Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 35
Текст из файла (страница 35)
й) Существует элемент о в М(Х), такой, что и=и о. Согласно определению 2, необходимо, чтобы или Ирен Х, оеиХ и вр < о, или оФ Х и а(о) < в < о. В обоих случаях о ен Рр+,. Итак, существуют целое число 1>0 и элемент в из М(Х)„ такие, что и= и'в н либо в ~ Х, либо ИФХ и а(в) чь и . Если 1=0, то мы находимся в условиях случая а), откуда в ен Рр и в ~ в . Если 1> О, то доказательство й), проведенное выше, показывает индукцией по 1, что и~ Р,+, и в Ф гор. Предположим, что ИФХ; поскольку вен рр+о то а(в)~(вр, а так как а(в) Ф в, то можно заключить, что в ен Рр. Таким. образом, мы доказали г).
Пример. Пусть Х состоит из двух элементов х, у; упорядочнм Х так, чтобы х < у. Построение, проведенное в доказательстве предложения 11, дает множество Н, 14 элементов. длины ((5 которого выписаны в следующей таблице: ГЛ, П. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН 152 п А) Случай конечного Х. Если Х пусто, то пусто и М(Х), а значит, и Н, так что Е (Х) — нулевая алгебра. Если Х состоит из одного элемента, .го НПМ"(Х) пусто при любом п~2 (предложение 12а)). Сле- довательно, Н = (х); известно также, что Е (Х) — свободный модуль с базисом (х) (замечание, и' 2).
Теорема верна, таким образом, если Х состоит ие более чем из одного элемента. Будем предполагать поэтому, что Х содержит не менее двух элементов; выберем последовательности (сер) и (Рр), обла- дающие свойствами, описанными в формулировке предложе- ния 13. Для любого целого р) 0 обозначим через Ер подмодуль модуля Е(Х), порожденный элементами й!! при 0~(! < р, и через йр — подалгебру Ли алгебры Е(Х), порожденную семей(й) р Р Лемма 2.
Для любого целого р' 0 модуль Е является сво- бодньсм модулем с базисом (й!!) <!<р, алгебра Ли йр свободна с системой свободных образующих (й)„р и модуль Е (Х) и~р Явллетса пРЯмой сУммой Ер и йр. Имеем Еь — — (О) и йа — — Е(Х), так что лемма веРна пРи Р= О. Будем вести доказательство индукцией по о. Предположим поэтому, что лемма верна при некотором р) О. Положим ик =(ай !ср) ° й! =Ч'(!с„!В) для 1)0, и! Еи Рр, и! Ф !Вр.
По следствию предложения 10 из и' 9 свободная алгебра Ли йр является прямой суммой модуля Тр с базисом (!ср) и под- алгебры Лн $р, системой свободных образующих которой является У =(й;, ).>ь р . Согласно предложению 13г), семейство (й)„ р равно У, а значит, совпадает с систер+! мой свободных образующих для ()р — — йр+,. Поэтому Е(Х) =Ерш Тр® йр+„и так как Ер+, — — Е,+ Т, то Е(Х) = =Ер+!99р+!, а (!е,, Ф„..., юр !, !Вр) — базис модуля Ер+,.
Ч. Т. Д, Пусть и — положительное целое число. Согласно предло- жению 13в), существует целое р(п), такое, что длина всех эле- ментов, входящих в Р, строго больше п, как только Р~)р(п). При р>р(п) подалгебра йр алгебры Е(Х) порождена элемен- тами степени >и, поэтому Е" (Х)Дйр (0). Кроме того, эле- менты !с! из Е(Х) однородны и семейство (!с!)олс!<р — базис модуля, дополнительного к 9 . Отсюда немедленно следует, что семейство элементов Ф! степени и является базисом мо- дуля Е" (Х), а последовательность (!е!)!>ь — базисом мо- .дуля Е(Х). з а своводныв клгввгы ли 1бз Б) Общий случай Напомним, что если 3 — подмножество в Х, то М(5) отож- дествляется с подгруппоидом группоида М(Х), порожденным 5, а Е(5) отождествляется с подалгеброй алгебры Ли Е(Х), поро- жденной 5; мы видели, что если вен М(5) имеет длину ) 2, то а(ю) енМ(5) и й(ю) я М(5).
Отсюда немедленно следует, что НПМ(5) — семейство Холла над 5. Для любого конечного подмножества Ф множества Н' существует конечное подмножество 5 с Х, такое, что ФсМ(5) Случай А) показывает тогда, что элементы й при ю ен Ф ли- нейно независимы в Е(5), а значит, и в Е(Х). Следовательно, семейство (в)вы н свободно. Для любого элемента а из Е(Х) существует конечное под- множество 5 множества Х, такое, что а ен Е (5). Согласно случаю А), подмножество Ч'(Н ПМ(5)) множества Ч'(Н) по- ' рождает модуль Е (5), следовательно, а является линейной комбинацией элементов из Ч'(Н).
Поэтому Ч'(Н) порождает модуль Е(Х), что и требовалось доказать. Слндствиз. Модуль Е(Х), так же, как и каждый из под- модулей Е'(Х) при аен Мх~ и Е" (Х) при па= )Ч, свободен„Мо- дули Е~(Х) имеют конечный ранг и таковы же модули Е" (Х), если Х конечно, Над Х существует семейство Холла Н (предложение 11). Для любого вен Н элемент Чт(ю) алгебры Е(Х) принадлежит одному из подмодулей Е (Х) (где а гн )ч'~) и модуль Е(Х) равен прямой сумме подмодулей Е'(Х). Более того, для любого вен йгх' множество элементов из М(Х), канонический образ которых в )Ч'х1 равен а, конечно; это доказывает, что каждый из модулей Е" (Х) свободен и имеет конечный ранг и что Е(Х) свободен, Имеем Е"(Х) = ~ Е"(Х), поэтому Е"(Х) свободен; !а! а если Х конечно, то множество и ~ 1Ч'х>, таких, что 1 а 1 = п, конечно; поэтому и Е"(Х) имеет конечный ранг.
Оптздзление 3. Назовем базисом Холла свободной алгебры Ли Е(Х) любой базис этой алгебры, являющийся каноническим образом семейства Холла над Х. Замечание. Предположим, что Х состоит из двух различных элементов х и у. Пусть Е1  — подмодуль в Е (Х), равный сумме тех Е'(Х), у которых и~)ч~~ с а(у) =1. Из теоремы 1 и предложения 12 и' 10 нетрудно вывести, что элементы (ай х)" . у при целом и ) 0 образуют базис подмодуля Е' ". Отсюда следует, что ограничение на Ы и отображения айх инъективно. 154 гл. и.
сэоводныь ьшьь«ю пп й 3. Универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли В этом параграфе символом А (Х) = Ак(Х) будем обозначать ,свободную ассоциативную алгебру 1лЬаз (Х) с системой свободных образующих Х над кольцом К (А1д., сЬар. 111, р. 21, .бе(1п11оп 2). Отождествим Х с его каноническим образом в А(Х); напомним, что в качестве базиса в А (Х) можно выбрать свободный мононд Мо(Х) на Х; обозначим через А+(Х) подмодуль в А(Х), порожденный непустыми словами.
л. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Б(Х) Твогвма 1. Пусть а: В(Х) — «А(Х) — единственный (гомомор.физм алгебр Ли, продолжающий каноническое вложение Х в А(Х) ($2, и'2, предложение 1). Пусть о: В(Х)-«П(Б(Х))— каноническое отображение Б (Х) в ее универсальную обертывающую алгебру и й; 0(Б(Х))-«А(Х) — единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей, такой, что р«о а (гл.
1, $2, п' 1, предложение 1), Тогда: а) гомоморфизм а инъективен и а(Б(Х)) — прямое слагаемое в А(Х); б) гомоморфизм () биективен. Пусть  — произвольная К-алгебра с 1 и ц — отображение Х в В; согласно предложению 1 из $2, и'2, существует гомоморфизм алгебр Ли ф: Б(Х)-«В, такой, что ф ~Х=ф; согласно предложению 1 гл. 1, 5 2„п' 1, существует гомоморфизм алгебр с единицей 0: П(Б(Х))- В, такой, что 6«о=ф, и, следовательно, (й«о) ~Х=ф. Так как о(Х) порождает алгебру с единицей П(Б(Х)), то гомоморфизм 8 является единственным гомоморфизмом алгебр с единицей, удовлетворяющим этому последнему условию. Это показывает, что пара (П(Б(Х)), о ~Х) является решением универсальной проблемы точно так же, как алгебра А(Х); беря в качестве ц каноническое вложение Х в А (Х), легко вывести, что (1 — изоморфизм, а это н доказывает б).
Наконец, так как Е(Х) — свободный К-модуль ($2, и'11, следствие теоремы 1), то о инъективно н о(Б(Х)) — прямое слагаемое в П(Б(Х)) (гл. 1, $2, и'7, следствие 3 теоремы 1). В силу б) это доказывает а), Следствии 1. На алгебре А(Х) существует единственное копроизведение, наделяющее А (Х) структурой биалгебры и такое, что элементы из Х при,иитивны. Более того„й — изоморфизм би.алгебры П(Б (Х)) на А(Х), наделенную этой структурой биал.гебрьц $ 3. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА Это следует из утверждения б) теоремы и из того„что Х порождает А(Х) как алгебру с единицей.
Будем теперь считать А(Х) наделенной этой структурой биалгебры и будем отождествлять Е(Х) с ее образом при а„ т. е. с подалгеброй Ли алгебры А (Х), порожденной множеством Х. Следствие 2. Если К вЂ” поле характеристики О, то Е (Х)— алгебра Ли примитивных элементов в А(Х). Это следует из следствия 1 и следствия предложения 9,. 9 1, п' 5. Замечания. 1) Пусть К' — коммутативное кольцо, содержащее К. Если отождествить А(Х), Е(Х) и Ек. (Х) с подмножествами в Ак (Х), то из части а) теоремы 1 следует соот- ношение Е(Х) =Ел (Х)Й А(Х). (1) 2) Следствие 2 теоремы 1 остается верным, если предполагать, что аддитивная группа кольца К вЂ” группа без кручения В самом деле, предположим сначала, что К =У; любой примитивный влемент из А(Х) является примитивным элементом в Аа(Х), а значит, лежит в Еа(Х)ЙА(Х) = Е(Х) (следствие 2 и формула (1)).
В общем случае К плоско над Х и можно применить замечание 2 из $1, и' 2, и предложение 3 из $2, п'б. 3) Пусть Л вЂ” коммутативный моноид, фь — отображение Х в Л, фе Мо (Х) — Р Ь вЂ” ассоциированный с ним гомоморфизм моноидов; если наделить А(Х) градуировкой (А (Х)), определенной в А(д., СЬар. 1П, р. 31, ехептр1е 3, а Е(Х) — градуировкой (Е (Х)) д, определенной в $ 2, и' б, то очевидно, что для: любого 6 я Ь будет выполняться Е (Х) с Е (Х) П А (Х). Так. как Е является прямой суммой Е (Х) при бевб и так как ь сумма подмодулей Е (Х) П А (Х) при б ен Ь является прямой, тэ Е (Х) = Е(Х)() А (Х).
(2) 4) Пусть А — ассоциативная алгебра с единицей и г = (1,)ь т— семейство элементов из А. Имеет место диаграмма Е(Е) ~ А х еь А (1) где 1 —. каноническое вложение, à — гомоморфизм алгебры Ли, определенный при помощи г, и д — гомоморфизм алгебр с гл. и, своводныв алгевты ли единицей, такой, что Х,(4=1, для любого(ен1. Диаграмма коммутативиа, так как д, ч1 и 1; совпадают на 1. Отсюда следует, что если Рея Е(1), то элемент Р(Я, ), определенный в $2, и'4, совпадает с элементом Р((1) и,), определенным в А!п., сйар.
1П, р. 24, ехеятр1е 2. 2. Проектирование А+ (Х) на Е (Х) Пусть и — линейное отображение А+(Х) в С(Х), определенное равенством и(х, ... х„)=(ад(х,)ч ... чад(х„,))(х„) (3) для любых я > О, х„..., х„нз Х. Птндложвнив 1. а) Ограничение пз отображения и на алгебру Е(Х) является ее дифференцированием. б) Для любого целого и,"~1 и любого и из Е" (Х) выполняется 'соотношение и (и) = л. и. а) Пусть Š— алгебра эндоморфизмов модуля Е 1Х) и 0 — гомоморфизм алгебры А(Х) в Е, такой, что 0(х) =абх для любого х ен Х. Ограничение 0 на Е(Х) является гомоморфизмом алгебр Ли Е(Х) в Е, совпадающим на Х с присоединенным представлением алгебры Е(Х), так что 0(и),о=[и, о] для любых и, о из Е(Х). (4) Пусть а — элемент из А (Х) и Ь вЂ” элемент из А+ (Х); тогда п(а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
