Ро~р. а) Существование Р, Пусть й — гомоморфизм 1.!Ь(Х) в й, продолжающий 1 (и' 1). Для любого а нз 1лЬ(Х) имеем й(Ц(а))= = й(а. а) = (й (а), й (а)! = 0; аналогично выполнение тождества Якоби в й влечет за собой Ь(1(а, Ь, с)) = 0 для а, Ь, с из 1.1Ь(Х). Отсюда следует, что й(а) =О, а это позволяет определить гомоморфнзм Р алгебры Е(Х) в й, для которого й =-Роф.
Беря ограничение на Х, получаем ! Ро<р. б) Единственность Р. Пусть Р': Е (Х) -ь й — гомоморфизм, такой, что 1 = Р' о ~р. Гомоморфизмы Р о ф и Р' о ф алгебры 1!Ь(Х) в й совпадают на Х, а значит, равны; так как ф сюрь. ективен, то Р=Р'. Следствии 1. Семейство (у(х))„х свободно над К в 1.(Х). Пусть х„х,,..., х„— различные элементы из Х и Аь..., ь„ из К таковы, что (3) А~ ф (х~) + ... + А„ ° ср(х„) = О. Пусть й — алгебра Ли, порожденная модулем К. Для любого 1=1, 2, ..., и существует гомоморфнзм Р, алгебры Е(Х) в й, такой, что Р~(ф(х)) 1 я Р,(~р(х))=0 для хФх, (предложение 1); применяя Р~ к соотношению (3), получаем А~=О. Слвдствяи 2. Пусть а — алгебра Ли. Любое расширение Е(Х) при помощи а расщепляется (является несущественным).
гл. и. своводныв алгявгы ли Пусть а — «й — 1.(Х) — некоторое такое расширение (гл. 1, й 1, и 7). Так как !к сюръективно, то существует отображение 1 множества Х в й, такое, что ф=!к«1. Пусть Р— гомоморфизм 1. (Х) в й, такой, что 1= Р «ф (предложение !). Имеем (в«Р)оф=!к«)=ф, и предложение 1 доказывает, что !к«Р— тождественный автоморфизм 1.
(Х). Заданное расширение, таким образом, расщепляется (гл. 1, $1, и'7, предложение 6 и определение 6). Так как кольцо К не является нулевым, то следствие ! предложения 1 показывает, что ф инъентивно. Можно, таким образом, отождествить при помощи ф множество Х и множество ф(Х) из 1.(х); в этом случае Х порождает 1.(Х) и любое отображение Х в некоторую алгебру Ли й продолжается до гомоморфизма алгебр Ли Ь(Х) в й. Замечание. Если Х пусто, то М (Х) пусто, следовательно, 1 (Х) = (О).
Если Х состоит из одного элемента х, то подмодуль К. к алгебры Ь(Х) является в ней подалгеброй; так как Х порождает 1.(Х), то следствие 1 предложения 1 показывает, что 1.(Х) — свободный модуль с базисом (х). 3. Задания алгебры Ли образующими и определяющими соотношениями Пусть й — алгебра Ли, а = (а,), — некоторое семейство элементов из й. Обозначим через 1, гомоморфизм ЬЯ в й, отображающий любое 1~1 в аь Образ этого гомоморфизма является подалгеброй в й, порожденной семейством а; элементы ядра 1 называются определяющими соотношениями семейства а. Говорят, что семейство а — система образующих (соотв. свободных, базисных образующих), если )' сюръективен (соотв. инъективен, биективен). Пусть й — алгебра Ли. Заданием й образуюи!ими и определяющими соотношениями называется пара (а, т), образованная системой образующих а=(а;),.
и системой т=(т!), ее определяющих соотношений, порождающих как идеал в 1. (1) ядро отображения ) . Говорят также, что й задана образующими а, связанными определяющими соотношениями О Це=1). Пусть 1 — множество и т (г;),, — семейство элементов свободной алгебры Ли 1. (1); пусть а, — идеал в 1 (1), порожденный т. Факторалгебра А(1, т) = 1,(1)/а, называется алгеброй Ли, определенной 1 и семейством определяющих соотношений (О); говорят также, что 1. (1, т) определена заданием (1, т), или также (1; (г! —— О) ). Если семейство т пусто, то 1. (1, т) =1. (1). 5 а сВОБОдные АлГеБРы ли 4.
Многочлены Ли и подстановки Пусть 1 — множество. Обозначим через Т» канонический образ элемента»' множества 1 в алгебре !.(1) (которую мы будем иногда обозначать также через 1,((Т»)» )); элементы из 1. (1) называются лиевыми многочленами от переменных (Т»), Пусть й — алгебра Ли. Если т = (!»), — семейство элементов из й, то через !» мы будем обозначать гомоморфизм 1(1) в й, такой, что ЦТ ) =!» Для любого» ен! (и' 2, предложение 1). Образ элемента Р алгебры 1,(1) при гомоморфизме !» мы будем обозначать через Р((!»)»»). В частности, Р((Т»),,) = Р. Иногда говорят, что элемент Р((!»)»») является элементом алгебры й, полученным подстановкой !» вместо Т» в лиев многочлен Р((Т»)»,).
Пусть о: й — эй' — гомоморфизм алгебр Ли. Для любого семейства Ф=(1;)» элементов алгебры й и любого РЕЕ1(1) имеем а (Р ((!»)»,)) = Р ((о (!»))»»)» (4) ибо а Р!» отображает Т, на а(!») для любого (ее1. Пусть ((!») — семейство элементов из 1. (1), и пусть Реп!.
(!). Подставляя Я» вместо Т» в Р, мы получим многочлен Ли Я = Р (Я!) ) ее 1. (1). Имеем для любого семейства 1=(!»)»» элементов алгебры Ли й, что легко увидеть, преобразуя при помощи гомоморфизма !» равен ство )! = Р(((Г») ) и используя (4). Пусть й — алгебра Ли, 1 — конечное множество и Реп!. (1) Предположим, что й — свободный К-модуль. Отображение Р: й»-~й, Пусть 1 и г имеют тот же смысл, что и прежде; обозначим через $» образ» в !.(1, г). Семейство образующих в=($»)» и семейство определяющих соотношений г составляют задание алгебры !.(1, г). Обратно, если й — алгебра Ли и (а, г) при »з=(а»)» — задание й образующими и определяющими соотношениями, то существует единственный изоморфизм и: !. (1, г)-~й, такой, что и(з»)=а, для любого» ~1.
гл. и, своводнын ллгввпы лн определенное формулой Р(Я, 1) Р((11)1 ), является, таким образом, лолиномиальным ). В самом деле, множество Р отображений й' в й является алгеброй Ли относительно операции коммутирования, определенной формулой (, И(1)=Ь(1), ф(1)1; (б) подмножество Р' полиномиальных отображений й' в й является ее подалгеброй Ли вследствие билннейности коммутирования. Наше утверждение следует, таким образом, из того, что отображение РР— гомоморфизм алгебр Ли и У,=ргьенр' для любого й.
$. Фуннториалвмые свойства Првдложвнив 2. Пусть Х и У вЂ” два множества. Любое отображение и: Х-+У продолжается единственным способом до гомоморфизма алгебр Ли Ь(и): Ь(Х)-»Ь(У). Длл любого отображения п: У-»Х имеем Ь(пчи) Ь(п) Ь(и). Существование и единственность Ь(и) следуют из предложения 1, и'2. Гомоморфизмы Ь(пьи) и Ь(п) ьЬ(и) имеют одинаковое ограничение на Х, а значит, равны по предложению 1, Следствие. Если и инъективно (соотв. сюръективно, биективно), то таково же и Ь(и).
Так как утверждение тривиально при Х = Я, то предположим, что Хин Я. Если и инъективно, то существует отображение и множества У в Х, такое, что очи — тождественное отображение Х; в силу предложения 2 Ь (о) ч Ь (и) — тождественный автоморфизм Ь(Х), так что Ь(и) инъективно, Так как и сюръективно, существует отображение гп множества У в множество Х„такое, что и ь сп — тождественное отображение У;. поэтому Ь(и)чЬ(ге) — тождественное отображение Ь(У), что и доказывает сюръективность Ь (и). Пусть Х вЂ” множество и 5 — его подмножество. Предыдущее следствие показывает, что каноническое вложение 3 в Х продолжается до изоморфизма а алгебры Ь(Я) на подалгебру Ь'(Я ') напомним (А)д., свар. 1ч, $5, и 1О, пм1'еб.) определение полиномиального отображения свободного модуля М в модуль йц если д =целое число лО, то отображение й М-» й1 называется однородным полнпомиальпым отобролсенпем степени о, если существует полилинсйное отображение и модуля МЕ в Ф, такое, что 1(х) =и(х, ..., х) для любого хна М.
Отображение М в й1 называется полпиомнальпмм, если оно является ко' печной суммой однородных полнномиальных отображений подходящих степеней. $ й, СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 141 алгебры Е(Х), порожденную 5; мы будем отождествлять Е(Я) и Е'(Я) при помощи и. Пусть (Б,) — возрастающее фильтрующееся семейство подмножеств множества Х с объединением 5. Соотношение ЗА~Я влечет за собой включение Е(Зь)С=Е(З ), так что семейство подалгебр Е(3,) алгебры Е(Х) является возрастающим фильтрующимся семейством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
