Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (947347), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ь) 0(а). и(Ь). (5) В самом деле, достаточно рассмотреть случай, когда а х, ... х„ Ь=х +, ... хр+, где р~О, д,~ь1, и х„..., х + — элементы из Х; но тогда (б) сразу же следует из (3), так как 0(х)* адх для любого хен Х. Пусть и и о — элементы из Е(Х); вследствие (4) и (5) н,([и, о[)=п(ио — ои) =0(и). п(о) — 0(о).п(и) = = [и, и (о)) — [о, и (и)) = [и, пс (о)) + [п,(и), о[, так что пс — дифференцирование Е(Х). б) Пусть и, — эндоморфизм модуля Е(Х), совпадающий на Е" (Х) с умножением на целое число н)~1. Формула [С" (Х), ь~ (Х)) с: Е"~ (Х) показывает, что н~ — дифференцирование (А1д., свар.
1П, р. 119. ехегнр1е О). Дифференцирование и, — и, алгебры Е(Х) обращается в нуль на Х, и так как Х порождает Е(Х), то пе — — иь откуда и вытекает б). г $3. УНИВЕРСАЛьнАя ОБеРтыВАЮЩАя АлГЯБРА 157 Следствие. Предположим, что К является Ц-алгеброи. Пусть Р— линейное отображение А+(Х) в себя, такое, что Р(х, ...
хл) = — (абх! л ... лабхл,)(хл) 1 (6) для любых п)1, х„..., хл из Х. Тогда Р— проектирование А (Х) на !.(Х). Образ Р содержится в Т,(Х). Более того, для любого я~ 1 и любого и из Т. (Х) имеем Р(и)= — п(и), откуда Р(и)=и вследствие предложения 1, Так как 7.(Х) ~ 7."(Х), то пол'Ь! нятно, что ограничение Р на Ь(Х) — тождественное отобра-. жение. Замечание. Предположим, что К вЂ” поле характеристики О, и пусть (г — проектирование алгебры А(Х)=(7(Т.(Х)) на ь(Х), ассоциированное с канонической фильтрацией на П (А (Х)) (см. $1, п 5).
Тогда для любого а ен (ч!»! имеем Я(А'(Х)) ое Т.'(Х). В самом деле, достаточно проверить, что ядро и образ Аг являются градуированными подмодулями в А(Х) относительно градуировки типа 1ч!х!. Это очевидно для образа, который равен 7.(Х). С другой стороны, пусть и — целое число л« 1. Векторное подпространство в А(Х), порожденное элементом у", где у ен (.(Х), равно векторному подпространству в А(Х), порожденному эле- МЕНТОМ Х УРН!Ул!г! ' ' Ул(л! ГДЕ У! УМ 'з Ул ОДНОРОД лев ные элементы из Е(Х); поэтому оно и является градуированным подмодулем в А(Х).
(Заметим, что если Сагб(Х) «2, то проектирования Р и 1г не совпадают на А+ (Х). В самом деле, если х, у — элементы из Х, такие, что х Ф у, то положим е = х [х, у[ + [х, у[ х = хгу — ухе. Тогда 1'1(г) =О, а Р(г) = — [х, [х, у1] Ф 0; см. $2, п' 10, при- мер, и и'11, теорема 1.) 3. Размерность однородных компонент алгебры Ли г. (Х) Пусть Х вЂ” множество, а — элемент из !1!х! и б — целое число > О. Будем писать с([а, если существует элемент 6 ~ Р)<х>, такой, что а=бй, Элемент [), являющийся единственным, обозначим через а/б. ГЛ.
П, СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН 158 Лемма 1. Пусть п — целое число > О, Т„.. „҄— переменные и и„..., и„— элементы иэ Х. Пусть (с(а)) „а, — семейство элементов иэ Х, таких, что ! — Хи,Т,= Ц (1 — Т') (7) Тогда длл любого а~(Ч" — (О) верно следующее равенство: (8) г! а где р — функцал Мебиуса (дополнение). Логарифмируя обе части равенства (7), получим эквивалентное ему равенство (А1а., с(!ар. 1У, п'9, ппаеоЦ: аа(~ — Хат~1= т..! !ат1~-~ !. а В то же время — ао(~ — Л„т,)= Л вЂ” ''(Т„т,)— ! ! !>1 ! ! !>! !в! ! !э!>о С другой стороны, с(а)!Од(1 — Т')= ~~ — с(а)Т '= аа о !а!>о.
А>! — „с( — ) Т. (9) (10) (! 1) !в!>о ь!г Поэтому (7) эквивалентно ) ~ — ~сЯ= — !й иг для любого йен(Ч" — (О). (12) Йг Пусть Л вЂ” множество наборов (Л„ЛЫ ..., Л„) я1Ч" — (0), таких, что наибольший общий делитель чисел Л1, Лг, -, Л равен 1. Любой элемент (Ч" — (О) единственным образом записывается в виде !ЛЛ, где и! — целое,~! и Лее А. Условие (12) эквивалентно равенству ~~! ~ — ~с( — )= (, иоть для любых ЛЕБЛ и т~~1. (13) ь ! от г Ь з. книвегсьльнья оввгтывьющая ьлгевгь 159 По формуле обращения Мебиуса (см. дополнение) условие (13) эквивалентно ~тх ~ ~ — ~! л !юЛ!с( ~Л)= ~'р(д) ",~ и ° (14) (Ф)' для любого Л ~ Л и любого т) 1.
Ч. Т. Д. Теогвма 2. Пусть Х вЂ” конечное множество и п=Сагд(Х). а) для любого целого т) 1 К-модуль Ь'(Х) — свободный модуль ранга с(т) = — ~Х~~~ р(д)п"и, 1 (15) л1г где и — функция Мебиуса. б) Лля любого ае=М ' — (О) К-модуль Ь (Х) ($2, и'6)— свободный модуль ранга с(а) = — ~ р(й) (16) е1а Мы уже знаем, что модули 7."(Х) для любого ген М и модули Х, (Х) для любого а~М~ ~ свободны 5 2, и'11, следствие теоремы 1). Рассмотрим полиградуировку (А'(Х)) нЖ алгебры А(Х), определенную каноническим гомоморфизмом у моноида Мо(Х) в Моо (А!д., свар.
П1, р, 31, ехетпр1е 3); имеем А" (Х)() ДЕ(Х) =Е (Х) согласно замечанию 3 после теоремы 1 из п 1. Для любого аеиМоо базисом К-модуля А'(Х) является множество слов, в которых буква х нз Х встречается а(х) раз. Пусть л((а) — количество этих слов, т. е. ранг А'(Х); мы вычислим двумя способами формальный ряд Р((Т„)„)енХ11(Т„)„~х'ц, определенный формулой Р (Т) = ~ д (а) Т, (17) аяИ 1) Р(Т) = ~: Т""'= Я ~: Т„... Т„=,'~„„( ~'„Т,)', откуда (Т)=(! — Х Т„) (18) 2) Пусть для любого аенМ'х> — (О) семейство (е,,т), <„„ является базисом в 1."(Х), и пусть множество 1 пар (а, 1), в которых а я М~х~ — (О) и 1 ««1 «( с (а), некоторым образом совершенно упорядочено.
По теореме 1 из п'1 и по теореме ГЛ. П. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 160 Пуанкаре — Виркгофа — Витта (гл. 1, $2, и'7, следствие 3 тео- ремы 1) элементы (20) 5 4. Центральные фильтрации 1. Вещественные фильтрации Опввделенив 1. Пусть 6 — группа. Вещественной фильтрацией на 6 называется семейство (6 ), „подгрупп в 6, таких, что 6„= П 6 для любых аен К. (1) э<а у = П (е /) (а, /)а/ при индексе по, пробегаю)цем М(/), образуют базис в А (Х), Каждый элемент у имеет полистепень, равную Х Ги(а, 1)а. (.Л / Обозначим эту полистепень через и(и)).
Тогда р(т)= ~: т"'"'= ~ П 7' """"= вен(/) щам(/) (а /)а/ са = П Х~-- П ~1-т)-', (а, Ле/ к~ о (а, Ла/ откуда окончательно получаем, что р(т)- П (1 — т) "'. (19) аан(Х)-(о) Сравнивая (18) и (19), получаем 1 — Х т, = П (1 — т')'"'.
а -х н(х) (о) Применяя лемму 1, получаем утверждение 6). Подставляя одну и ту же переменную У вместо т„для всех хен Х в формулу (20), получаем 1 — и(/= П (1 -(/) ()"'= П (1 — и')'"). а а н(х)-(о) а>о Снова применяя лемму 1, получаем также утверждение а). Примеры. При п 1, 2, 3, 4, 5, 6 имеем с(1)=и, с(2) = — (по — п), с(3) = — (и' — п), 1 1 2 с (4) = — (п4 по), с(5) = — (ио — и), с (6) = — (по — и' — /(о+ п).
' 1 1 1 о 5 ' 6 Замечание. Пусть Х вЂ” множество и а он)1(х); ранг свободного К-модуля 7."(Х) задается формулой (16). Это очевидным образом следует из теоремы 2 б) и предложения 4 из 5 2, и'6. !е! э а, центРАльные ФильтРАции Из формулы (1) следует, что 6,~6, как только р(а, так что семейство (6,) является убывающим. Фильтрация (6,) называется отделимой, если П 6, равно единичной подгруппе, и ч исчерпывающей, если 6 = ( ) О .
а Замечание. Пусть (6„)„е — убывающее семейство подгрупп в 6. Оно является убывающей фильтрацией в смысле определения 1 из Комм. алг., гл. 111, $2, п' 1. Для любого целого и и любого а из интервала ) п — 1, п) множества !ч положим Н, = 6„, откуда, в частности, Н„= О„. Понятно, что таким образом мы получаем вещественную фильтрацию (Н,) а на 6; будем называть такую фильтрацию целочисленной. Можно, таким образом, отождествить убывающие фильтрации в смысле" Комм. алг., гл. 1!!, $2, с целочисленными фильтрациями, Пусть А — алгебра; вещественная фильтрация (А,) на аддитивной группе А называется совместимой со структурой алгебры, если Аа.
Аз ~ А„аз для любых а, й из !ч и К . А с: А„ для любого абй!с. Если фильтрация является исчерпывающей, то (А,) — фундаментальная система окрестностей 0 в некоторой топологии А, совместимой со структурой алгебры. Пусть  — алгебра с единицей; вещественная фильтрация (В,) на аддитивной группе В называется совместимой со структурой алгебры с единицей, если она совместима со структурой алгебры и если 1 ен Вб 2. Функция порядка Пусть 6 — группа с единичным элементом е.
Пусть (6), — вещественная фильтрация на 6. Для любого х из 6 обозначим через 1, множество вещественных чисел а, таких, что хе=6„. Если аен!„и р<а, то рея)», так что 1,— интервал (Общ. топ., 1969, гл. 1Ъ', $2, и' 4, предложение 1). Используя соотношение (1), нетрудно убедиться в том, что!„содержит свою точную верхнюю грань, если последняя конечна. Следовательно, )„имеет вид ) — го, о (х)) Д !с, где о (х) ен !1; здесь о (х) = впр (а) х ен 6,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
